双曲线教学设计（精选多篇）

推荐第1篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学设计

一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.

2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.

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五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2MO1Mr2rrr1r1r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1MO2Mr1rrr2r1r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1MO2r1r2O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40

学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程c2a2x2a2y2c2a2a2.仿照推导椭圆方程的方法.可

x2y2令cab.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 221.类似地,当焦点在y轴上

ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———

y2x2 学生: 221

ab 41

教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F15,0,F25,0,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P2,5,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B2,4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2ny21.然后把两点坐标分别代入,

1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m1, n,表明它是双曲线,同时表示不

6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的

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差为PAPB680800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为x,y.则PAPB3402680 AB 即2a680,a340.又AB800 所以2c800,c400

b2c2a244400

因为PAPB6800 所以x0.

x2y2所求双曲线方程为1(x0)

11560044400(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.

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2.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.

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推荐第2篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学

沾化一中

郭梅芳

一、教材分析：

《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教A版）选修2-1第二章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆知识来学习，降低难度，便于学生学习掌握。教材为《双曲线及其标准方程》安排两课时内容，本文是第一课时，本课的主要内容是：（1）探求轨迹（双曲线）；（2）学习双曲线定义；（3）推导双曲线标准方程；

二、教学目标：

1、认知目标：掌握双曲线的定义、标准方程，了解双曲线及相关概念；

2、能力目标：通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

3、情感目标：让学生体会知识产生的全过程，体会解析法的思想。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣．

三、教学重难点

重点：双曲线中a,b,c之间的关系。

难点：双曲线的标准方程，双曲线及其标准方程的探求；领悟解析法思想．

四、教学方式：

多媒体演示，小组讨论。

五、教学准备：

多媒体课件，

六、教学设想：

1 通过师生的相互“协作”，以提问的形式完成本堂课

七、教学过程：

环节 内容 教学双边活动 设计意图 复习问题

问题1：椭圆的定义是什么？（哪几个关键点） 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如何作椭圆？

问题4：性质： 学生回顾，教师补充纠正 回顾椭圆学习过程，本身具有复习提高价值．此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法，期望在双曲线学习中有一种方法引领。

引入新课:到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？ 过渡

探求轨迹问题：我们用什么方法来探求（画出）轨迹图形？用几何画板演示拉链的轨迹： 同样的，也有设问：①定点与动点 不在同一平面内，能否得到双曲线？请学生回答：不能．指出必须“在平面内”．② 动点M到定点A 与B 两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到 A与B 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数．③这个常是否会大于或者等｜AB｜ ？请学生回答，应小于｜AB｜且大于零．当常数2a=｜AB｜ 时，轨迹是以A、B 为端点的两条射线；当常数2a>｜AB｜时，无轨迹． 小组讨论实验演示提问 通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考的能力。

感受曲线，解读定义:

演示得到的图形是双曲线（一部分）；归纳双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离的差的绝对值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。数学简记： 学生读课本并分析其中的关键点 通过阅读和关键点分析，让学生学会读书，学会分析书，从而理解书。

推导方程，认识特性 :

2 （1）建系以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy 设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ，则设点M 与A、B 的距离的差的绝对值等于常数 。

（2）点的集合由定义可知，双曲线上点的集合满足｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐标关系化代数方程

（4）化简方程

（5）双曲线的标准方程：方程形式：焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 焦点的中点在原点（中心在原点）

（6）数量特征： （2a ） —— （实轴长）,(2c) —— （焦距）指出:a,b,c的含义.注:（1）双曲线方程中 ，a 不一定大于 b；

（2）如果x 的系数是正的，那么焦点在 x轴上，如果y 的系数是正的，那么焦点在 y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.（3）双曲线标准方程中a,b,c 的关系不同于椭圆方程．

交流：建系的任意性与合理性由一位学生上黑板演示，教师巡视， 通过对双曲线方程的化简，提高学生的演算能力。可注意大部分学生写得是否正确。类比椭圆，认识共同点，辨别不同。

应用方程，体验思想 :

例1 ： 说明：椭圆 与双曲线 的焦点相同．

例2：求到两定点 A、B 的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程？如果把上面的6改为10，其他条件不变，会出现什么情况？如果改为12呢？ 教师分析，由学生分析，教师板书及补充。 可以进一步巩固理解双曲线的定义。

回顾过程，归纳小结 双曲线定义的要点，标准方程的形式

课后练习书本习题

八、自我教学评价

在教学过程中注重知识，能力的融合，努力挖掘内容的本质和联系，以学生 3 为主体，沿着学生的思维方向一步步引入新知识，顺利完成知识的吸纳，利用多媒体演示过程，能给学生一种形象上的吸收，寓思想于教学中。

九、教学反思和回顾

在整个教学中，利用类比椭圆方程定义的形成过程自然进入双曲线定义的教学状态中，并采取多提问的形式，让每个学生思考问题，回答问题，给他们思考的空间，培养他们思索的习惯，让学生与老师互动，交流探讨学习过程中的问题，可以充分提高学生的学习主动性与他们的自信心，在今后的教学中，我要更多的让学生来演示，充分发挥学生的主体作用,让学生真正体会知识的形成过程。

推荐第3篇：2.3双曲线 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1 知识与技能

[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。 [2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

[3] 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。

2过程与方法

[1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

[2]通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.[3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。 3 情感态度与价值观

[1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

[2]通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

[3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。

2. 教学重点/难点

重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。

难点：[1]双曲线的标准方程的推导。

[2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。

3. 教学用具

多媒体、木板、拉链等 4. 标签

教学过程

教学过程设计

1 旧知回顾、引入新课

【师】同学们好。从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。

【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程 【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？ 【板书】

椭圆的定义？

椭圆的标准方程？

椭圆的简单几何性质？

椭圆知识的考查方式？

【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ⅠF1F2Ⅰ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为m时，椭圆即为点集

。

【生】椭圆的标准方程有两个（分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况）：

【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。【生】椭圆知识的考查方式有两种方式：给方程题和求方程题。常见延伸问题有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

给方程题：较大分母是a2,较小分母是b2,焦点所在轴与含a2项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。 求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。

【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。（反比例函数的图像就是双曲线，但是坐标系建立方式不同，方程形式也不同） 【师】考虑以下问题，思考后作答：

问题：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？

阅读教材P52～55，回答下列问题：双曲线的定义、图形、标准方程、应用。 【生】小组合作，思考、交流，得出结论。 （1）小组合作

[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F

1、F2；[3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？

观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面两条曲线合起来叫做双曲线。

【师】根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？ 【生】 文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。 两个定点F

1、F2叫做双曲线的焦点。两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。 符号描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a

【师】请同学们利用搜集的知识说一说双曲线的历史起源和现实应用。 【生】我说双曲线的历史起源：

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1] 。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 【生】我说双曲线的现实应用：

双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

【师】初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，叫做等轴双曲线，以其渐近线为坐标系建立方程，得到的函数解析式就是在教师的启发下，师生共同完成几种特殊情形的探究。

。 【师】再考虑以下问题，思考后作答: （1）|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】右支。

【师】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】左支。

【师】（3）若2a=2c,则轨迹是什么？

【生】分别以F

1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。【师】（4）若2a>2c,则轨迹是什么？ 【生】无轨迹。

【师】（5）若2a=0,则轨迹是什么？

【生】此时|MF1|=|MF2|，轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 【师】仿照椭圆建立坐标系的方法，请建立双曲线的方程。 【生】建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常数=2a 双曲线就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x 轴上， 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2。

【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？ 【生】和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！方程变为

。

【师】好，谁来总结一下？ 【生】双曲线有两个标准方程： 分别是焦点在x轴上时

。

【师】讨论一下a、b有没有必然的大小关系？

【生】双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2。 2 新知介绍

[1]双曲线及其标准方程

【师】于是，我们可以得到双曲线及其标准方程。

文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。 符号描述和图形：（如右图）

和焦点在y轴上时

助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。 【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。

