Chp.5 系统稳定性
基本要求
1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；
2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；
3．掌握Nyquist 判据；
4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系； 5．掌握Bode 判据；
6．理解系统相对稳定性的概念， 会求相位裕度和幅值裕度， 并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点 本章重点
1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；
2．系统相对稳定性； 相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点
Nyquist 判据及其应用。
§1 概念
示例：振摆
1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）
讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。（图5.1.3）
若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定
若反馈加强E(s) →不稳定
③稳定性是自由振荡下的定义。
即xi(t)=0时，仅存在xi(0-)或xi(0+) 在xi(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：
对[anp+an-1p+„a1p+a0]x0(t)=[bmp+bm-1p+„b1p+b0]xi(t) 令B(s)= anp+an-1p+„a1p+a0 A(s)= bmp+bm-1p+„b1p+b0 初始条件：B0(s) A0(s)
则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi(s)- B0(s) nn-
1m
m-1nn-1
m
m-1 Xi(s)=0,由初始条件引起的输出：
L变换 -1
，即zi为负值。 根据稳定性定义，若系统稳定须满足点全部位于[s]复平面的左半部。 系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极讨论：①特征根中有一个或以上的根的实部为正 →系统不稳定；
②临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。
③若本身的固有特性。
⑤稳定性判定方法：
a) 直接求解出特征方程的根（高阶困难） b) 确定特征根在[s]平面上的分布：
时域：Routh判据，胡尔维茨判据
频域：Nyquist判据，Bode判据
，则系统不稳定。
④零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统§2 劳斯（Routh）判据
Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。
一、必要条件：
特征方程：B(s)= anp+an-1p+„a1p+a0=0
必要条件：B(s)=0的各项系数ai符号均相同，且不等于0; 或 an＞0 an-1＞0 „ a1＞0 a0＞0 （证明）
二、充要条件：（Rough稳定性判据）：
1、Rough表：将特征方程系数排成两列：
偶：an an-2 an-4 an-6 „ 奇：an-1 an-3 an-5 an-7 „ Rough数列表：（p.124）
n
n-1 s an an-2 an-4 an-6 „ a0
sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 „ a1 0
sn-2 A1 A2 A3 „ „ 0 sn-3 B1 B2 B3 „ „ 0 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
s0 „ 0 0 0
2、判据：
Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0
若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。 例1，已知系统特征方程 B(s)=s+8s+17s+16s+5=0 试判定其稳定性。
解： a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5
(过程) ai＞0 （i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系统稳定。
例2，已知系统特征方程 B(s)=s-4s+s+6=0 试判定其稳定性。
解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？
(过程) 有二个负实根，实际上s-4s+s+6=（s-2）(s+1)(s-3)
32
3
243
2n例3，已知系统
解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0 (过程) 符号改变二次，存在两个不稳定的根。
试判定其稳定性。
例4，设有系统方框图如下，已知ζ=0.2，ωn=86.6，试确定k取何值时，系统方能稳定。(p.126图)
(过程)
三、特殊情况：
1、Rough列表中任一行第一项为0，其余各项不为0或部分不为0。
造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。 措施：①以任一小正数ε代替0的那一项，继续计算。
例：B(s)=s-3s+2=0（求解）
