连续的概念教案

发布时间：2020-03-02 09:44:54 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

【教学课题】：§1.8 函数的连续性（第一课时）

【教学目的与要求】：①使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；②明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

【教学重点】：函数在一点处连续的定义。【教学难点】：函数在一点处连续的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：一）引入

所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图像是坐标平面上一条连绵不断的曲线。当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。

为了给出“连续”的定义，我们需要首先给出“增量”的定义。

定义１设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2u1，就叫做变量u的增量，记作u，即

uu2u1。

假设函数yf(x)在某U(x0)内有定义，当自变量在此邻域内由x0变到x0x时，函数y也相应地由f(x0)变到f(x0x)，因此函数y的对应增量为

yf(x0x)f(x0)

假如保持x0不变而让增量x变动，那么函数的增量y也会随之变动，若x趋近于零时，函数的增量y也趋近于零那么就叫函数yf(x)在点x0处是连续的，即有下述定义。

二）函数在一点连续的定义及其等价定义

定义２

设函数f在某U(x0)内有定义，如果

limy0，或

limf(x0x)f(x0)0

x0x0那么称函数yf(x)在点x0连续。

设xx0x，则当x0时，xx0。而yfx()0fx()fx()0x)fx(0当y0时，f(x)f(x0)，则f在x0处连续的等价定义；设函数f在某U(x0)内有定义，如果limf(x)f(x0)，称函数yf(x)在点x0连续。

xx0

另外用“—”语言表达

f在x0处连续的等价定义：

1 函数yf(x)在点x0连续0,0，当|xx0|时，|f(x)f(x0)|。

以前我们已经用“—”语言证明了类似于：limee0，lim2x12x01，

xx0xx0xxxx0nlimxnx0，等等式，还可以证明limsinxsinx0，证明如下：考察

xx0xx0xx0xx0

sinxsinx02coin2xx0

222其中不妨设xx0，可取min{,}，于是当|xx0|时，|sinxsinx0|，22xx0即证。类似还可证明limcosxcosx0。现在看来函数ex,2x1,xn,sinx,cosx均在点x0连续。

函数f在点x0有极限与函数f在点x0连续之间的关系：

１）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f在U0(x0)内有定义（f在点x0可以没有定义）。而f在点x0连续则要求f在某U(x0)内有定义（包括x0）。所以，在极限中，要求0|xx0|，而当“f在点x0连续”时，换为：|xx0|.。

２）从对极限的要求看：“f在点x0连续”不仅要求“f在点x0有极限”，而且

xx0limf(x)f(x0)；而在讨论limf(x)时，不要求它等于f(x0)，甚至于f(x0)可以不存

xx0在。

可见，函数yf(x)在点x0连续必须具备以下条件：

① yf(x)在点x0处有定义，即f(x0)的值存在。 ② limf(x)存在。

xx0③ limf(x)f(x0)。

xx01,x0xsin

例１：讨论函数f(x)在点x0处连续性。 x,x00解：由于limxsinx010，而f(0)0，所以此分段函数f(x)在x0处连续。 x总之：

函数yf(x)在点x0连续limy0

x0 2

limf(x0x)f(x0)0或limf(x0x)f(x0)

limf(x)f(x0)

xx0xx0xx0x0x0还要强调的是：limf(x)f(x0)f(limx)，即“f在点x0连续”意味着“极限运算与对应法则f可交换。

三）函数在一点左（右）连续的定义

例２：论函数f(x)解因为

x0x2,x0在点x0的连续性。

x2,x0limf(x)lim(x2)2 x0x0x0limf(x)lim(x2)2 x0而f(0)2，limf(x)f(0)，故此函数在x0处不连续。

由于分段函数在分段点处左右函数的表达式不同，所以要讨论左右极限，因此连续也有相应的左右连续。

定义３设函数f在点U(x0)（U(x0)内有定义），若

f(x)f(x0)（limf(x)f(x0)）

lim， xx0xx0则称f在点x0右（左）连续。

显然，函数f在点x0连续f在点x0既是右连续，又是左连续。

在上述例２中，f在点x0右连续，但不左连续，从而在x0不连续。

四）区间上的连续函数

定义若函数f在区间Ｉ上每一点都连续，则称f为Ｉ上的连续函数。

对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。例如，（１）函数yC,yx,ysinx,ycosx是Ｒ上的连续函数；（２）函数y1x2在(1,1)内每一点都连续。在x1处为左连续，在x1处为右连续，因而它在[1,1]上连续。

初等函数在其定义区间上为连续函数。

1,x0xsin

例３函数f(x)，要使f(x)在(,)内连续，应当怎样选择x2ax,x0a？

3 解因为xsin12在(0,)内连续，ax在(,0)内连续，所以只须考虑f(x)在x10 x2x0处的连续性即可。

f(x)limxsin

又 limx0x0x0x0f(x)lim(ax)a

lima0。

例４已知对于一切x,y，有f(xy)f(x)f(y)且函数f(x)在x0处连续，证明：函数f(x)在(,)内连续。

证（只须证明f(x)在(,)内任意一点x0处连续即可，由本题条件可选择

x0limf(x0x)f(x0)的形式。）

f(xy)f(x)f(y)，令xy0f(0)f(0)f(0)f(0)0。

又f(x)在x0处连续，limf(0x)f(0)0。

x0

对于x0(,)，都有

f(x)f(x)]0limf(x)f(，0 )

limf(x0x)f(x)0lim[f(x)0x0x0x00故函数f(x)在(,)内连续。

五）小结

本课时的主要内容要求：

① 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述。

② 明确函数在区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

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