[2]双曲线非标准方程的标准化 【师】下面我们做一些练习！

求出下列双曲线的a

2、b2，并写出焦点坐标。

【生】（1）a2＝16

b2＝9，焦点F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦点F（±5，0） 【师】以上答案有问题么? 【生】第二个方程有问题，方程右边不是1，而是－1.【师】有什么办法么？

【生】方程两边同时乘以－1就可以了。 【师】（2）的正确答案变了么？

【生】正确答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦点F（0，±5） 【师】对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。

非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1、方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习

1、

3、5）

2、方程左边不标准。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 【生】（3）、（4）、（5）都是非标准方程，先标准化再提取信息。

（3）两边同时除以－225，得到标准方程焦点F（0，±）

，a2＝25， b2＝9，

（4）左边分母标准化，0）

（5）两边同时除以5,得

，a2＝1 b2＝，焦点F（±，

，位置和系数标准化，得

[3]双曲线及其标准方程应用

问题：双曲线及其标准方程能解决什么问题？

【生】由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。 [4]例题处理

【师】下面我们来处理书上的例题。 【生】练习并讨论。 【例1】已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F

1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：

，

∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.所以所求双曲线的标准方程为：

【拓展探究】已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|＝6.求动点P的轨迹方程.解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的右支.∵两焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，∴设它的标准方程为：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴动点P的轨迹方程为

【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。

【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a

2、b2.

2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现.【师】补充一点，还有一种可能，焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

【例2】已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.

∴设它的标准方程为：

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400.∴炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为(注：课本上只是x>0,本设计更精确) 【应用提升】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢? 解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.【例3】如果方程解：由

表示双曲线，求m的取值范围.

【应用提升】如果方程值范围.

表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取由例题，从m的取值中选取适合的范围即有 【拓展探究】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：

【师】引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信息。 再次强调：

1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a

2、b2.

2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【强化练习】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且

，求顶点A的轨迹方程。 解：在△ABC中，|BC|=10，

故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支，又因c=5，a=3，则b2=16，则顶点A的轨迹方程为[5]小结：双曲线及其标准方程

【师】现在我们来总结一下，双曲线及其标准方程。 【板书/PPT】

【双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。 （1）当|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的右支。 （2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的左支。

（3）若2a=2c,则轨迹是分别以F

1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。（4）若2a>2c,则无轨迹。

（5）若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 【双曲线的标准方程】有两个： 分别是焦点在x轴上时

。

【考查方式】给方程题与求方程题 给方程题一般涉及方程的标准化：

对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。 非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1.方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习

1、

3、5） 2.方程左边不标准。

和焦点在y轴上时。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 求方程题：一般用待定系数法：

3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a

2、b2.4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【易错点点拨】

1.与椭圆相关知识混淆，误认为一定有a>b或仍然用a2=b2+c2来求相关值。 2.忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。 3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。

4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。课堂小结（投影，给出知识脉络图）

1.双曲线的定义

2.双曲线的标准方程

3.利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 3 复习总结和作业布置 [1]课堂练习

一、填空题

1.a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是

.2.焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是

.3.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是

.

.4.如果方程

表示双曲线，则m的取值范围是

.

二、选择题． 5．设F1，F2是双曲线

的焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离(

) A．1

B．

C．2

D．

6．P为双曲线径的圆与圆

为上一点，若F是一个焦点，以PF为直

的位置关系是(

) A．内切

B．外切

C．内切或外切

D．无公共点或相交 7．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为(

) A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

三、解答题

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。

【解答】

一、填空题

二、选择题．5.B 6.C 7.C

三、解答题

8.解：由双曲线的标准方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)

9.解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn

所以所求双曲线方程为[2]作业布置

1、自学完成课本P58练习。.

2、课本P61习题2．3（A组）第

1、2题

课本P62习题2．3（B组）第2题

3、选做题：

1.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.(附答案：) 1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得∴△PF1F2为直角三角形．

2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为

，BC的斜率为依题意有原方程可化为

,化简得mx2-y2=25m(y≠0).因为m≠0，所以①

由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.所以所求m的取值范围是(0,+∞)．

4、预习提纲：

前面学习了椭圆的简单几何性质，类比学习下一节双曲线的简单几何性质．

推荐第4篇：2．2 双曲线 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知识与技能

掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法

掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．

情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

2. 教学重点/难点

教学重点

双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程． 教学难点

在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．

3. 教学用具

多媒体

4. 标签

教学过程

教学过程设计

新知探究

探究点一

双曲线的定义 【问题导思】 1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

【提示】 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．

2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 【提示】 双曲线的一支．

3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】 只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．

4 .已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？

【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6

表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6

探究点二

双曲线的标准方程 【问题导思】

1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？ 【提示】 能．

(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．

(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为

2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？

【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关． 双曲线的标准方程

【典例精讲】

命题方向一

双曲线标准方程的理解

例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题

①曲线C不可能是圆；

②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________． 【解析】 当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且

时，曲线C是圆，∴命题①是假命

时，曲线C是椭圆，则②是假命题．

根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④ 【小结】

1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正． 2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线． 【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

表示双曲线”的

【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件． 【答案】A 命题方向二

求双曲线的标准方程 例2.

(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程； (2)求与双曲线解析：

有公共焦点，且过点

的双曲线方程．

求双曲(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为 (2)方法一 设双曲线方程为

由题意易求得

又双曲线过点

又∵

故所求双曲线的方程为

方法二 设双曲线方程为k＝4，∴所求双曲线方程为【小结】

(－4

代入得1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：

(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；

(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；

(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【变式训练】

(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．

(2)设双曲线的焦点为－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．

双曲线上的一点P满足|PF1|【解析】

(1)由题意知双曲线的焦点为

设其方程为双曲线的方程为

，又过Q(2,1)，则

解得a2＝2，则所求(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为

∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命题方向三

双曲线定义的应用

例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解析：如图

建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．

设爆炸点P的坐标为(x，y)， 则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320， 即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，

所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为

小结

(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围． 【变式训练】已知圆C1：

和圆C2：

动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，

∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支， 则2a＝2，a＝1，c＝3， ∴b2＝c2－a2＝8 因此所求动点M的轨迹方程为当堂检测 1．设P是双曲线

上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，

若|PF1|＝9，则|PF2|＝( ) A．1

B．17 C．1或17

D．以上答案均不对 【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，则关于x，y的方程A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线

【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在

所表示的曲线是（ ）

y轴上的双曲线．

3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )

【解析】将双曲线方程化为标准形式

所以a2＝1，

∴右焦点坐标为【答案】C

4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有

∴a＝4，∴b2＝62－42＝20， ∴双曲线的标准方程为

课堂小结

1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点： (1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线

2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.

板书

推荐第5篇：双曲线及其标准方程教学设计

双曲线及其标准方程

一、学习目标：

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.

2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.

二、学情分析：

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.

三、重点难点 ：

教学重点:双曲线的定义、标准方程

教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a

三、教学过程：

【导入】

1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

2、观察生活中的双曲线；

【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】 探究一

活动1：类比椭圆的学习，思考：

研究双曲线，应该研究什么？ 怎么研究？

从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程； 活动二：数学实验：

(1)取一条拉链，拉开它的一部分，

(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在 点F1，F2 上，

(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点 就画出一条曲线。

(4)若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？

学生活动:六人一组，进行实验，展示实验成果：

【设计意图:学生亲手操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况: 画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会出现这种情况？

【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】 活动三：几何画板演示，得到双曲线的定义： 老师演示，学生思考：

引导学生结合实验分析，得出双曲线上的点满足的条件，给出双曲线的定义

双曲线：

平面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1F2叫做双曲线的焦点

两点间F1F2的距离叫做焦距

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么? 2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢? 强调：2a大于|F1F2｜时轨迹不存在 2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a

活动四：探究双曲线标准方程：

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).

