不 等 式
1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：
（1） 对称性：a>bb
（2） 传递性：若a>b，b>c，则a>c；
（3） 可加性：a>ba+c>b+c；
（4） 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c
不等式运算性质：
（1） 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；
（2） 异向相减：ab，cdacbd.（3） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则anbn；
（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则ab；
（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则
2、基本不等式
定理：如果a,bR，那么a21a1。 bb22ab（当且仅当a=b时取“=”号）
abab（当且仅当a=b时取“=”号） 推论：如果a,b0，那么
2ab算术平均数；几何平均数2
推广：若a,bab； a2b2ab20，则ab1122ab
当且仅当a=b时取“=”号；
3、绝对值不等式
（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；
｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。
（2）||a||b|||ab||a||b|
4、不等式的证明：
(1)常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；
(2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
(3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
5、不等式的解法：
（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：
a0或a0检验； ax+bx+c>0对于任意的x恒成立2b4ac0
2a0或a0检验 ax+bx+c
（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系
① 求一般的一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集，要结合ax2bxc0的根及二次函数yax2bxc图象确定解集．
② 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解按照0，0，0可分为三种情况．相应地，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，列表如下：
含
参数的
不等式
应适当分类讨论。
6、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。
az（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所以，求z的最值可看成是bb
az求直线y＝－x＋在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化bb
而变化）。
（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与z可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点b
的坐标。
（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。
7、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0． ①若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方． ②若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．
8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．
yC0表示直线xyC0上方的区域；①若 0，则x
xyC0表示直线xyC0下方的区域．
yC0表示直线xyC0下方的区域；②若 0，则x
xyC0表示直线xyC0上方的区域．
9、最值定理
设x、y都为正数，则有
s
2⑴ 若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．
4⑵ 若xyp（积为定值），则当xy时，和x
y取得最小值 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”
注意：一正、二定、三相等
