讲座（1）考好数学的基点
“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“与大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。
你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图”。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。
先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明 —— 关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。
有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，„„。
这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。
当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力
数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库”。尽可能熟悉课程讨论的基本对象。就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的， “三个典型的（极限）不存在”，“x 趋于+∞ 时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。”“三个典型的不可导”，“四个典型的不可积”，„„，等等。
概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。
当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 „„”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
讲座（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；
或 “要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样？”
写 成 “连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则 “ 连续C -连续A = 不连续B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
题面上有已知条件 f ′(1) > 0 ，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于0 时 ， lim( f(1+h)-，0，n，0，--，0，n，0，-∞” 是未定式。）
对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是“封闭”的。即集合中的任意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是！我们就说“集合对于线性运算是封闭的。”高一个层次的理论中，这是集合能否被称为“线性空间”首要条件。
显然，m × n阶矩阵集合，n 维向量集合，C[a，b] 函数集合，C k（a，b）函数集合，对于线性运算都是封闭的。
2.向量内积与矩阵乘法
由于理论或应用的需要，人们经常需要考虑在集合上定义更特殊的“运算”。这些“运算”在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中任意两个元与唯一的“第三者”的特殊对应规律。 高级语言称之为集合上的 一个“二元关系” 。
内积是n维向量集合上的一个“二元关系”—— 两个n维向量对应唯一确定的一个数。即
对任意两个n 维行向量 α = (α1, α2, „ ，αn) , β = (β1,β2 ,„ ，βn) , 规定
内积 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + „ + αnβn （ = β?α）
（画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。）
内积又叫数量积。定义内积是深化讨论的常用手段，理论背景深远，应用范围广阔。比如，更高层次的讨论中，在C[a，b] 函数集合上定义内积为 内积 （f，g）= 积函数f（x）g（x）在[a，b]上的定积分
《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。借助于列向量可以把m×n阶矩阵A表示为
A = (a1，a2，„，a n ) ，称为矩阵 A 的 列分块式 。
其中，列向量 a1 = ( a 11，„，a n 1 ) ˊ，„„ ， a n = ( a 1n ，„ ，a n n ) ˊ
如果把每个列块视为一个元素，可以说 A = (a1，a2，„ ，a n) 是一个“形式向量”。这个观念对学习《线性代数》大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为
(a1，a2，„ ，a n) （x1，x 2，„ ，x n）ˊ= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 +„„+ x n a n = 0 后面将会利用这个形式转换，把“（列）向量组的线性相关性”与“齐次线性方程组有无非零解”相连系。
矩阵乘法是矩阵集合上的一个“二元关系” 。它的计算基础是向量内积。具体规定为 ——
m×n 阶矩阵A（a i j）与n×s 阶矩阵B（b i j）可以有乘积矩阵AB =（c i j），
AB是m×s阶矩阵，它的元素c i j 具体为 c i j = A的第i 行与B的第 j 列的内积。
即 c i j = a i 1b j1 + a i2 b j 2 + „ + a i n b j n ，1≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ s 阶数规则 （m×n）（n×s）=（m×s）， 保证“左行右列作内积”可行。
最特殊的两种情形是 （m×1）（1×s）=（m×s） 与 （1×n）（n×1）=（1×1）
后一情形就是两个向量作内积。
进一步有分块矩阵乘法。
按照应用需要，《线性代数》常常会将矩阵变化为某种分快形式。并实施矩阵乘法。较常见的是变化矩阵为 列分块式 或 行分块式。
要分块矩阵乘法可行，必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。 宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则。
微观可乘：所有要相乘的子块，全都满足阶数规则。
乘法变形1.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s） AB = A（b1，b 2，„，b s）=（A b 1，A b 2，„，A b s）
宏观可乘：各分块看成一个元素，满足阶数规则 （1×1）（1×s）=（1×s）
微观可乘：对应相乘的子块 A b j 都满足： （m×n）（n×1）=（m×1）
乘法变形2.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s） AB =（A的行分块式）（B的列分块式）
这个分块乘积式显式了矩阵乘法与内积的关系。积矩阵AB 的每一个元都是内积形式。
乘法变形3.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s） AB =（a1，a 2，„，a n）（b i j）
=（a 1 b 11 + a 2 b 21 + „ + a n b n1 ，„，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + „ + a n b n n）
乘积AB具列分块式。且它的各列都是A的列向量的线性组合。
乘法变形3 的特殊情形就是“形式内积”。 （1×n）（n×1）=（1×1），考研数学题要求你会逆向还原：
c1 a1+ c 2 a2 +„„+ c n a n = (a1，a2，„ ，a n) （c1，c 2，„ ，c n）ˊ
例 设有列向量组 a1 ，a2 ，a3 ，它们排成矩阵 A =（a1，a2，a3） ，如果它们的三个线性组合分别是 a1 + a2 + a3 ，a1 + 2a2 +4a3 ，a1 + 3a2 + 9a 3 ，试写出新的三向量排成的矩阵B与A的关系。
分析 关键在于反写形式内积 a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ a1 + 3a2 + 9a3 =（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ
于是 ，这三个线性组合为列排成的矩阵 ，等于A乘以 “三个系数列排成的矩阵” 。
乘法变形4.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m ×1） AB =（a i j）（B的行分块式）
乘积AB具行分块式。且它的各行都是B的行向量的线性组合。
分块矩阵乘法形式多样，内函丰富。每一类形式变换都带来理论新意。充分体现出《线性代数》的特点，也是重点难点。对学生来说又相当陌生，史无前遇。考研复习《线性代数》的第一任务，就是熟悉矩阵乘法，熟悉分块矩阵乘法变换的各种形式及其新含义。
