高中数学必修5知识点
通项公式的变形:①anamnmd;②a1ann1d;③d⑤d
anamnm
ana1n
1;④n
ana1
d
1;
.
14、若an是等差数列,且mnpq(m、n、p、q*),则amanapaq;若an是等差
数列,且2npq(n、p、q*),则2anapaq;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前n项和的公式:①Sn
na1an
;②Snna1
nn1
2d.
16、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2nn*,则S2nnanan1,且S偶S奇nd,
S奇S偶
anan
1.②若项数为2n1n*,则S2n12n1an,且S奇S偶an,
S奇S偶
nn1
(其中
S奇nan,S偶n1an).
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个
常数称为等比数列的公比.
18、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.若G2ab,则
称G为a与b的等比中项.
n
119、若等比数列an的首项是a1,公比是q,则ana1q.
nm
20、通项公式的变形:①anamq;②a1anq
n1
;③q
n
1
ana1
;④q
nm
anam
.
*
21、若an是等比数列,且mnpq(m、n、p、q),则amanapaq;若an是等比数
*
列,且2npq(n、p、q),则anapaq;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m
项和构成的数列成等比数列。
na1q1
22、等比数列an的前n项和的公式:Sna11qnaaq.
1nq1
1q1q
q1时,Sn
a11q
a11q
q,即常数项与q项系数互为相反数。
nn
23、等比数列的前n项和的性质:①若项数为2nn
*
,则S
S偶
奇
q.
n
②SnmSnqSm.③Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列.
24、an与Sn的关系:an
SnSn1S
1n2n1
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb,列两个方程求解;
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc,列三个方程求解; ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaq
2、由递推公式求通项公式:
①若化简后为an1and形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为an1anf(n),形式,可用叠加法求解;
③若化简后为an1anq形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为an1kanb形式,则可化为(an1x)k(anx),从而新数列{anx}是等比数列,用等比数列求解{anx}的通项公式,再反过来求原来那个。(其中x是用待定系数法来求得)
3、由求和公式求通项公式:
①a1S1② anSnSn1③检验a1是否满足an,若满足则为an,不满足用分段函数写。
4、其他
(1)anan1fn形式,fn便于求和,方法:迭加;
例如:anan1n1 有:anan1n1 a2a13a3a24
anan1n
1各式相加得ana134n1a1
n
b,q为相除后的常数,列两个方程求解;
n4n1
(2)anan1
anan1形式,同除以anan1,构造倒数为等差数列;
anan1anan1
2
1an1
例如:anan12anan1,则
1
,即为以-2为公差的等差数列。 an
an
(3)anqan1m形式,q1,方法:构造:anxqan1x为等比数列;
例如:an2an12,通过待定系数法求得:an22an12,即an2等比,公比为2。 (4)anqan1pnr形式:构造:anxnyqan1xn1y为等比数列;
nn
(5)anqan1p形式,同除p,转化为上面的几种情况进行构造;
因为anqan1pn,则
anp
n
qan1pp
n1
1,若
qp
1转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)的方
法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
①若②若
ak0
,则Sn有最大值,当n=k时取到的最大值k满足 d0a0k
1a10a10
ak0
,则Sn有最小值,当n=k时取到的最大值k满足 d0a0k1
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:an2n13;
n
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:an
1nn1
1n
1n
1,an
2n12n1
111
等;
22n12n1
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:
an2n1等;
n
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和
aq
类型,这样可以相乘约掉。
第三章:不等式
1、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。
2、不等式的性质: ①abba;②ab,bcac;③abacbc;
④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd; ⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0ab⑧ab0
nn
n,n1;
n,n1.
3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式b4ac
0 0 0
二次函数yaxbxc
a0的图象
有两个相异实数根
一元二次方程axbxc0
有两个相等实数根
a0的根
axbxc0
一元二次不等式的解集
x1,2
b2a
x1x2
b2a
没有实数根
x1x2
a0
axbxc0
xxx1或xx2
bxx
2a
R
a0
xx1xx2
5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y,所有这样的有序数对x,y构成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0,坐标平面内的点x0,y0.
①若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的上方. ②若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的下方.
9、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0.
①若0,则xyC0表示直线xyC0上方的区域;xyC0表示直线
xyC0下方的区域.
②若0,则xyC0表示直线xyC0下方的区域;xyC0表示直线
xyC0上方的区域.
10、线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式. 线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解x,y.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
11、设a、b是两个正数,则
ab称为正数a、b
a、b的几何平均数.
12、均值不等式定理: 若a0,b
0,则ab
,即ab
2
.
13、常用的基本不等式:
①a
2b2
2aba,bR;
22
②ab
ab2
a,bR;
③abab2
a2
b2
ab2
2a0,b0;④2
2
a,bR.
14、极值定理:设x、y都为正数,则有
s(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值s2
⑴若xy. 4
⑵若xyp(积为定值),则当xy时,和x
y取得最小值