2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳) 按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:焦点在x轴上 (a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

222 在y轴上 (a>0,b>0) 其中:c=a+b活动五：归纳、总结

活动六：典例分析

例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差等于6,求双曲线标准方程.变式(2) :若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法.(若焦点不定,则要注意分类讨论的思想.) 【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰】 活动七：小结

1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法? 课后作业：

必做题: 课本55 页练习2,3

选做题： 课本61页习题A 组2

推荐第6篇：9双曲线及其标准方教学设计1

双曲线及其标准方程

湖北省大冶市第一中学

江猛

435100

课

型：新 课 课

时：第一节 教学目标：

知识目标：理解双曲线的概念及其标准方程。

能力目标：培养学生动手能力、自主探究能力、抽象概括能力、知识迁移能力、类比椭圆来分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过学生之间的讨论和交流，培养学生的团结协作精神。让学生在问究中感悟数学的魅力，享受探究的乐趣，体验成功的欢悦，收获情感的升华。引发学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是，理论与实践相结合的科学态度，增强学生的应用意识。激发学生爱国热情。

教学重点：双曲线的定义及标准方程。

教学难点：双曲线定义的准确理解及标准方程的建立。 学法指导：动手实践、自主探究、合作交流、类比猜想。 教学方法：探究体验式教学法。

教学手段：探究体验、小组合作、借助多媒体演示和幻灯机实物投影。

课堂构思：课堂结构分为三部分，其一，动手实验，折出双曲线，并从折纸过程中探究其内涵，这是主体总分；其二，方程指导；其三，实际应用。以巧设情境，妙立问题，以问促究，问究结合，师导生演的方式演绎课堂。 教学过程：

折纸实验导入：

1.1 T：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？ S：没有。T：那么，我们今天一起来做一个数学实验。请拿出刚发下来的印有定⊙F1白纸，按如下步骤操作：第一步：在⊙F1外取一定点F2；第二步：在⊙F1上任取一点P1；第三步：将白纸对折，使P1和F2重合，并留下一条折痕；第四步：连接P1和F1，并延长交折痕于点M1；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2～4步重复4～6次，便可得到一个点列M

1、M

2、M3„等，这个点列能连成一个很美的图形，大家想欣赏它吗？请迅速动手折纸，看谁折得又快又好；（5分钟后）第六步：请大家将所得点列,用平滑的曲线连接起来。 1.2 学生活动：学生动手操作，高效参与。 1.3 预期成果：（5分钟后用幻灯机展示学生成果）第一位同学将点列连成的图形是开口向左的一支曲线(如图1)、第二位同学将点列连成的图形是开口向右的一支曲线(如图2)，噫，怎么不同呢？T：第三位同学怎么又连成了两支曲线(如图3)？第四位同学怎么也连成了两支曲线(如图4)

图1

图2

图3

图4 1.4 探究“问题1”：除此之外，还有没有同学连成了其它图形？（全都拿上来。）这些不同的图形到底哪个更准确呢？ 预案1：学生沉默，T：“是不是拿不准？”预案2：学生都说自己连的图形才是正确的；对预案1或预案2老师可引导如下：我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5）看来S

3、S4同学连成的两支曲线更全面。那么，以第

一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面

图5 呢？我们对比这四位同学的作图痕迹， S

1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S

3、S4同学那样在圆的四周都取了点。

预案3：学生都说第

三、第四位同学连成的图形正确。则老师可设问诱思如下：那么，以第

一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面呢？我们对比这四位同学的作图痕迹，S

1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S

3、S4同学那样在圆的四周都取了点。那么，S

3、S4同学的结果是否就不具有片面性？我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5） 2

定义：

由课件显示的图形看，连成两支曲线是对的，引导学生对比两支曲线的特征，并给它们取个名称。

2.1 探究“问题2”：类比椭圆定义，用一个数量关系来刻画双曲线上动点M的属性。

2.2 探究方式：自主探究与合作交流相结合，让学生广泛参与；教师主导，营建探究氛围，引导学生思维方向，调控探究过程。

2.3 学生活动：小组合作交流，奇数排同学向后，偶数排同学不动，4～6人一组，回顾折纸全过程，从中挖掘出动点M所满足的数量关系。并展示探究成果，小组间相互补充，充分进行生生交流和师生交流。

预案1：若学生回答：设双曲线上动点为M，则|MF2|=|MF1|+r。则老师可分步问究如下：

第一问：好！说说你们是怎么得到这个结论的。

第二问：大家还有没有不同的意见？（预案：面对全班提示：差是有顺序的，是不是双曲线上所有的点到定点F2的距离比到定点F1的距离都大r?稍停：当动点M位于双曲线左支时呢？）

第三问：数学讲究简洁、和谐、统一，能将以上两位同学的结果统一成一个等量关系式吗？ 第四问：请回顾折纸全过程，在折纸活动中，还有什么位置限制吗？（预案：面对个别提示：我们已经分析了折纸第

2、

3、4，甚至第5步，得到了（1）式，还有哪步没分析？S：第一步。T：由第一步可知点F2的位置有什么限制呢？）

预案2：若学生答不出或直接答出定义，又答不出原由，则T：你提前预习的习惯很好，但数学定义光靠死记不行，要了解它的形成过程，理解定义的本质，让我们一起来解决这个问题。则可分步问究如下：

第一问：回顾折纸过程，由折纸第三步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第二问：回顾折纸过程，由折纸第四步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第三问：综合以上两步，可得到动点M满足怎样的数量关系？

第四问：折纸前，我们任取了一定点F2，它的位置特征能用一个怎样的数量关系来刻画？ 2.4 预期结论：|MF1|－|MF2|=r„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1） r

2.5 “问题2”延伸：我们已经揭示了双曲线的内涵，下一步该轮到我们给双曲线下个定义了，谁来试一试？

（预案：学生的回答若不妥，则由全班学生评判、补充，用学生来教育学生！）

预期结论：平面内与两定点F

1、F2距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.2.6 教师讲解：板书定义，这两个定点叫——双曲线的焦点，记作F

1、F2，两焦点的距离叫——双曲线的焦距，记作：2c，这个常数记作2a。

2.7 定义延伸1：请同学们对比双曲线定义与椭圆定义的差异。 2.8 定义延伸2：课后思考：在折纸“实验”中，我们若将定点F2取在圆周上，则动点M的轨迹是什么图形？若将定点F2取在圆内，则动点M的轨迹又是什么图形呢？科学既要异想天开又要细致入微，当我们将定点F2取在圆外时，虽然，第三第四位同学连成的都是两支曲线，但在我看来，它们仍然有细微的差别，你们能看得出来吗？（老师辅以手势，提示开口大小）S：开口程度不一样。T：我发给大家的是同样大小的白纸，在相同位置印有一个相同的圆，即具有相同的圆心和相同的半径。可是用它折出来的曲线，为什么开口程度却不一样呢（摊开双手）？作为一个思考题，留给同学们课后去研讨。 3

方程推导： 3.1 探究“问题3”：求双曲线的方程。

3.2 探究方式：自主探究，充分进行师生交流和生生交流。 3.3 学生活动：自行推导双曲线的方程。 3.4 分层问究：

第一层问究：求双曲线方程，你准备如何建系？是怎么想到这样建系的？ 学生活动：独立思考，举手枪答。

第二层问究：请同学们自行推导双曲线方程。 学生活动：独立推导双曲线方程。

第三层问究：用幻灯机展示学生推导过程，并追问其思维过程。 第一问：你对„„（3）式是怎么化简的？

第二问：为什么要平方？为什么要移项后再平方？

第三问：移项平方得：(c2－a2)x2－a2y2=(c2－a2)a2，这就是双曲线的方程，却不够简洁，有谁能帮忙作一个技术处理？ 预期结论：可令c2－a2=b2。

