一、填空题Ⅰ
1.已知
A
1111111111111111 2324232009232008
1111B1111,
2342009
那么B与A的差,BA.
【分析】 观察到A的最后一项和B较相似,所以可以从后往前减:
111111111
111...1111...1
234200920092342008
1111111...1;2342008
发现这差又和A的倒数第二项较相似,所以可以继续从后往前减,一直减到A的第一项,则结果为1.
2.甲、乙两包糖的重量之比是2∶1,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包
糖的重量之比变为7∶5,那么两包糖重量的总和是克.【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比例从2:1变成7:5,和分别是3和12,
所以统一为12,也就是从8:4变成7:5,所以10克是1份,12份是120克。
某商品按定价出售,每个可获利润45元,如果按定价的70%出售10件,与按定价每个减价25元出售12件所获的利润一样多,那么这种商品每件定价元.
【分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元,12件获利润240元。按定价的70%出
售10件也获利润240元,所以每个获利润24元,比定价少21元。这21元是定价的30%,所以定价是70元。
4.如图1,在角MON的两边上分别有A、C、E及
△ABC、△BCD、并且△OAB、B、D、f六个点,△CDE、△DEF的面积都等于1,则△DCF的面积等于.O【分析】 OB:BDSOCB:SBCD2:1, 3.
OD:DFSOED:SDEF4:
1所以
图1
133
3DFODBD,SDCFSBCD。
444
4将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”,其中2在第1个拐角处,3在第2个拐角处,5在第3个拐角处,7在第4个拐角处,„„.那么在第100个拐角处的数是.
【分析】
观察可发现,第2n个拐角之前有一个n(n1)的矩形,
2所以第2n个拐角处的数等于nn1,第100个拐角处
5.
2
298141
5的数为2551。
图2
设1011041072009A10k,这里A,k都是正整数,那么k的最大值为.
【分析】 只要看里面5的因子个数,因为2的因子个数一定足够多。 6.
101到2009里面共有(2009101)31637个数。其中,这里面的后625个一定含有125个5的倍数,25个25的倍数,5个125的倍数和1个625的倍数;前12个中,110和125共含有4个因子5。所以,含有5的因子个数为12525514160。
7.在1,2,3,4,5的所有排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1a2,a3a2,
a3a4,a5a4的不同排列的个数是【分析】 a2,a4中一定有1,另一个只能是2或3。
如果a2,a4是1,2,另外三个数可以任意排列,有2612种; 如果a2,a4是1,3,则3的两侧只能放4和5,有224种。 所以,共有16种。
二、填空题Ⅱ
某天甲、乙两人完成一件工作,计划两人都从早上7∶00开始工作,他们将在上午11∶00完成;如果甲比原计划晚1小时开始工作,乙比甲再晚半小时开始,那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成;如果乙比原计划提前半小时开始工作,甲比乙晚1小时开始,那么他们完成工作的时刻是.【分析】 根据题意,甲晚开始1小时,乙晚开始1个半小时,结果晚完成1小时20分钟,
也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量,乙的工效是甲的2倍。如果乙比原计划提前半小时,而甲相当于比原计划晚半小时,则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处,也就是比原计划提前10分钟,10:50。
N除以7的(12345654321)9.已知正整数N的八进制表示为N8,那么在十进帛下,
余数与N除以9的余数之和是.【分析】 (12345654321)8(111111)82。
根据n进制的弃n1法,(111111)8被7除余6,所以其平方被7除余1; 8.
9(11)8,显然(111111)8被(11)8整除,所以其平方也被(11)8整除。
因此两个余数之和为1。10.如图3,四边形ABCD是矩形,E、F分别是
1
1AB、BC上的点,且AEAB,CFBC,
3
4AF与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为
120,则△AEG与△CGF的面积之和为.【分析】
过F做CE的平行线交AB于H,则EH:HBCF:FB1:3,
图
311223
1EB2EH,AG2GF,SAEGSABFSABCD10。 23394
2同理,过E做AF的平行线交BC于I,则FI:IBAE:EB1:2,
11
所以CFFBFI,CGGE,SCGF1SAEG5。
32
所以AE
所以两三角形面积之和为15。
11.如图4,在加法算式中,八个汉字“清华附中龙
班大学”分别代表0到9中的某个数字,不同的汉字代表不同的数字,使得算式成立,那么四位数“清华附中”的最大值等于.
【分析】
为避免显示不兼容问题,现用拼音首字母代替汉字。 原式为2009QHFZQHLB1QHDX,
即QHFZ1QHDXQHLB20097991DXLB。 为了使QHFZ最大,则前两位QH先尽量大,最大可能为80。 假设QH80,则继续化简为FZDXLB9。
2009
清华+清华清华
附中龙班大学
图4
DXLB9最大为9712976,此时出现重复数字,需要进行调整,
9612975,符合题意,所以最大值为8075。
b是两个正整数,(a,b)设a,它们的最小公倍数是9504,那么这样的有序正整数对共有组.
9504253311,(a,b)所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5);【分析】
(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种,同理3的幂的情况有7种,11的幂的情况有3种,所以总共有1173231种.
13.某校人数是一个三位数,平均每个班级36人,若将全校人数的百位数与十位数对
调,则全校人数比实际少180人,那么该校人数最多可以达到人.
【分析】
12.
设原人数为abc,则有abcbac180,即ab2。 从大到小尝试,9703626...34,所以所求答案为972。
14.
设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点,顶点A处有一只青蛙,除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个,落到顶点E时青蛙就停止跳动,则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为种.
【分析】
14.可以使用递推法。回到A跳到B或H1步1 2步23步34步65步106步207步348步689步116所以,10步跳到E有96种方法。
跳到C或G141448
跳到D或F停在E
141448
2 8 28
三、解答题(请写出详细解题过程):
某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A、B两种产品共50件,已知每生产一件A产品需甲原料9千克和乙原料3千克;每生产一件B产品需甲原料4千克和乙原料10千克.现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克,那么该工厂利用这些原料,应该生产A、B两种产品各多少件,才能完成任务?请求出所有的生产方案.
【分析】 设生产A产品x件,则生产B产品(50x)件。 需要甲原料9x4(50x)2005x千克,需要乙原料3x10(50x)5007x千克。15.
为避免原料不够用,则
2005x360
,解得30x32。
5007x290
如图5,在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形,使
得每一个扇形都恰好覆盖4个数,且每两个扇形覆盖
的数不全相同,求证:一定可以找到3个扇形,恰好覆
盖整个表盘上的数.并举一个反例说明,作8个扇形将不能保证上述结论成立.【分析】
共有12种可能的扇形,每个数恰好被4个扇形覆盖。这12个图5 扇形分为4组,同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。所以,
如果去掉3个,则一定还有一组是完整的,这组的3个扇形覆盖整个表盘。另一方面,如果从12个扇形中去掉4个扇形,则可以去掉盖住同一个数的4个扇形,这样这个数就没有被盖住。
16.
17.
对四位数abcd,若存在质数p和正整数k,使abcdpk,且
abcdpp5,求这样的四位数的最小值,并说明理由.
【分析】
17.因为250,3522,55太大,所以p3。因为abcd是3的幂,所以四个数字中不能包含3以外的质因子,也就是说只能含有1,3,9。
观察可知恰好有139922,所以最小的这样的四位数是1399。
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