考研.数学 高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点；若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。 存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。 x1|x1|

【例题2】（1）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点；

（2）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。 当0|xa|时，有xa【解答】（1）设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

（2）设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。 0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1（罗尔中值定理）设函数f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导；（3）f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2（Lagrange中值定理）设f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

（1）中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。 ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b)；

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

（2）对端点a,b有依赖性。

（3）端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3（Cauchy中值定理）设f(x),g(x)满足：（1）f(x),g(x)C[a,b]；（2）f(x),g(x)在(a,b)内可导；（3）g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。 g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。 1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。 2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

（1）证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

（2）证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。 f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。 x3

定理4（泰勒中值定理）设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)， 2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)， 2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。 (n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。 3!(2n1)!

x2(1)n

2n

3、cosx1xo(x2n)。 2!(2n)!

11xxno(xn)。 1x

11x(1)nxno(xn)。

5、1x

4、

x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。 x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2， 2!f(x)1，证明：f(x)x。 x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。 3

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