第四问：你是怎样想到的？为什么可以这样令？

预期结论：由双曲线的定义可知,2c>2a>0，∴c2－a2>0,可令c2－a2=b2，其中b>0。

第五问：为什么不令c2－a2=b，其中b>0呢？这是因为同椭圆一样令c2－a2=b2不但结构优美，而且还有其优美的几何意义。 预期结论：求得双曲线的两个标准方程：

（a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（4） （a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（5） 3.5 方程延伸1：双曲线标准方程的特征。它们都是两个完全平方项的差等于1的结构形式，如此简洁的形式正源于我们依据对称美来建系。

3.6 方程延伸2：同学们课后还可以比较椭圆与双曲线标准方程的异同。 4

应用

4.1 探究“问题4”：生活中哪些地方应用了双曲线？这些地方应用双曲线有什么优点？ 4.2 探究方式：作为一个研究性课题，有兴趣的同学可以查阅资料，比如利用互联网、电子图书等，体会这些地方应用双曲线有什么优点？

4.3 学生活动：课后分组合作，利用互联网、电子图书等查阅资料，并分析整理。 4.4 应用举例(多媒体显示)：

4.4.1工业生产中：这是双曲线型冷却塔；将物理的流体力学与数学完美结合。 4.4.2城市交通中：这是北京为缓解城市交通拥堵，正准备修建双曲线形通道。

4.4.3建筑艺术中：这是法国标志性的建筑，埃菲尔铁塔，每个面都是双曲线形线条，简洁而又壮阔的气势征服了全世界。

4.4.4军事战争中：据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦察出美军阵地，我方当机立断，火速炮击，可不久美军就会将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何能这样准确呢？

原来他们在阵地旁建有如多媒体显示的A、B、C三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险，大家能用已学的知识解释其中的原因吗？请分组讨论，保持上次分组的组员不变。

4.4.4.1 学生活动：请同学们分组讨论，保持上次分组的组员不变。合作交流3分钟后，展示学生探研成果，小组间相互补充，师生相互交流。

4.4.4.2 预期结论：我军阵地应在以A、B为焦点的双曲线的一支上，同理又在以B、C或以A、C为焦点的双曲线的一支上。所以这两支双曲线的交点就是我方的准确位置。 4.4.4.3 探究延伸：（爱国教育）要是有大家在场，我志愿军就不致如此被动，因为当时我志愿军战士都是工农子弟兵，没有美军士兵的文化程度高。这充分印证了 “落后就要挨打”这句名言。试想，若我国的综合国力和军事技术都是世界第一，你看美国还敢不敢来干涉我国的台湾问题！小泉还敢不敢不顾我们中国人民的感情，屡次去参拜靖国神社！ 同学们，为中华民族之崛起而努力读书吧！

推荐第7篇：双曲线及其标准方程的教学设计及教学反思

双曲线及其标准方程

（二）的教学设计及教学反思

教学设计： 教学目标

1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.教学重点

双曲线的定义及其标准方程

教学难点

双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用

教学过程

1、复习回顾 （1）双曲线定义

（2）两种形式的标准方程

⑶根据下列条件，求双曲线的标准方程

①过点P(3,15/4),Q(－16/3,5)，且焦点在坐标轴上；

②c6,经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；

22③与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点，且经过点(32,2)。 分析：①设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn＜0)，则

9m225n1m1/16解得∴所求方程为－x2/16＋y2/9＝1 256m25n1n1/9

22小结：“巧设”方程为“为mx＋ny＝1(mn＜0)”避免分两种情况进行讨论。 ②∵c6,且焦点在x轴上，∴设标准方程为x/m－y/(6－m)＝1（0＜m＜6）

2

2

22∵双曲线经过(－5,2)，∴25/m－4/(m－6)＝1，解得m＝5或m＝30（舍去） ∴所求方程为x2/5－y2＝1 22③∵与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点， ∴设所求双曲线的标准方程为

x2161816y24441(016)

∵双曲线经过点(32,2)，1，解得λ＝4或λ＝－1(舍去) ∴所求方程为x2/12－y2/8＝1

22小结：注意到了与双曲线 x/16－y/4＝1共焦点的双曲线系方程为x216y241(016)后，便有了上述巧妙的设法。

⑷已知双曲线x2/a2－y2/b2＝1（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长 分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长， 只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可 |AB|＝2a2/c 变：双曲线x2/4－y2/12＝1上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有＿个。 ⑸①一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。 分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，

外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。

②已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程

分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6， 内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6 故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1

2、探索研究：

例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则

PAPB3402680,即2a=680,a=340.又AB800,∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.∵PAPB6800,∴x>0.所求双曲线的方程为：

x2115600y244400

1 (x>0).说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？

AB的中垂线。

4、归纳总结

数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论

掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.

5、课后作业

习题8.3 4,5,6.

教学反思：

一、教学过程回顾

依据“一个为本，四个调整”（以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式）的新的教学理念和教学目标设计教学过程。

1、导入新课：以在双曲线发展史中穿插对双曲线的定义及其标准方程的复习导入，双曲线的定义及其标准方程的内容，由两名学生分别发言给出的。预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”的两个引例，由三名学生先后补充完成。然后在老师引导下，全班学生经过讨论后，共同总结出待定系数法求方程的一般步骤：先定位后定量。此时师生共同消除了因随堂录象和优质课评选造成的紧张心理。课堂教学气氛也相当活跃，渐入佳境，非常轻松地进入了新课。

2、进入新课：教师投影106页例2，并引导学生分析已知条件设出方程组后，鼓励学生动手解答方程组，全班学生都非常积极地思考、讨论，当教师问学生：想到解决办法没有？有十多名学生回答：想到解法了。于是我就采用这几年来在课堂上经常采用的办法，让学生上讲台亲自为班上同学讲解，学生选出的代表上讲台后边讲边写出：由于所求解的是关于待定系数a,b的一个分式方程组，并且分母的次数是2，用换元法可将它化为二元一次方程组，我对该生给予充分的鼓励和表扬，此时学生们思维活跃，情感和态度都进入佳境，之后另一名学生又非常大方地上黑板板书出二元一次方程组的解，进而写出双曲线的标准方程。学生们充分讨论、交流后，自己总结出待定系数法求双曲线标准方程和换元法解分母是2次的分式方程组的一般方法。学生们创新的火花不断闪现，先是自己对该例变式，解答后进行交流。老师适机给出一道练习题，帮助学生自己查找学习中的漏洞，接着学生又自己巩固、升华，归纳出一般式解法。进而探讨课本106页例3，在按照课本思路学习完该例后，再围绕本节重点知识双曲线定义对课本例3探究，开展研究性学习。探讨如下：若A、B两地相距680m，其余条件不变，曲线方程是什么？这个问题提出后，学生发现若爆炸点位于双曲线上，则方程中分母为0，一石激起前层浪，学生马上展开了激烈的讨论，教师引导学生再次回到双曲线的定义上，并用几何画板帮助学生加深对该定义的理解，最后学生观察、实验、计算、交流、归纳后指出双曲线定义中若将常数改为等于|F1F2|，则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，进而质疑课本上第一问答案，提出答案应为：爆炸点位于靠近B处的一支双曲线上或线段AB的延长线上的猜想．教师给予肯定。

教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。

终结阶段：教师引导学生一起总结本节课，作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，弹性作业不作统一要求。

