高三第一轮复习教案

发布时间：2020-03-03 23:53:30 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

高三第一轮复习教案—函数与方程

一．考试说明：

1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

二次函数yaxbxc(a0)的零点：

１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并

2222

且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=

12 (p+q)。

若－b2a

b2ab2a若p≤－

b2a)=m，f(q)=M；

b2a若x0≤－若－b2a

≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

2（3）二次方程f(x)=ax+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)

b24ac0,b②二次方程f(x)=0的两根都大于r

r,2aaf(r)0b24ac0,bq,p③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 2aaf(q)0,af(p)0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)

四．典例解析

题型1：函数零点的判定

例1.判断下列函数在给定区间是否存在零点；若存在，判断零点的个数

(1)f(x)x3x18,x[1,8] (2)f(x)log2(x2)x,x[1,3] 2变式：判断函数f(x)x3x18,x[1,8]上零点的个数小结：函数零点的判定方法

（1）解方程

（2）用零点存在性定理。如果判定零点个数，还必修结合函数的图象和性质才能确定

（3）利用函数图象的交点

题型2：函数零点的应用

例2

.m为何值时，f(x)x2mx3m4 （1）有且仅有一个零点

变式：在（－2，2）有且仅有一个零点（2）有两个零点且均比－1大

练习：(09山东14)若函数f(x)axa(a＞0），且a1)有两个零点,则实数a的

x232

取值范围是

2例3.（06浙江16）设f(x)=3ax2bxc.若abc0,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

ab(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个零点.证明：（I）因为f(0)0,f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去b，得 ac0；

由条件abc0，消去c，得 ab0，2ab0.故2ba1.（II）抛物线f(x)3ax2bxc的顶点坐标为(在213b3aba1的两边乘以23132b3a,3acb3a2)，

，得

.又因为f(0)0,f(1)0,

b3aacac3a22而f()0,

b3ab3a所以方程f(x)0在区间(0,)与(,1)内分别有一实根。

故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根.小结：以二次函数为载体进行函数零点的应用是考查的重点。

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