若用ε代替后，系统Rough列表第一列均为正，→临界稳定（共轭虚根）
②用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（A为任意正数）。
例：B(s)=s-3s+2=0（求解，取a=3）
2、Rough列表任一行全为0。
33 原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。
① 具有相异符号的实数根（如s=±2）； ② 虚根时（如s=±j5）； ③ 共轭复数根时（如②对辅助方程取导数得一新方程；
④ 以新方程的系数取代全为0的哪一行，继续进行Rough计算。
例：B(s)=s+s-3s-s+2=0（求解） 例：B(s)=s+s-2s-3s-7s-4s-4=0（求解）
6
543243
2）
解决：①利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；
§3 Nyquist判据
时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性；
② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性；
④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
一、预备知识：
1、三种函数的零、极点关系：（Gk(s)、GB(s)、F(s) ）(图5.3.1)
Gk(s)=G(s)H(s)
F(s)=1+ G(s)H(s)
zi：Gk(s)的零点； pi：Gk(s)的极点。 上述各函数零点和极点的关系：（p.131）
结论：闭环系统稳定充要条件为GB(s)全部极点具有负实部→F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过Gk(s)= G(s)H(s)判断GB(s)的稳定性。
2、映射概念：
设函数F(s)=Re(s)+jIm(s) 而s=σ+jω
两个函数：F(s)，s 两个复平面：[F(s)]，[s]
[s]上的每一个点对应[F(s)]上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。 例：已知F(s)= s2，求s=1+j2的像点。
F(s)= s2=（1+j2）2 =-3+ j4 即[s]平面上点（1，j2）在[F(s)]复平面上的像点为[-3，j4](tu 2)
3、映射定理（幅角原理）：
设F(s)为一有理数，设Ls为[s]平面上的一封闭曲线（看成点的封闭轨迹），LF为[F(s)]平面上的对应曲线，则：
① Ls在[F(s)]平面上的映射轨迹LF，也必然是一条封闭曲线。(tu 2)
② 若Ls包围了F(s)的zi个零点和pi个极点，则Ls上某动点s沿Ls顺时针方向转一周时，它在[B(s)]上的映射轨迹LB将会顺时针方向包围OB原点N次（N=z-p）。(tu 2)
二、Nyquist判据：
1、映射定理的推广：
F(s)=1+ G(s)H(s) 为有理数，满足映射定理。
在[s]上，当s按顺时针方向沿整根虚轴（-j∞→+j∞）及R=∞的半径组成的封闭曲线Ls（实际上为[s]平面的右半部）转一周时，若虚轴上无F(s)的极点，则在Ls在[F(s)]平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次。(tu 2)
根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(s)=0的根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在[s]平面右半部无零点， →系统稳定下的映射为N=-p
复平面下系统稳定的充要条件：若[s]虚轴上无F(s)=1+ G(s)H(s)的极点，则当 s沿-j∞→+j∞按顺时针方向转一周时，其在[F(s)]平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次，系统才能稳定，否则就不稳定。
2、N=-p含义的变通：
N=-p的实质就是利用特征函数F(s)=1+ G(s)H(s)的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。
含义变通：①在N=-p中的F(s)的极点数p，理解为开环G(s)H(s)的极点数；
②将[F(s)]平面转换成[G(s)H(s)]平面；
[F(s)]的原点就是[G(s)H(s)]的（-1，j0）点。 ③令s=jω，则s取值-j∞→+j∞，变成ω取值-∞→+∞。 通过上述转换，将N=-p含义重新引申为：
N：开环G(s)H(s)轨迹包围（-1，j0）点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围（-1，j0）点次数之代数和。
P:开环G(s)H(s)在[s]平面右半部的极点数。
2、Nyquist判据：
充要条件：当ω取值-∞→+∞时，其开环G(jω)H(jω)轨迹必须逆时针包围（-1，j0）点p次，则系统稳定，否则就不稳定。
讨论：a) Nyquist判据在[GH]平面上判断；
过程：[s]上Nyquist轨迹映射到[GH]上的Nyquist轨迹G(jω)H(jω)，根据G(jω)H(jω)包围（-1，j0）点的次数来判断系统的稳定性。
b)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0，故只需看开环Nyquist图是否包围（-1，j0）点，不包围则稳定。若开环系统为非最小相位系统，p≠0（开环不稳定），则看Nyquist图是否逆时针包围（-1，j0）点p圈。
c)开、闭环稳定性关系：
开环不稳定，闭环可能稳定
开环稳定，闭环可能不稳定