二、成功之处：

1、教学方法上：参考巴班斯基的“教学过程最优化”理论：“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上讲台讲解等做法，真正做到了“六让”：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。

3、学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下：全班40多个学生都争先恐后地举手回答，毫不掩饰地互相讨论，积极主动地上讲台表演讲解，练习巩固时，每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨论，共同进步。

4、学生参与的“质量”上：课堂气氛不但很活跃，而且真正激发学生深层次的思维和情感的投入。捕捉住了学生发言中的闪光点和思维的火花，不只满足学生此起彼伏的热烈场面 。

5、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。以双曲线发展史导入，让学生感受数学文化，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣，通过对课本例

2、例3的学习及变式探究，激发了学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，体会数学的系统性、严密性，了解数学真理的相对性；崇尚数学的理性精神。

6、课程资源开发上：介绍数学史，培养浓厚的学习兴趣。寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。备课时，对课本106页例3第一问进行认真研究，再次研读了大学《空间解析几何》中《双曲面》的有关知识，向有关专家请教，最后独立解决了这个问题。保证了知识的科学性。

7、媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。教材中对双曲线定义尽管很严密，但不够直观，所以用了几何画板辅助作图，声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。

8、学生评价上：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动，课堂气氛活跃！从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

9、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

10.教学实效上：既让学生在第一课时的基础上巩固、深化、应用双曲线的定义并掌握待定系数法求标准方程，又可加强对代数运算能力的培养，在此体验方程、化归、数形结合、分类整合等数学思想，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。解方程（方程组）直接影响圆锥曲线乃至解析几何的学习。通过创设情景、启发诱导、动手操作、练习巩固、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握待定系数法求解方程的规律，掌握换元法或整体代入的方法进行消元降次解分母是二次的分式方程组。本节课加强这方面的训练，起到承上启下的重要作用，保证下一阶段解析几何学习的顺利进行。

三、不足之处：

1．本节课的知识量比较大，而且是建立在上一课时双曲线定义和标准方程基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习(利用多媒体幻灯片演示，老师渗透数学史和学生一起回忆一遍)。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题，因此在以后的较学中要加强对学生学习习惯的培养，特别是课前预习的好的学习习惯，加强对上节课程的复习。

2．本节课课堂容量(安排的知识容量)偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应该合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

3．从课堂的效果来看学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟学生讲解，然后让学生练习总结。今后还要加强对学生这方面能力的培养。

4、教学结束时对课本上例3第一问处理上还值得研究。

5、个别关注做得不够。

四、教学机智与学生创新

在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有“创新的火花”在闪烁，这节课当讲完课本上例2学生练习时，我发现：学生将所求双曲线方程设为一般式mx2ny21(mn0)，于是我马上问他是如何想到的，学生提出换元法的本质就是将所求双曲线方程设为mx2ny21(mn0)，既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减少所需的运算。备课时原计划是讲完课本解法后，再把一般式作为单独解法

1,1作

a2b2为整体求解即可。这样，学生帮助我既节约了原本较紧的课堂用时，也提高了教学水平。更令人满意的是，学生们对课本例3第1问可以准确给出答案，弥补了不足，并能准确地说出理由，这是我没有想到的。故教师应当充分重视课堂上学生提出的一些独特见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和和激励。还有这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路。

五、再教设计

1、新课导入：首先，仍然用原来的方式，但要删掉引例中第1题，为后面多留点时间。以对双曲线定义和方程形式的复习来引导学生，指明双曲线两种不同形式的标准方程的统一介绍给学生，我马顿时受到启发，不必单独讲解一般式，现在只需回到课本上，把形式mx2ny21(mn0)是待定系数法解题的基础。

这样的引入方式，既保证本节课以数学文化为背景，又抓住了双曲线两种不同形式的标准方程的实质，确保学生解题的速度和准确性。此外，明白新知识来源于旧知识，促使学生运用模块思想和基本员的方法学习双曲线的标准方程，为顺利完成教学作好思维上的准备。

2、新课讲授：对课本例2的教法学法不变，让学生上黑板练习，更充分地暴露运算上的不足，给出练习答案后，仍然由学生交流算理，小结方法。但对课本例3应加大分析力度，让学生讨论得更清楚一点，知其然更知其所以然，对第1问答案的探讨要比原来教学淡化一点。这样设计的好处是：更能符合学生的认识水平，突出重点（巩固双曲线概念、掌握待定系数法求双曲线标准方程），突破难点（分母是2次的分式方程组的解法），达到教学目的。

3、终结阶段：作业布置不变，仍然分为三种形式，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生不掌握的地方。体现作业的巩固性和发展性原则。弹性作业不作统一要求，目的是帮助学生进一步深化对双曲线定义的理解，达到本堂课的教学目标。

推荐第8篇：双曲线教案[1]

2.2.1 双曲线及其标准方程

一、教学目标

1.通过试验体会双曲线图形，从中抽象出双曲线定义，通过讨论能正确说出双曲线定义. 2.会画双曲线简图.3.能由椭圆标准方程的推导过程类比推导双曲线标准方程，熟记双曲线标准方程.4.能根据条件确定双曲线的标准方程及简单应用.

二、教学重点 （难点）

1.教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.2.教学难点：双曲线的标准方程的推导.

三、教学过程

第一环节 双曲线的定义

1.椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F

1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F

1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|.

2.提出问题

椭圆是平面内一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,当然这个定长要大于这两个定点之间的距离.那么,平面上到两定点距离差等于定长的点的轨迹是什么? 3.简单实验(边演示、边说明)做拉链试验

取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1 ，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.（1）演示图形

4.应该如何描述出动点M所满足的几何条件？ 5.还有其他约束条件吗? 发现问题：

1 （1）当2a2c时， （2）当2a2c时， （3）当2a2c时， （4）当2a =0时,

6.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1 ,F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1 ,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.第二环节

画出双曲线简图 第三环节

双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导： (1)建系设点

取过焦点F

1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴 (如图2-24)

建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F

1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F

1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． (3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.

这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

x2y2（1）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（-c，0）、F2（c，0），这里c2a2b2; y2x2(2）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（0，-c）、F2（0，c），这里cy互换即可得到）

教师指出：

2a2b2；（只须将（1）方程的x、(1)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(2)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2a2b2不同于椭圆方程中c2a2b2.第四环节

应用反馈

例1：已知双曲线上一点P到两焦点F1(5,0)、F2(5,0)的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程.

x2y2简解：双曲线有标准方程221（a0,b0）.

abc5，2a 6，又c2a2b2 a3，b4.

3 x2y21 ∴916

变式：

1.若P F1P F2=6?

x2y21(x0)9162.若PF1PF210?

两条射线

3.若PF1PF212? 轨迹不存在

4

推荐第9篇：双曲线的教案

《双曲线的简单几何性质》说课稿

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中

的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4.教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

二、教学程序

（一）.设计思路

（二）.教学流程

1.复习引入

我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。

2．观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3.双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线

的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。

从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数

的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是

的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线

有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程

，可解出

，

，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为

，我们就会发现：当x无限增大，

逐渐减小、无限接近于0，而

就逐渐增大、无限接近于1(

)；若将

变形为

，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线

的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线

的图形在远处与直线

无限接近，此时我们就称直线

叫做双曲线

的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线

(a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为

，

，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为

，

，可发现当x无限增大时，

逐渐减小、无限接近于0，

逐渐增大、无限接近于

，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比

小，与斜率为

的直线无限接近，且此点永远在直线

下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线

(a>0，b>0)的图形在远处与直线

无限接近，直线

叫做双曲线

(a>0，b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

（2）证明 如何证明直线

是双曲线

(a>0，b>0)的渐近线呢？

启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）

启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？

启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d

（工具是什么：点到直线的距离公式）

启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？

分析：要证明直线

是双曲线

(a>0，b>0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离

｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。

启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？

（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）

引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。

（3）深化

再来研究实轴在y轴上的双曲线

(a>0，b>0)的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为

。

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线

所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。

4.离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：

，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

由等式

，可得：

，不难发现：e越小（越接近于1），

就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，

就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

5.例题分析

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例1.求双曲线9x2－16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

