考研数学之高等数学讲义第七章(考点知识点+概念定理总结)

发布时间：2020-03-02 09:44:21 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第七章

多元函数积分学

§7.1 二重积分

(甲) 内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题

模型I：设有界闭区域

D(x,y)axb,1(x)y2(x) 其中1(x),2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在

D上连续，则

b2(x)f(x,y)df(x,y)dxdydxf(x,y)dyDDa1(x)

模型II：设有界闭区域

D(x,y)cyd,1(y)x2(y)

其中1(y),2(y)在[c,d]上连续，f(x,y) 在D上连续

d2(y)

则 f(x,y)df(x,y)dxdydyDDcf(x,y)dx

1(y) 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域

D(,),1()2() 107

其中1(),2()在[,]上连续，f(x,y)f(cos,sin)在D上连续。

2() 则 f(x,y)df(cos,sin)dddDD1(f(cos,sin)d

)模型II 设有界闭区域D(,),0()其中()在[,]上连续，f(x,y)f(cos,sin)在D上连续。

() 则 f(x,y)df(cos,sin)dddf(cos,sin)d

DD0

§7.2 三重积分（数学一）

(甲) 内容要点

一、三重积分的计算方法

1、直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设是空间的有界闭区域

(x,y,z)z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D 其中D是xy平面上的有界闭区域，z1(x,y),z2(x,y)在D上连续函数f(x,y,z)在上连续，则

z2(x,y)

f(x,y,z)dvdxdyDf(x,y,z)dz

z1(x,y) （2）设(x,y,z)z,(x,y)D(z) 其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则



f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

D(z)

2、柱坐标系中三重积分的计算 f(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin,z)rdrddz

相当于把(x,y)化为极坐标（r,）而z保持不变

108

3、球坐标系中三重积分的计算

xsincosysinsinzcos00 02

f(x,y,z)dxdydzf(sincos,sinsin,cos)2sinddd

§7.3 曲线积分（数学一）

(甲) 内容要点

一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L的参数方程 xx(t),yy(t),zz(t),(t)

则 Lf(x,y,z)dsfx(t),y(t),z(t)x(t)y(t)z(t)dt

222 （假设f(x,y,z)和x(t),yt,z(t)皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算

二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程xx(t),yy(t),zz(t),起点A对应参数为

,始点B对应参数为(注意:现在和的大小不一定)如果P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)皆连续,又x(t),y(t),z(t)也都连续,则LABP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

Px(t),y(t),z(t)x(t)Qx(t),y(t),z(t)y(t)Rx(t),y(t),z(t)z(t)dt这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

三、两类曲线积分之间的关系

AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 空间情形：设L=在L上连续，则

109

ABP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzABP(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cosds其中cos,cos,cos为曲线弧上AB上点(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦.

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。定理

1、（单连通区域情形）

设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围的单连通区域，当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P(x,y),Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则有

(DQP)dxdyLPdxQdy xy

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D内

P(x,,y)dxQ(x,y)dx与路径无关

L2．D内任意逐段光滑闭曲线C，都有

Cp(x,y)dxQ(x,y)dy0

3．px,ydxQx,ydydux,y成立 4．D内处处有 QP xy110

§7.4

曲面积分

（数学一）

（甲）内容要点

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式

设曲面S的方程 zzx,y,x,yD

fx,y,z在

2zx,y在D上有连续偏导数，

2S上连续，则fx,y,zdsSDzzfx,y,zx,y1dxdy xy这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算

二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式

如果曲面S的方程 zzx,y,x,yDxy

Zx,y在Dxy上连续，Rx,y,z在S上连续，则

x,y,zx,ydxdy Rx,y,zdxdyRSDxy若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

三、两类曲面积分之间的关系

pdydzQdzdxRdxdypcosQcosRcosdS

SS其中cos,cos,cos为曲面S在点x,y,z处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦

令FP,Q,R,n0cos,cos,cos PdydzQdzdxRdxdyFnds0SS

四、高斯公式

定理设是由分块光滑曲面

S围成的单连通有界闭区域，Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在上有连续的一阶偏导数，则

111

PQRdvPdydzQdzdxRdxdy xyzS(外侧) PcosQcosRcosdS

S其中cos,cos,cos为S在点x,y,z处的法向量的方向余弦

五、斯托克斯公式

定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有

dydzdzdxdxdyLPdxQdyRdzSxPyQ zRRQQPPRdydzdzdxdxdy yzzxxyS也可用第一类曲面积分

coscosyQcosdS zRLPdxQdyRdzSxP

六、梯度、散度和旋度

1、梯度设uux,y,z,则graduuuu,, xyz称为u的梯度，令则 graduu

,,是算子 xyz

2、散度设FPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z

PQRF 则 divFxyz称为F的散度

112

f(cos,sin)dddf(cos,sin)dD

0高斯公式可写成divFdvFn0dS

S （外侧）

其中n0cos,cos,cos为外侧单位法向量

3、旋度

设FPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,zijkrotFF xyzPQR＝RQPRQyzizxjxPyk 称为F的旋度。

斯托克斯公式可写成

LFdrrotFn0dS

S其中drdx,dy,dz,n0cos,cos,cos

113 f(x,y)dD

考研数学高等数学重要知识点解析有关微分中值定理的证明

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