双曲线及其标准方程(第一课时)
教学目标:
1.掌握双曲线的定义,能说出其焦点、焦距的意义;
2.能根据定义,按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程,熟练掌握两类标
准方程;
3.能解决较简单的求双曲线标准方程的问题; 4.培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
教学重点:双曲线的定义和标准方程。
教学难点:双曲线标准方程的推导过程。
教学过程:
一、创设情景,引入新课: 师:我们先来思考这样一个问题:(打开几何画板)已知定点F1(1,0)和F2(1,0),定圆C1的圆心为F1,且半径为r,动圆C2过定点F2,且与定圆相切。
(1)若r4,试求动圆圆心的轨迹;(2)若r1,试求动圆圆心的轨迹。 (教师结合几何画板演示分析):
师:当r4时,我们得到的轨迹是什么?
生:是椭圆。
是:为什么?
生:因为当r4时动圆C2内切于定圆C1,所以两个圆的圆心距MF1满足
MF14MF2,移项后可以得到:MF1MF24满足椭圆的定义,所以得到的轨迹是一个以F
1、F2为定点,4为定长的椭圆。
师:很好。那么,当r1呢,此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况?
生:有两种情况:内切和外切。
师:我们先来考察两圆外切时的情况(演示),我们得到的轨迹满足什么条件?
生(同时教师板书):由于两圆外切,所以两个圆的圆心距MF1满足 MF11MF2,移项后可以得到:MF1MF21。(教师演示轨迹) 师:我们再来考察两圆内切时的情况(演示),我们得到的轨迹又满足什么条件?
生(同时教师板书):由于两圆内切,所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1MF21,移项后可以得到:MF1MF21。(教师演示轨迹) 师(同时演示两种情况下的轨迹):我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF21即MF1MF21,圆心的轨迹我们称之为双曲线。
二、新课讲解:
1、定义给出
师:今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义?
生:双曲线是到平面上两个定点F
1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
师:由椭圆的定义,一般情况下,我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支,什么情况下表示的是双曲线的左支?
生:当MF1MF22a时,表示的是双曲线的右支,当MF1MF22a时,表示的是双曲线的左支。
2、定义探究
(教师引导学生分情况讨论): 师:这个常数2a有没有限制条件?
生:有。这个常数2a要比焦距F1F2小。 师:很好。为什么要有这个限制条件呢?其他情况会是怎样的呢?我们一起来分析一下:
(1)若a=0,则有MF1MF20即MF1MF2,此时轨迹为线段F1F2的中垂线;
(2)若2a=F1F2,则有MF1MF2F1F2,此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分,以F
1、F2为端点的两条射线;
(3)若2a>F1F2,则根据三角形的性质,轨迹不存在。
3、双曲线标准方程的推导过程:
师:我们学过求曲线的方程的一般步骤,现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。(师生互动,共同推导之)
第一步:建立直角坐标系;
第二步:设点:设M(x,y),焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0),M到焦点的距离差的绝对值等于2a;
第三步:启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集: PMMF1MF22a;
第四步:建立方程:(xc)2y2(xc)2y22a;
ab教师强调:我们得到了焦点在x轴上,且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师:那么如果焦点在y轴上呢?(学生练习)
y2x2 生(练习后):此时的标准方程应该是221(a0,b0)。
ab 4.双曲线标准方程的探讨:
师:刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下,双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何?是不是ab? y21(a0,b0),这里c2a2b2 第五步:化简,得到
x22y221(a0,b0)
生:a、b、c满足等式c2a2b2,所以有a2c2b2,可以得到a,bc,但不能判断ab。 师:很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现,确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢?
y2x2x2y2 生:由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为221和221,我们发现焦点所在轴相
abab关的未知数的分母总是a,所以可以由a来判定。
x2y21,那么你如何寻找a?
师:很好。如果我们知道的方程是32 生:因为a所在的这一项未知数的系数是正的,所以只要找正的系数就可以了。
x2y21呢?
师:如果方程是32 生:先化成标准方程。
师:请同学总结一下。 生:化标准,找正号。 5.运用新知:
y2x21表示双曲线,则m的取值范围是__________,此时
【练习】已知方程9m1双曲线的焦点坐标是________________,焦距是________________;
【变式】若将9改成2m,则m的取值范围是________________________。
【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F
1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点再x轴上,所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5。 y221(a0,b0),
所以b2523216,
x2y21。
所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0),动点P到F
1、F2的距离的差
等于6,求P点的轨迹方程。
解:因为PF1PF26,所以P的轨迹是双曲线的右支,设双曲线标准方程为1(a0,b0), a2b2 因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5。 x2y2 所以b2523216,
x2y21(x3)。
所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P
1、P2的坐标分别为
9(3,42)、(,5),求双曲线的标准方程。
4解:因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为
y2x2 221(a0,b0),
ab 因为点P
1、P2在双曲线上,所以点P
1、P2的坐标适合方程,代入得: (42)232212ab2a162 可解得:。 92b9425212bay2x21。
所以所求双曲线得标准方程为:169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上,并且双曲线上两点P
1、P2的坐标分别为
9(分情况讨论) (3,42)、(,5),求双曲线的标准方程。4 【练习】(1)ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6),顶点A满足ABAC8,
求A的轨迹方程。
(2)ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6),另两边所在直线的斜率之积是
4,求顶点9A的轨迹。
三、本课小结:
师:我们总结一下本节课我们学了什么?
生:
1、双曲线的定义;
2、双曲线标准方程推导过程;
3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
四、作业:
课本P108:
2、
3、4 问题:一炮弹在M处爆炸,在F
1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s,又知两地相距800m,并且此时的声速为340m/s,那么M点一定在哪条曲线上?
北师大版高中数学3.1《双曲线及其标准方程》word教案.doc[优秀]