变1：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的：和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。

关键在于对比：双曲线的形状不变，但在坐标系中的位置改变，它的那些性质改变，那些性质不变？试归纳双曲线的几何性质。（小结列表） 变2：已知双曲线的渐近线方程是

，且经过点(

推荐第10篇：双曲线的简单几何性质的教学反思

随着课程改革的不断推进，在开展的各种公开课、展示课的活动中，以下三方面的问题引发教师们的更多思考：

一、教学需要讲求实效

教学的实效性是课堂的生命线，在学生学习的主战场——课堂，不具有效率就不具有生命力，因此，我们会发现，有些课型只能昙花一现（公开课中），而在常规课堂几乎没有生存空间。

有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程，特别是对于教材中出现较为突兀的虚轴和渐近线，从双曲线方程的研究中获得了很好的解释，并把双曲线几何性质及其发现获得的过程用下图展示出来，有利于学生建立双曲线几何性质的良好知识网络，此外，为了加强两种标准位置双曲线几何性质的对比和联系，在小结中又增加了让学生按表格进行梳理的要求。

有效教学要促进学生迁移运用所学，发展学生学习的积极情感。本课在研究获得双曲线的几何性质后，设计了两项任务：一是自行研究获得双曲线 的几何性质，二是练习题“研究的渐近线”，以此促进学生迁移运用所学的研究方法，加深学生对研究过程的理解和认识，并通过练习题的归纳、发现，激发学生学习的积极情感，感受数学思考发现的快乐。

有效课堂教学活动在课堂结束时，学生的学习活动不应该停止，而是在解决了原有问题后，引发学生新的思考与发现，课堂的教学应该是为了课下的不教。正常来讲，一个人知道的越多，疑问也就应该越多，需要思考研究的问题也就越多，因此，应该鼓励学生对学习过程中去反思和梳理，发现新的思考探究点，不断扩大自己的认识。本课结尾部分是出于该想法进行设计的，但是在实际教学活动中，由于时间关系，教师只能在拖堂的一分钟时间内匆匆提出，没能给予学生思考时间。

二、如何摆正教师教的主体和学生学的主体地位？

从教学的最根本目的“通过教学活动促进学生的发展”来看，这就决定了学生在教学活动中处于最核心的地位，不论是以什么样的教学方式、技巧，其效用的实现，最终都离不开学生主体的心理及思维活动，因此，教师的教必须以学生为出发点，以学生已有认知水平为基础。

从学生学习的发生条件来看，学生主体的系列心理及思维活动的发生，需要一定的数学学习情境的作用，而数学学习情境作用的大小，又取决于教师能否创设出与学生认知水平相适应的学习情境，因此，学习情境能否成为有效刺激，从而激活学生的数学学习活动（有深层次的数学思维参与）的发生，都有赖于教师教的主体能动性的发挥。

因此，两个主体的关系概括来讲，就是教师教的主体作用，应体现在如何有效促进学生学习的主体性。由此来看，教师当讲则讲，就不必去忌讳讲解，但是教师讲解的语言要能够揭示出数学的本质，要能体现数学的逻辑的力量，要能够展示数学的魅力。本课在设计过程，一直有一个矛盾，就是既要保证课堂的效率，又要确保学生学习中的发现和研究活动，比如：有些环节让学生去发现是非常困难的，因此需要较多的铺垫和相当充足的时间才可以保证，而我又不想让双曲线的渐近线的学习占用一节课时间，因为按正常课时安排是不允许的，后来在上述思考的基础上，确定了现在的设计：对于学生在现有认知基础上，多数同学可以自主探究获得的双曲线的范围、对称性设计成课前预习探究作业，把双曲线离心率的概念学习和双曲线几何性质的简单应用的例题设计成课后阅读学习，对渐近线的发现、解释、证明设计成教师引导下的探究活动，并把从双曲线方程对渐近线的代数特征解释作为教师讲解，把焦点在y轴上的双曲线几何性质的研究和练习题的解决作为学生迁移运用所学思想方法的实践活动，把反思本课研究过程中产生的疑问与思考作为学有余力的优秀学生的课后施展才能的舞台。

当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，比如教师在学生课前预习探究成果交流阶段，如果有更好的语言功底，点评能够做到既简洁又准确，就能节省一些时间，结尾部分的反思研究过程，发现新疑问的环节就可以充分一些，但是，总体上讲，课堂容量还是显得有些太大，相对于45分钟课堂来讲太紧张了。

三、对引导性问题需要精益求精

由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程中总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。因此数学问题是数学思维目的性的体现，也是数学思维活动的核心动力。因此在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。这就决定了合理有效的系列问题设计，和激发疑问生成的情境设计，成为能否有效促进学习主体进行深层次数学思维的关键！

从数学学习心理学和数学学习的一般规律来看，能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：

（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。

（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。

（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。

（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？……促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。

（5）问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学习行为，及时整理、内省自己的思维过程，提升对知识、方法的认识。如：问题是怎样得到解决的？使用了哪些思维方法？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？……

这在本节课的教学活动确实有所体现，但是还有一定的欠缺，这需要在教学实践中不断的去摸索经验，此外在教学设计中还应更加细致，预先设置的更细致些，会有更好的效果。

第11篇：双曲线几何性质2

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 课双曲线几何性质 题 学1．了解双曲线的简单几何性质——渐近线习2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 目.标 重双曲线的几何性质及初步运用。 点 难双曲线的渐近线 点 问题 1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线 标准方程 观察图形，把握对 称性`开放性和特 殊点 渐近线方程 问题2实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线 学方程可表示为___________，渐近线方程为________,习问题3：不同的双曲线渐近线会相同吗？ 过x2y222程 1.双曲线491渐近线方程为_____，双曲线y36x161渐近线方程为_____ 2.（2009天津卷文）设双曲线x22a2yb21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，x224ky9k1渐近线方程为____ 例2.已知双曲线方程x29y2161，求与它共渐近线且满 1）过点(3,23) 22）焦点为椭圆x210y51的顶点 3）焦距为10 渐近线应用 21）（2009宁夏海南卷理）双曲线x24-y12=1的焦点到渐近（A）23 （B）2 （C）3 2） (2011年湖南)设双曲线x2a2y291a0的渐近线3）（2010浙江理数）（8）设Fx

21、F2分别为双曲线a2曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线双曲线的渐近线方程为 （A）3x4y0 （B）3x5y0 （C）4x3yx24）.（2009全国卷）双曲线y21的渐近线与圆(b

第12篇：双曲线的渐近线教案

双曲线的渐近线教案

教学目的

(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．

(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．

教学过程

一、揭示课题

师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？

生(众)：能画出来．

师：能画得比较精确点吗？

(学生默然．)

其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线

我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越

的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．

(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义

师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？

直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．

设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则

考察一下y变化的范围：

因为x2－a2＜x2，所以

这个不等式意味着什么？

(稍停，学生思考．)

平面区域．

之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．

为此，我们考虑下列问题：

经过A

2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B

2、B1作x轴的平行线y＝±b，

以看出，双曲线

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

下面，我们来证明这个事实．

双曲线在第一象限内的方程可写成

设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

上与M有相同横坐标的点，则

设|MQ|是点M到直线

的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线

叫做双曲线的渐近线．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双

手画出比较精确的双曲线．

[提出问题，解决问题，善始善终．]

三、初步练习

(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)

1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：

(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．

2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：

求双曲线方程并画出双曲线．

(练习毕，由学生回答，教师总结．)