d)绘制开环ω=0→+∞的Nyquist图即可判断。
原因：开环Nyquist图对实轴对称。
三、对虚轴存在极点的处理：
Nyquist判据中规定开环Gk(s)中不能含有s=0和s=±jk（k为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数Gk(s)会含有s=0或s=±jk的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对Ls曲线修正。
四、应用举例：
1、开环稳定，判断闭环稳定性：
Gk(s)在[s]右半部无极点，p=0，则ω=0→+∞时Gk(jω)不包围（-1，j0）点，即N=0，则系统稳定，否则就不稳定。
例1， 0型系统
例2， 0型系统
例3，Ⅰ型系统
例4，Ⅰ型系统
例5，Ⅱ型系统
2、开环不稳定，判断闭环稳定性：
对p≠0，若需闭环稳定，则N=-p，即在ω取值-∞→+∞时，Gk(jω)逆时针包围（-1，j0）点p次。
例：高阶系统
四、典型环节对系统稳定性的影响：
1、比例环节G(s)=k
若∠Gk(jω)＞-180, 则k无论如何变化，系统总是稳定的；
∠Gk(jω)＜-180, 则k↑ →∣Gk(jω)∣随之增大，可能包围（-1，j0）点。
2、惯性环节
o
o
o 高频时（ω→∞），G(jω) →-90,增加了开环幅角∠Gk(jω)的滞后，对系统稳定不利，惯性环节越多，系统越难稳定。
3、导前环节G(s)=Ts+1 高频时（ω→∞），G(jω) →+90,减少了开环幅角∠Gk(jω)的滞后，对系统稳定有利。
若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。
4、积分环节
o
o
高低频均产生90滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系统越不容易稳定。 措施：增加导前环节，增加内部负反馈或降低系统“型”号。
5、延时环节G(s)=e
-τs
不改变原系统的副频特性，仅使系统的相频特性变化。
§4 系统的相对稳定性
绝对稳定性判断出系统属于稳定、不稳定或临界稳定，还不能满足设计要求，应进一步知道稳定或不稳定的程度，即稳定或不稳定离临界稳定尚有多远，才能正确评价系统稳定性能的优劣，此即相对稳定性。
一、系统相对稳定性的两个指标：
1、两种坐标对应关系：
Gk(jω)可用极坐标（Nyquist图）和对数坐标（Bode图）表示，二者有对应关系： a)极：单位圆←→对：零分贝线（幅频特性）
相当于：∣GH∣=1←→20lg∣GH∣=0dB
b)极：负实轴←→对：-180水平线（相频特性）
原因：负实轴上的每一点的幅角都等于-180
c)极：开环轨迹与单位圆的交点c←→对：幅频特性曲线与零分贝线的交点。
交点c处的频率ωc称为剪切频率、幅值穿越频率、幅值交界频率。
d)极：开环轨迹与负实轴的交点g←→对：相频特性曲线与-180水平线的交点。
交点g处的频率ωg称为相位穿越频率、相位交界频率。
2、幅值和相位裕量：
幅值和相位裕量是衡量系统离临界稳定有多远的两个指标。 (1)幅值裕量Kg：
定义：在相位交界频率ωg处∣Gk(jω) ∣的倒数。
o
o
o
在对数坐标上，
讨论：
a)若∣G(jωg)H(jωg)∣＜1,Kg＞1,即Kg(dB)＞0
→系统具有正幅值裕量。
若∣G(jωg)H(jωg)∣＞1,Kg＜1,即Kg(dB)＜0
→系统具有负幅值裕量。
b)对最小相位系统p=0，
正幅值裕量对应的开环轨迹不包围（-1，j0），闭环稳定， 负幅值裕量对应的开环轨迹包围（-1，j0），闭环不稳定。
c)Kg实际上是系统由稳定（或不稳定）到达临界稳定点时，其开环传递函数在ωg处的幅值∣G(jωg)H(jωg)∣需扩大或缩小的倍数。
d)一阶、二阶系统幅值裕量为无穷大。
原因：其开环轨迹与[GH]平面的负实轴交于原点，1/Kg=0 (2) 相位裕量γ：
定义：在ωc处，使系统达到临界稳定所需附加的幅角滞后量（或超前量）。
γ=∠G(jωc)H(jωc)-（-180） =180+υ(ωc)
若γ＞0 称正相位裕量（正稳定性储备）
γ必在Bode相位图横轴（-180线）以上，在Nyquist图负实轴以下（第三象限）；
若γ＜0 称负相位裕量（负稳定性储备）
γ必在Bode相位图横轴（-180线）以下，在Nyquist图负实轴以上（第二象限）。（3）几点说明：
a)Kg、γ作为设计指标，对最小相位系统，只有Kg、γ都为正时，闭环系统才稳定；Kg、γ都为负时，闭环系统不稳定。
b)为确定系统相对稳定性，必须同时考虑Kg和γ。
c)为使系统满意工作，一般：
Kg(dB) ＞6 dB γ=30～60 →∠G(jωc)H(jωc)=- 150～-120
二、对数判据（Bode判据）：
在Bode图上判断系统稳定性。
1、对最小相位系统p=0
在Bode图上，若ωc＜ωg（ωc在ωg左方）→闭环稳定；
ωc＞ωg（ωc在ωg右方）→闭环不稳定；
ωc=ωg →临界稳定。
2、对一般系统p≠0:用“穿越”概念判断。(tu 2) a)“穿越”的两个要素：
幅值大于1：即幅频特性上的与横轴相交的左侧段；
幅角-180：即相频特性上的-180水平线。 b)正负穿越：
正穿越：在0~ωc范围内，相频曲线自下而上穿过-180水平线。（幅角滞后减少） 负穿越：在0~ωc范围内，相频曲线自上而下穿过-180水平线。（幅角滞后增加） c)判据：在Bode图上，在0~ωc范围内（即开环对数幅频特性不为负值的范围内）正穿越和负穿越-180水平线的次数之差为p/2，则系统稳定。 d)讨论：正半次穿越和负半次穿越；
存在多个ωc(tu 2)
三、应用举例：
例1， 已知系统开环对数坐标图如下，试判断稳定性。 o
ooo
oo o
o
o
ooo
o例
2、设求k=10,k=100的Kg和γ
例
3、已知二阶系统
求相位裕量γ与阻尼比ζ的关系。
