公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面。
公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面。
所有的推论是由相应的公理证明的。
证明:
设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,
显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,
根据公理3,知道
过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面 ,设为平面β;
假设两平面α和β不重合,则B在α外,
在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,
所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,
此时,AB和AE都与CD平行,
与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条\"矛盾,
所以B也在α内,此时α和β重合,
即α和β是同一个平面,
即两条平行的直线确定一个平面。
《公理3的推论3的证明.doc》
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