解题的主要步骤：

第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．

第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．

师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．

[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]

四、建立法则

师：仔细分析一下上述练习的结果：

双曲线方程：4x－y＝4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：4x－y＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．

可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．

2

22

2

(启发学生讨论、归纳．)

生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．

生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．

生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．

生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．

生戊：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？

把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？

点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．

就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，

b2x2－a2y2＝0，

即 bx±ay＝0；

b2y2－a2x2＝0，

即 by±ax＝0．

所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．

分情况证明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，

故渐近线方程为

也可以化成 Ax±By＝0，

即 Ax－By＝0．

其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为

Ax±By＝0

的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：

(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常数)．

现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？

生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为

x2－4y2＝C． 22

22

∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．

∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．

[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]

五、巩固应用

师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．

2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．

(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)

师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．

由双曲线求渐近线：

由渐近线求双曲线：

二是直接运用法则．

练习2的解法如下：

六、布置作业

课本练习；略．

教案说明

(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．

(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．

本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．

(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．

第13篇：关于双曲线知识点总结

双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。下面是关于双曲线知识点总结，请参考！

关于双曲线知识点总结

双曲线方程

1.双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i.焦点在x轴上：

顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或

ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：.准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或 .

②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距(两准线的距离);通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则：

构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?

解：令双曲线的方程为：，代入得.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、

2、

3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

简证： =.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。

第14篇：解析几何9.7 双曲线(学案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

学案 第九编 解析几何 主备人 张灵芝 总第49期

§9.7 双曲线

班级 姓名 等第

基础自测

1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x-y=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 .3.已知椭圆xa2222yb22=1（a＞b＞0）与双曲线

2xm

222yn2

22=1（m＞0,n＞0）有相同的焦点（-c，0）和

（c，0）.若c是a与m的等比中项，n是m与c的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F

1、F2分别是双曲线xa22yb22=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为 .5.已知P是双曲线xa22y29=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F

1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3，则|PF1|= .例题精讲

例1 已知动圆M与圆C1：（x+4）+y=2外切，与圆C2：（x-4）+y=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线

297 ）；（2）与双曲线x22

22

2

x29y216=1有共同的渐近线，且过点（-3，316y24=1有公共焦点，且过点（

32，2）.

例3 双曲线C：xa22yb22=1 (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使AP²PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围.

巩固练习

1.由双曲线x29y24=1上的一点P与左、右两焦点F

1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.

2.已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,（1）若双曲线经过P（（2）若双曲线的焦距是

23.已知双曲线的中心在原点，焦点F

1、F2在坐标轴上，离心率为

26，2），求双曲线方程；

13，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

,且过点P（4，-

10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：MF1²MF2=0；（3）求△F1MF2的面积.

回顾总结

98 知识 方法 思想

99

第15篇：§8.2.4双曲线几何性质

双曲线的几何性质（2）

一．课题：双曲线的几何性质（2）

二．教学目标：1.巩固双曲线的几何性质；

2.能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。

三．教学重、难点：几何性质的运用。 四．教学过程：

（一）复习：

1．双曲线的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。 2．练习：

①双曲线25x216y2400的实轴长等于

，虚轴长等于

，顶点坐标为

，

焦点坐标为

，渐近线方程为

，离心率等于

． （若方程改为16y225x2400呢？）

（二）新课讲解： 例1．求证：双曲线

【练习】与双曲线y2xa22yb22（0）与双曲线

xa22yb221有共同的渐近线。

4x231有共同的渐近线且经过点M(3,2的)双曲线方程是 ．

例2．求中心在原点，一条渐近线方程为2x3y0，且一焦点为(4,0)的双曲线标准方程。

例3．已知双曲线的渐近线方程为y23x，实轴长为12，求它的标准方程。

五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。 六．作业： 课本P114第6题

补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)，

（1）求双曲线方程；

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：MF1MF2； （3）求F1MF2的面积。

第16篇：双曲线的简单几何性质教学反思（优秀）

双曲线的简单几何性质教学反思

圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题，主要是对圆锥曲线几何性质的考查，因此，课堂教学时应重视对圆锥曲线几何性质的归纳和运用.有效教学要在学生已有认知基础上，寻找学生最近发展区促进学生更深层面上思维和理解。本节课学习活动是以学生对椭圆几何性质的认知基础上进行的，利用方程讨论曲线的性质的这种方法，学生在学习讨论椭圆的性质时已经尝试探讨过，所以这节课主要是对照椭圆几何性质，让学生通过类比的思想方法得出双曲线的几何性质.充分调动学生学习的积极性，使学生更清楚地区分两者曲线，找出“共性”和“个性”.

有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程.当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，一是与椭圆的类比不到位，二是知识网络的形成欠缺，三是由于应用多媒体，客课容量是增加了，但个别知识容易造成一带而过，引不起足够重视，四是时间分配上存在误差，练习时间减少。

在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？…….促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。（5）问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学习行为，及时整理、内省自己的思维过程，提升对知识、方法的认识。如：问题是怎样得到解决的？使用了哪些思维方法？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？……..

这在实际教学活动确实有所体现，但是还有一定的欠缺，这需要在教学实践中不断的去摸索经验，此外在教学设计中还应更加细致，预先设置的更细致些，会有更好的效果。

第17篇：双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）

教学目标：

1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标

准方程；

3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：

一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。

（1）若r4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r1，试求动圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）：

师：当r4时，我们得到的轨迹是什么？

生：是椭圆。

是：为什么？

生：因为当r4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足

MF14MF2，移项后可以得到：MF1MF24满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F

1、F2为定点，4为定长的椭圆。

师：很好。那么，当r1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？

生：有两种情况：内切和外切。

师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF11MF2，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1MF21，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF21即MF1MF21，圆心的轨迹我们称之为双曲线。

二、新课讲解：

1、定义给出

师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？

生：双曲线是到平面上两个定点F

1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？

生：当MF1MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF22a时，表示的是双曲线的左支。

2、定义探究

（教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？

生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：

（1）若a=0，则有MF1MF20即MF1MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；

（2）若2a=F1F2,则有MF1MF2F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F

1、F2为端点的两条射线；

（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。

3、双曲线标准方程的推导过程：

师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）

第一步：建立直角坐标系；

第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；

第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： PMMF1MF22a；

第四步：建立方程：(xc)2y2(xc)2y22a；

ab教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）

y2x2 生（练习后）：此时的标准方程应该是221(a0,b0)。

ab 4．双曲线标准方程的探讨：

师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？ y21(a0,b0)，这里c2a2b2  第五步：化简，得到

x22y221(a0,b0)

生：a、b、c满足等式c2a2b2，所以有a2c2b2，可以得到a,bc，但不能判断ab。 师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？

y2x2x2y2 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为221和221，我们发现焦点所在轴相

abab关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。

x2y21，那么你如何寻找a？

师：很好。如果我们知道的方程是32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。

x2y21呢？

师：如果方程是32 生：先化成标准方程。

师：请同学总结一下。 生：化标准，找正号。 5．运用新知：

y2x21表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时

【练习】已知方程9m1双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是________________________。

【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F

1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 y221(a0,b0)，

所以b2523216，

x2y21。

所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，动点P到F

1、F2的距离的差

等于6，求P点的轨迹方程。

解：因为PF1PF26，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为1(a0,b0)， a2b2 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 x2y2 所以b2523216，

x2y21(x3)。

所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P

1、P2的坐标分别为

9(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。

4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2 221(a0,b0)，

ab 因为点P

1、P2在双曲线上，所以点P

1、P2的坐标适合方程，代入得： (42)232212ab2a162 可解得：。 92b9425212bay2x21。

所以所求双曲线得标准方程为：169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P

1、P2的坐标分别为

9（分情况讨论） (3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。4 【练习】（1）ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6)，顶点A满足ABAC8，

