@第五讲 中值定理的证明技巧
一、考试要求
1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、了解定积分中值定理。
二、内容提要
1、介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值. （2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=0
2、罗尔定理
若函数f(x)满足：
（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在(a,b)内可导 （3）f(a)f(b)
则一定存在(a,b)使得f\'()0
3、拉格朗日中值定理
若函数f(x)满足：
（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在(a,b)内可导
则一定存在(a,b)，使得f(b)f(a)f\'()(ba)
4、柯西中值定理
若函数f(x),g(x)满足: （1）在a,b上连续 （2）在(a,b)内可导 （3）g\'(x)0
f(b)f(a)f\'()g\'() 则至少有一点(a,b)使得g(b)g(a)
5、泰勒公式
x如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶导数 则当x在(a,b)内时 f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即
0f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2 1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!
f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!其中 (介于0与x之间)
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点； 2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．
6、积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得
baf(x)dx=f(c)(b-a)
三、典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使f()0或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)
2）间接法或辅助函数法
例
1、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb,ci0(i1,2,,n)，证明存在[a,b] ，使得
f()c1f(x1)c2f(x2)cnf(xn)
c1c2cn
2 例
2、设ba0,f(x)在[a,b]上连续、单调递增，且f(x)0，证明存在(a,b)
使得
a2f(b)b2f(a)22f()
*例
3、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，证明存在(a,b)使得
af(x)dxf(x)dxb1bf(x)dx。 2a
.
例
4、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得
例
5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x) 0xg()f(x)dxf()g(x)dx
ab有一个实根。
3 例
6、设实数a1,a2,,an满足关系式a1ana2(1)n10，证明方程 32n1
a1coxsa2co3sxancos2(n1)x0，在(0,)内至少有一实根。
2例
7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]使得
题型
二、验证满足某中值定理
3x2,x12例
8、验证函数f(x)，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求
1,x1x满足定理的
baf(x)g(x)dxf()g(x)dx
ab题型
三、证明存在, 使f(n)()0(n=1,2,…)
方法：
1、用费马定理
2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）
3、用泰勒公式
思路：可考虑函数f(n1)(x)
例
9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，证明至少存在一个
(a,b)使得f()0
例
10、设f(x)在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f()0
*例
11、设f(x)在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且
1f(x)lim0,21f(x)dxf(2)，证明存在(0,2)使得f()0 12xcosx2
5 题型
四、证明存在, 使G(,f(),f())0
方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），
2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）
思路：1）换为x
2）恒等变形，便于积分 3）积分或解微分方程
4）分离常数：F(x,f(x))C F(x,f(x))即为辅助函数 (1) 用罗尔定理 1) 原函数法:
步骤：将换为x;
恒等变形，便于积分；
求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例
12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(x(a,b))，求证
f(a)f()f()存在(a,b)使得
g()g(b)g()
例
13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且
f(1)kxe1xf(x)dx,k1
证明：在(0,1)内至少存在一点, 使 f()(11)f().1k0例
14、
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)f(在[a,b]上连续，试证对(a,b),使得f()g()f()..
ab)0, g(x)2*例
15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且f(x)dx0,xf(x)dx0.
0011试证：(0,1),使得 f()(11)f().
.
2) 常微分方程法:
适用: ,f()(,f())
步骤：x,f(x)(x,f(x))
解方程 G(x,f(x))c
令 F(x)G(x,f(x))
例
16、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，证明存在(a,b)使得f()f()
7 *例
17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,
f(1)=1, 证明：对任意实数,必存在（0，1) , 使得f()[f()]
1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例1
8、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得
bf(b)af(a)f()f()
ba
例
19、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得
bn1baf(a)anf(b)n1[nf()f()],n1
例20、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，
b使得 f(b)f(a)lnf()
a
8 例
21、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，f(b)f(a)f()使得
(a2abb2)2ba3
题型
5、含有f()(或更高阶导数)的介值问题
方法：1）原函数法（对f(x)仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；
2）泰勒公式
例
22、
设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个(0,1), 使
2f()f()
1
例
23、（012，8分）设f(x)在[a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。 (2) 证明在[a,a]上至少存在一个使得
af()3f(x)dx
a3a
9 例
24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点，使得f()3..
例
25、（103）设函数f (x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且
2 f (0)=20f(x)dx= f (2)+ f (3).
(I) 证明存在 (0, 2), 使得f()= f (0) ; (II) 证明存在 (0, 3), 使得 f()=0 .
.
10 题型
6、双介值问题F(,,)0
方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理
例
26、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，0ab，求证存在,(a,b)使f()得f()(ab)
2
例
27、（051，12分）已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1
证明：（1）存在(0,1)，使得f()1
（2）存在两个不同的点,(0,1)使得f()f()1
11 题型
7、综合题
*例
29、（011，7分）
设函数f(x)在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f(x)0，试证 （1） 对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的(x)(0,1)使得
f
f(x)f(0)x((x成立)x
1（2）lim(x)
x0
2例2
9、试证明若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且f(a)f(b)0，则存在
4(a,b)使得f()f(b)f(a) 2(ba)
12 *例30、设e
aeaeblnalnb0 1
b1e13
