怎样证明直线与圆相切?
在直线与圆的各种位置关系中,相切是一种重要的位置关系.
现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法:
(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”,于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端.
例1:已知:△ABC内接于⊙O,⊙O的直径AE交BC于F点,点P在BC的延长线上,且∠CAP=∠ABC.
求证:PA是⊙O的切线.
证明:连接EC.
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ACE=90°,
∴∠E+∠EAC=90°.
∵∠E=∠B,又∠B=∠CAP,
∴∠E=∠CAP,
∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°,
∴∠EAP=90°,
∴PA⊥OA,且过A点,
则PA是⊙O的切线.
(2)利用切线的判定定理——在已知条件中,有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点),但没有半径”,于是先连接圆心与这个公共点成为半径,然后再证明这条直线和这条半径垂直.
例2:以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P,Q为AC的中点. 求证:PQ必为⊙O的切线.
证明 连接OP,CP.
∵BC为直径,
∴∠BPC=90°,
即∠APC=90°.
又∵Q为AC中点,
∴QP=QC,
∴∠1=∠2.
又OP=OC,
∴∠3=∠4.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90°,
∴∠OPQ=90°.
∵P点在⊙O上,且P为半径OP的端点,
则QP为⊙O的切线.
说明:要证PQ与半径垂直,即连接OP.这是判别相切中添辅助线的常用方法.
(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径,也没有与圆有公共交点的直线”,于是过圆心作直线的垂线,然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R).
例3:已知:在△ABC中,AD⊥BC与D,且AD=BC,E、F为AB、AC的中点,O为EF2
的中点。
求证:以EF为直径的圆与BC相切.
证明:作OH⊥BC于H,设AD与EF交于M,
又AD⊥BC,∴OH∥MD,
则OHDM是矩形.
∴OH是⊙O的半径,
则EF为直径的圆与BC相切.
思考题:
1.AB是⊙O的直径,AC是弦,AC=CD,EF过点C,EF⊥BD于G.
求证:EF是⊙O的切线.
提示:连接CO,则OC是⊙O的半径,再证OC⊥EF.
2.DB是圆的直径,点A在DB的延长线上,AB=OB,∠CAD=30°.求证:AC是⊙O的切线.
提示:∵AC与⊙O没有公共点,
∴作OE⊥AC于E,
再证OE是⊙O的半径.