一维到高维空间也是质变
多元微分学主要研究多元初等函数。基本工具还是极限。比如，多元函数在定义域上一点M连续的定义为
—— 若在函数f（M）的定义域D内，总有M → M0 时，
l i m f（M）= f（M0），就称函数f（M）在点M0连续。
体会一维到高微空间是质变，自然就得从体验极限开始。(多元函数以二元函数为例。)
在数轴上，动点x趋于定点x0时，只有左，右两个连续的变动方向，因而一元函数有简明的极限存在性判断定理 ——
“x → x0时，极限 l i m f（x）存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等。”
（潜台词：学好一元微分学的起点，就是学会分左右讨论极限及相关问题。管它什么左连续，右连续，左导数，导数的左极限，右导数，导数的右极限，„„，概念全都清清楚楚，计算通通滚瓜烂熟。） 简单地说，一元函数在每一个极限过程中仅有两个“道路极限”。
在日常生活中，我们感觉大地是一张平面，人们在行动时谈“方位”十分自然。倒是直线显得较为特殊。
二元函数的（有序）自变量组（x，y）与平面成一一对应。讨论二元函数，任意选定中心点M0，动点M可以在它的四周任意一个方位处。我们只能用向量方式（Δx，Δy）来表式相应自变量增量。相对偏离为微距离Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。进而自然地称函数z = f（M）相应的增量Δz为全增量。“全”，就是强调增量可以在任意方位出现。
当动点M → M0时， M可以有无穷多个连续变动方式趋向M0，既可以沿直线道路，也可以沿曲线路径逼近M0 ，这就大大提高了讨论极限的难度。
与一元函数对比，由两个“道路极限”到无穷多个（还是不可列无穷多）“道路极限”，量变引起质变。
鉴于这个困难，《高等数学》不开展关于多元函数极限的讨论。学习多元微分学，首先要学会利用海涅定理，选择两个道路极限不相等，来判断某些极限不存在。体验多元函数求极限的困难。 例1试证明，（x，y）→（ 0，0）时，极限lim（y ∕ (x+y）） 不存在
分析分别取直线道路 y = x ，y = 2 x ，就得到不相等的“道路极限”1/2与1/3，因而所求极限不存在。
实际上，只要 k ≠ −1，沿直线道路 y = k x ，（x，y）→（ 0，0）时，显然，所算得的道路极限值随k变而变，你可以由此而窥见问题之复杂。
例2试证明极限（x，y）→（ 0，0）时，极限lim（xy ∕ (x+y））不存在
分析先取道路y = k x ，k ≠ −1，令（x，y）→（ 0，0）实施观察，所有的道路极限都为0，但是你还不能就此以为所求极限为0，因为（x，y）还可以沿弯曲的道路趋于0
选取弯曲的路径，抛物线 y = −x +（x平方），道路极限为 −1 ，故所求极限不存在。
实际上，选抛物线道路 y = −x + a（x平方），常数 a ≠ 0，则将得到随a值不同而互不相等的无穷多个道路极限。
（画外音：你是否感觉到大开眼界。）
进一步的讨论中，“方位”成为前提。我们从中心点M0（x0，y0）出发，选定一个方向，就可以计算函数沿这个方向的平均变化率 Δz /Δ r ，令 Δ r → 0 求极限，得到沿这个方向的 “瞬时变化率”。 这个瞬时变化率称为方向导数。
（画外音：你见过用竹杆探路行进的盲人吗？）
令人难忘的自然是直角坐标系的两个坐标方向。在中心点M0（x0，y0）处，一元函数 z = f（x ，y0）的导数称为二元函数 z = f（x ，y）在点M0关于x的偏导数。它就是函数沿x轴正向的方向导数。 同理有二元函数 z = f（x ，y）在点M0关于y的偏导数。它就是函数沿y轴正向的方向导数。 （潜台词：偏导数的特点是“偏”。仅仅是函数在一个特殊方向的变化率。）
与一元函数一样，更深入的问题是，在中心点M0邻近，二（多）元函数的全增量“能否微局部线性化”，即，二（多）元函数在M0是否可微（存在全微分）。
定义 —— 若在点M0的适当小的（园）邻域内，函数增量△z恒可以表示为
Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“线性主部 + 高阶无穷小о(Δ r)”
则称二元函数 z = f（x ，y）在点M0可微（存在全微分）。
（画外音：要检验函数是否可微，先写出о(Δ r) = Δz − A Δx + BΔy ，再令Δ r → 0讨论极限，看能否证明，这个尾项的确是较Δr高阶的无穷小。（数学一））
矛盾自然出现了。矛盾集中于“全（微分）”与“偏（导数）”。就算二（多）元函数的偏导数都存在，几个特殊方向的变化率，又怎能确定函数全方位的变化？？仅仅是“偏导数（都）存在”显然不能保证“全微分存在”。这与一元函数“可微与可导等价”是截然不同的。
如果二元函数 z = f（x ，y）在点M0可微（存在全微分）。则容易证明两个偏导数都存在，且关于x的偏导数 = A，关于y的偏导数 = B
“偏导数都存在”是可微分的必要条件。
历史上的深入讨论，找到了二（多）元函数在一点可微的一个充分条件是，函数的偏导数都存在且连续。
一维到高微空间是质变。一元微分学最讲究条件。讨论前沿问题时，总是想能否把条件削弱一点来得到同样的结论。而多元微分学只能以假设为前提，要什么条件就得给什么条件。比如，要是二阶偏导数不连续，二阶混合偏导数就可能与求偏导顺序有关。给应用带来巨大障碍。
在讨论多元函数时，条件“（一阶）偏导数存在且连续”是一个基本条件。没有这个条件，仅仅知道偏导数存在是什么事情也做不成的。有了这个条件，则
（1）偏导数存在且连续，则函数的全微分存在。
（2）全微分存在函数必定连续。故偏导数存在且连续，函数必定连续。
*（3）偏导数存在且连续时，全体偏导数按坐标顺序排成“梯度向量”，函数沿任意方向的方向导数，就是“梯度向量”在该方向的投影。且“梯度向量”是方向导数最大的方向。
（潜台词：理解时要落实（站立）在中心点。）
记住主关系链， 偏导数连续 —→ 全微分存在 —→ 函数连续
相关选择题就迎刃而解了。
例3设函数 z=f (x, y)有定义式：
f (0, 0) = 0，其它点处f (x, y) = xy∕ (x平方+y平方)
试证明，在原点（0，0）函数的两个偏导数都存在但函数却不连续。
分析类似例1，取直线道路 y = k x ，即知（x，y）→（ 0，0）时，函数不存在极限，当然在原点不连续。
但是，f (x ，0) = 0，f (0 ，y) = 0，在原点处，两个偏导数都为0
例4考虑二元函数 f (x, y) 的 4 条性质
（1）f (x, y) 在点（x0，y0）处连续。（2）f (x, y) 的偏导数都在（x0，y0）连续。
（3）f (x, y) 在点（x0，y0）处可微。（4）f (x, y) 在点（x0，y0）的偏导数都存在。 如果用表达式“P → Q”说明可以由性质P推出性质Q，则有（？ ）
（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）
（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）
分析 （A）对。这就是主关系链。（3）不能推出（2） ，（B）错。
（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）错。
（3）可以推出（1），但（1）不能推出（4）。比如二元函数z = | x |，（
D）错。