求A的轨迹方程。

（2）ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边所在直线的斜率之积是

4，求顶点9A的轨迹。

三、本课小结：

师：我们总结一下本节课我们学了什么？

生：

1、双曲线的定义；

2、双曲线标准方程推导过程；

3、运用已有知识解决一些

简单的问题。

四、作业：

课本P108：

2、

3、4 问题：一炮弹在M处爆炸，在F

1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为340m/s，那么M点一定在哪条曲线上？

第18篇：第四节：双曲线的几何性质

第四节：双曲线的几何性质

习题精选

一、选择题

1．经过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是（ ）．

A． ；

B． ；

C． ；

D．

2．已知双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线的（ ）．

A．焦距为10

B．实轴和虚轴长分别是8和6

C．离心率是 或

D．离心率不确定

3．若方程 表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（ ）．

A．有相同的实轴和虚轴

B．有共同的焦点

C．有共同的准线

D．有相同的离心率

二、填空题

4．双曲线 上一点 到左焦点距离为8，则它到右准线距离为_________．

5．对称轴为坐标轴的双曲线的准线与渐近线的一个交点是 _____________．

，则双曲线方程是6．设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 ， 两点，已知原点到直线的 的距离为 ，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题

7．已知双曲线的两条渐近线方程为 ，一条准线方程为 ，求双曲线方程．

8．过双曲线 点，以

的左焦点 ，斜率为 的直线 与两准线交于 ， 两为直径的圆过原点，且点（3，2）在双曲线上，求双曲线方程．

，9．过点（2，2）的双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且它的右准线方程是 求（1）双曲线的离心率；（2）双曲线右焦点的轨迹方程．

10．过点 作直线，使它恰好与双曲线

参考答案：

有一个交点，求直线方程．

一、选择题：1．B；2．C； 3．B；

二、填空题：4． ； 5． 或 ； 6．2；

三、解答题：7． ； 8． ；

9．（1） 即 ；（2）设双曲线的右焦点为

．

，由双曲线定义有 ，10．、

典型例题（例1～例4）

例1 求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程及离心率．

解法一：双曲线 的渐近线方程为：

（1）设所求双曲线方程为

∵ ，∴ ①

∵ 在双曲线上

∴ ②

由①－②，得方程组无解

（2）设双曲线方程为

∵ ，∴ ③

∵ 在双曲线上，∴ ④

由③④得 ，

∴所求双曲线方程为： 且离心率

解法二：设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：

∵点 在双曲线上，∴

∴所求双曲线方程为： ，即 ．

评述：（1）很显然，解法二优于解法一．

（2）不难证明与双曲线 共渐近线的双曲线方程 ．

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程．

求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数

（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．

例2 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象如右图，

，∴ ，∴

即表示双曲线 的右支．

例3 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象应该是圆 完成．）

及双曲线 在 轴上方的图象．（画图请自行

评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线 的方程是 ，那么点 在曲线 上的充要条件是 ”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．

例4 求以曲线

实轴长为12的双曲线的标准方程．

和 的交点与原点的连线为渐近线，且

分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．

解：∵ ，∴ 或 ，

∴渐近线方程为

当焦点在 轴上时，由 且 ，得 ．

∴所求双曲线方程为

当焦点在 轴上时，由 ，且 ，得 ．

∴所求双曲线方程为

评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．

（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．

典型例题（例5～例10）

例5 已知双曲线的渐近线方程为 标准方程．

，两条准线间的距离为 ，求双曲线

分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

解：∵双曲线渐近线方程为

（1）若 ，则

，

，∴设双曲线方程为

∴准线方程为：

（2）若 ，则

，

，∴

，∴

∴准线方程为： ，

∴ ，

∴

∴所求双曲线方程为： 或

评述：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．

（2）通过待定系数法求出参数

例6 中心在原点，一个焦点为 标准方程．

．

的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为

，求双曲线

解：设双曲线的标准方程为 ，则 ，

解得

∴ 为所求双曲线的标准方程．

评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．

例7 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点

且离心率为

的双曲线标准方程．

解：设所求双曲线方程为： ，则 ，

∴ ，∴ ，∴所求双曲线方程为

评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率 线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：

是双曲

设等轴双曲线

∴

，则 ，

∴ ，∴

反之，如果一个双曲线的离心率 ．

∴

∴ ， ，∴

， ，∴ ，

∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

例8 已知点 值最小．

解：∵ ，

， ，在双曲线 上求一点 ，使 的

，∴ ，∴

设点 到与焦点 相应准线的距离为 则

∴ ，∴

至此，将问题转化成在双曲线上求一点 ，使 到定点 的距离与到准线距离和最小．即到定点 的距离与准线距离和最小为直线 垂直于准线时，解之得，点

评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

例9 已知：

求：点

是双曲线

、

的距离．

上一点．

到双曲线两焦点

分析：利用双曲线的第二定义．

解：如图，设点 到相应焦点

、

的准线的距离为

、

．

当 点在双曲线的右支上时， ，且有

∴ ，

当点 在双曲线的左支上时， ，且有

∴ ，

评述：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：

在双曲线 点

的一支上有三个不同点

的值．

、、与焦的距离成等差数列，求

解：直接利用焦半径公式，得： ， ，

∴ ，

∴ ，即

注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．

例10 如图所示，已知梯形 过、、三点，且以

、

中， 为焦点，当

、

，点 满足 ，双曲线

时，求双曲线离心率的取值范围．、

的坐标及双曲线的方程求解． 轴，建立直角坐标系

，则、

关

分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过

解法一：以直线 于 轴对称．

为 轴，以

、

的垂直平分线为

、轴，因双曲线过点 ，且以 为焦点，由双曲线的对称性可知

设 的高．、、，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形

由 ，即 ，

得 ，

设双曲线方程为 ，则离心率为 ．

由点、在双曲线上，将、的坐标和 ，代入双曲线方程得

由①得 ，将③代入②式中，整理得：

∴

∴ ，又∵ ，∴ ，

∴双曲线的离心率取值范围为

分析二：建立直线

．

方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．

解法二：前面部分同解法一．

可求得直线 方程为 ，将其代入双曲线方程

中，得

又∵、为上述二次方程的两根，∴ ①

又∵ 在双曲线上，∴

②

∵

③

将②③代入①中，得：

∵ ，∴

以下同解法一

分析三：借助焦半径公式解题．

∵ ，∴

①

∴ ，由焦半径公式，得：

②

将①代入②，得：

∵ ，∴

以下同解法一

评述：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：、、如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．

、）．难点：

（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．

第19篇：双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点． (2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第

一、三象限且远离原点时，|在

二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于

一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于

二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定． (2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x， 2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数) ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上， ∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1 (3＜k＜13) 13k3kx2y2即＝1， 13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝， a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上， ∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5， a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时， 根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，

c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F

1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第

一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，

则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50， 所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25) 6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

43

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，

21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得 (4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，

4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。 4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（） A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F

1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．

，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F

1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－

)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2； (3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2， ＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，

∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，

∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³(

2)2＝2(a2＋b2) ∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，

∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0 ，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，

∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－

)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，，当双曲线焦点在y轴时，，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6

)2＝λ，

∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3， ∴M(3，±)

，0)，F2(2

＝1，

又由双曲线方程知F1(－2，0) ∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x， ∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．

) 12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0) 由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，

∴kl＝，又BC中点(－4，) ∴l的方程为y－＝ (x＋4)，即点P在直线y＝ (x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－

，得θ＝60°

第20篇：双曲线及其简单几何性质作业

家长签字：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：

1 求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2 （3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分

2 过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（ （2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、

（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的

垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

812，求K的范围

《双曲线教学设计.doc》

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