定积分理论
一、实际应用背景
1、运动问题—设物体运动速度为vv(t),求t[a,b]上物体走过的路程。
(1)取at0t1tnb,[a,b][t0,t1][t1,t2][tn1,tn], 其中tititi1(1in);
(2)任取i[xi1,xi](1in),S
nf()t; iii1
iin(3)取max{xi},则Slim1in0f()x i1
2、曲边梯形的面积—设曲线L:yf(x)0(axb),由L,xa,xb及x轴围成的区域称为曲边梯形,求其面积。
(1)取ax0x1xnb,[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn], 其中xixixi1(1in);
(2)任取i[xi1,xi](1in),A
nf()x; iii1
iin(3)取max{xi},则Alim1in0f()x。 i1
二、定积分理论
(一)定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数,
(1)取ax0x1xnb,[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn], 其中xixixi1(1in);
(2)任取i[xi1,xi](1in),作
nf()x; iii1
inax{xi},(3)取m若lim1in0f()x存在,称f(x)在[a,b]上可积,极限称为f(x)i
i1
在[a,b]上的定积分,记b
af(x)dx,即f(x)dxlimf(i)xi。 abn0i1
【注解】
(1)极限与区间的划分及i的取法无关。
n
1,xQ
【例题】当x[a,b]时,令f(x),对limf(i)xi,
0
i10,xR\\Q
n
n
情形一:取所有iQ(1in),则lim
0
f()x
i
i1
n
i
limxiba;
0
i1
情形二:取所有iR\\Q(1in),则lim
0
n
f()x
i
i1
i
0,
所以极限lim
0
f()x不存在,于是f(x)在[a,b]上不可积。
i
i
i1
(2)0n,反之不对。
112n1n1
,],xi(1in);
nnnnnn
i1i
取法:取i或i(1in),则
nn
分法:等分,即[0,1][0,][,][
1ni1ni1
f(x)dxlimf()limf()。
nnnnni1ni1
则
b
a
banif(x)dxlimf[a(ba)]。 nni1n
1n2i【例题1】求极限lim。
nnni1
11n2i
【解答】lim2xdx。
0nnni1
【例题2】求极限lim(
n
1n1
1n2
1nn
)。
22
)
【解答】lim(
n
1n1
1n
21nn1n
()2
n
22
1lim[nn
11()2
n
2()2
n
]
dxx
三、定积分的普通性质
1、
2、
3、
4、
[f(x)g(x)]dx
a
bb
a
f(x)dxg(x)dx。
a
b
kf(x)dxk
a
bb
a
f(x)dx。
bc
b
a
f(x)dxf(x)dxf(x)dx。
a
c
b
a
dxba。
5、设f(x)0(axb),则【证明】
b
a
f(x)dx0。
b
a
f(x)dxlimf(i)xi,
0
i1
n
因为f(x)0,所以f(i)0, 又因为ab,所以xi0,于是
n
f()x
i
i1
n
i
0,由极限保号性得
limf(i)xi0,即f(x)dx0。
0
i1
b
a
(1)
b
a
f(x)dx|f(x)|dx(ab)。
a
b
(2)设f(x)g(x)(axb),则
b
a
f(x)dxg(x)dx。
a
b
6(积分中值定理)设f(x)C[a,b],则存在[a,b],使得
四、定积分基本理论
定理1 设f(x)C[a,b],令(x)
b
a
f(x)dxf()(ba)。
x
a
f(t)dt,则(x)为f(x)的一个原函数,即
(x)f(x)。
【注解】
(1)连续函数一定存在原函数。
dx
f(t)dtf(x), (2)adx
d(x)
f(t)dtf[(x)](x)。 adx
d2(x)
(x)f[1(x)]1(x)。 f(t)dtf[2(x)]2(3)
dx1(x)
【例题1】设f(x)连续,且(x)【解答】(x)
x
(xt)f(t)dt,求(x)。
0x0
x
(xt)f(t)dtx
0f(t)dttf(t)dt,
x
(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt,(x)f(x)。
xx
【例题2】设f(x)为连续函数,且(x)【解答】(x)
x2t2u
tf(x
x
t2)dt,求(x)。
x
tf(x2t2)dt
1x2222
f(xt)d(xt) 20
101x2
2f(u)duf(u)du,
2x20
f(x2)2xxf(x2)。 2
(x)
定理2 (牛顿—莱布尼兹公式)设f(x)C[a,b],且F(x)为f(x)的一个原函数,则
b
a
f(x)dxF(b)F(a)。
【证明】由F(x)f(x),(x)f(x)得[F(x)(x)]f(x)f(x)0, 从而F(x)(x)constant,
于是F(b)(b)F(a)(a),注意到(a)0, 所以(b)F(b)F(a),即
五、定积分的积分法
(一)换元积分法—设f(x)C[a,b],令x(t),其中(t)可导,且(t)0,其中
b
a
f(x)dxF(b)F(a)。
()a,()b,则f(x)dxf[(t)](t)dt。
a
b
(二)分部积分法—
udvuvvdu。
a
a
a
b
b
b
六、定积分的特殊性质
1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)C[a,a],则 (1)则
a
a
f(x)dx[f(x)f(x)]dx。
a
(2)若f(x)f(x),则
a
a
f(x)dx2f(x)dx。
a
(3)若f(x)f(x),则
a
a
f(x)dx0。
【例题1】设f(x),g(x)C[a,a],其中f(x)f(x)A,g(x)为偶函数,证明:
a
a
f(x)g(x)dxAg(x)dx。
a
【解答】
a
a
a
f(x)g(x)dx[f(x)g(x)f(x)g(x)]dx
a0
a
[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx。
(2)计算
arctane
22
x
|sinx|dx。
【解答】
arctane|sinx|dx2(arctanexarctanex)sinxdx,
x
x
x
exex
0, 因为(arctanearctane)2x2x
1e1e
所以arctanexarctanexC0,取x0得C0
,
于是
arctane|sinx|dx
22
x
20
2
sinxdx
。
2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期,则 (1)
aT
a
。 f(x)dxf(x)dx,其中a为任意常数(周期函数的平移性质)
T
如
3
sinxdx2sinxdx22sin2xdx。
(2)
nT
f(x)dxnf(x)dx。
T
3、特殊区间上三角函数定积分性质
(1)设f(x)C[0,1],则
20
f(sinx)dx2f(cosx)dx,特别地,
20
sinxdxcosxdxIn,且In
20
n
n
n1
In2,I0,I11。 n2
sinx
【例题1】计算2dx。
1ex2
sin4xsin4xsin4x2【解答】dx()dx x01ex1ex1e2
1131342sin4xdxI2()sinxdx。 4x01ex0422161e
【例题2】计算【解答】
100
cosxdx。
100
cosxdx
50
100
cosxd(x)
100
100
cosxdx
50
2
cosxdx
cosxdx
cosxdx
1cosx2xx222
。 dxsind()sinxdx00222