考研数学讲座（17）论证不能凭感觉
一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。
1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?
分析 只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。
x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小， sinα（x） ～ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。
等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2
2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性） ？
分析 有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(－x)= －f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x) 等式两端分别求导，得 fˊ(－x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x) （实际上，由复合函数求导法则， （f(－x)）ˊ= fˊ(－x) (－x)ˊ= －fˊ(－x)）
所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。
（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）
单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。
如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。
有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。
取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。 这个反例说明有界函数的导数不一定有界。
（画外音：写出来很吓人啊。 x → 1 时 ，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= －∞ ）
3． 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？
分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：
取分段函数 g（x）为，x ＞ 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。 取 f（u）=√u ，则 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。 还有一些原因让“病态点”消失。
如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。
取 f（u）= u的平方 ，则 f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。
4．设 f (x)可导，若x趋于 +∞ 时 ，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想，就知为否。 例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞ 时 ，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。 5．设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞ 分析 用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）： 因为 lim fˊ(x) = +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式
f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x－x0) , x0 ＜ξ＜ x (潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗？) 进而就有, x ＞x0 时, f (x) ＞f (x0) + 1(x－x0) （画外音：这一步是高级动作。） 因为 f (x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞ 6 。 设 f (x)可导，若 x 趋于 -∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。 请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是
若 x 趋于 -∞ 时，lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞
7．设 f (x)可导，若x 趋于+∞时，lim f (x) = c（常数，）是否必有lim f ˊ(x) = 0 分析 否。lim fˊ(x) 有可能不存在。
这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”
想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。
由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如， 曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。 对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在，则必有 lim fˊ(x) = 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A ＞0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x＞x0 时，总有 fˊ(x)＞A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有
f (x) ＞f (x0) + A(x－x0) /2 —→+∞ 矛盾。
8．函数在一点可导，且导数大于0 ，能说函数在这一点单增吗？
分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim ( f (x)－f（x0））/ （x－x0）＞ 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x) ＞ f（x0） 。但是，我们不知道函数值相互间的大小。
*9 设f (x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b) ＜ 0 ，则（a，b）内必有点c ，fˊ(c) = 0
分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。
在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a) ＞ 0 而 fˊ(b) ＜ 0 分别在a ， b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：
函数的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。 最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。 考研数学讲座（18）泰勒公式级数连
中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。
中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。
在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。 1.“微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，
Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：
f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) + ο(Δx) （ ο(Δx) 尾项，比Δx高阶的无穷小）
（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。）
历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
2.拉格郎日公式 —— 若 函数f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得 f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）
定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f (x)－f (x0) = f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，
（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”， ξ=ξ（x） ） 即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在 x 与 x0之间， 3.泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+ （f ″(ξ) /2）（x－x0）² ，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x－x0) ，0＜θ＜1 一般情况下，我们无法知道
ξ=ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。
如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+ （f ″(x0) /2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²） 泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数 f（x0） ，f ′(x0) ， f ″(x0) / 2！ ，f ′ ″(x0) / 3！ ，„„
可以写出， f（x）= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项
4.泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数
f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f ″(0) /2）x²+（f ′ ″(0 ) / 3！）x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！
（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数 ，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）
关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0 ，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。 验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。
美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。
exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞ sin x = x － x³/3！ + „„ －∞＜x＜∞
（逐项求导， cos x = 1－ x²/2！+ „„
－∞＜x＜∞ ） 此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + „„ －1＜x＜ 1 （1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2) / 3！）x³+ „„ 1/ (1－x) = 1 + x² + x³ + „„ －1＜x＜ 1，上同
泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。 关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有 ，x → 0 时， exp（x）－ 1 ~ x ， exp(x)－1－x ~ x² / 2
sin x ~ x ， sin x － x ~ － x³ / 3！ ， cos x －1 ~ － x²/2 ln（1+x）~ x ， ln (1+x)－x ~ －x²/2 （1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3) －A－B(x －1)－(x －1) ² )/(x －1) ² = 0 ，试确定常数，A，B，C 分析
已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。
题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有
常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。
于是 A = y(1) = 2 ，B = y ′(1) = 3/4 ， C = y″(1) / 2 = 39/64 （画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。 如果只有两个参数，可看讲座（9）。）
泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限
例88 若 x→ 0 时 ，极限 lim ( sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0 ，则
x→ 0 时，极限 l im ( 6 + f（x）)/ x² = ? 分析
分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x ， （潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）
这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”， sin 6x = 6 x － （ 6x）³/3！+ ο（|Δx| ³） 代入已知极限，移项得 lim ( 6 + f（x）)/ x² = 36
例89 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f (0)≠0 ，f ′(0)≠0, 记 F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ
f (3h) 一 f (0)，
试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3 ，使 h → 0 时，F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。
3 分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x + （f ″(0) /2）x²+ ο（|x| ²）
这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f (h) ， f (2h)， f (3h) f (h) = f（0）+ f ′(0) h + （f ″(0) /2）h ²+ ο（| h | ²）
f (2h) = f（0）+ f ′(0)2 h + （f ″(0) /2）（2h）²+ ο（| h | ²） f (3h) = f（0）+ f ′(0)3 h + （f ″(0) /2）（3h）²+ ο（| h | ²） （潜台词：常数因子不影响尾项。） 将各式代入F(h),整理得
F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f（0）+ ( λ1+2λ2 + 3λ3) f ′(0) h + ( λ1+ 4λ2 + 9λ3) f ″(0) h ²/2 + ο（| h | ²）
要让 h → 0 时，F(h) 是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0 ，这就得到未知量
λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0 ，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式
如果函数 f (x) 二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式
f (x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0) （或≤）
实际上 f（x）= f（x0 ）+ f ′(x0)(x－x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x－x0)² ，ξ 在 x 与 x0之间
设 f ″(x)＞ 0 ，自然有(f ″(ξ) /2 ) (x－x0)² ＞ 0 ，舍掉此项就得到不等式。
*例91 函数 f (x) 在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f (－1) = 0 ，f (1) =1，f ′(0) = 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ ，使得 f ″′(ξ) = 3 分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式
f（x）= f（0）+（f ″(0) /2）x²+（f ′ ″(η ) / 3！）x³ , η在0与x之间 既然这是 f (x) 的又一个表达式，当然可以代入x = －1 , 1 ，它们分别相应有 ξ 1，ξ 2 0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0) /2）(－1)²+（f ′ ″(ξ 1 ) / 3！）(－1)³ , －1＜ξ 1＜0 1 = f（1）= f（0）+（f ″(0) /2）1² +（f ′ ″(ξ 2) / 3！）1³ , 0 ＜ξ 2 ＜ 1 到了这一步，仔细观察发现，两式相减，能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。 f ′″(ξ 2) + f ′″(ξ 1 ) = 6 或着两个三阶导数值都等于3 ，本题得证。或者它们一大于3 ，一小于3 ，而函数 f ″′(x) 连续，可以应用介值定理完成本题证明。
