第一次课：证明及相关公理、定理、推论
一、考点、热点回顾
1、《证明
（一）》知识点回顾：全等三角形的四个公理和一个推论
公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)
公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)
公理全等三角形的对应边、对应角相等。
推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)
2、课堂新知
等腰三角形性质定理：
定理等腰三角形的两个底角相等。（简单叙述：等边对等角）
等腰三角形性质定理推论：
推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的判定定理：
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简单叙述：等角对等边）
等边三角形判定定理1：
定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形判定定理2：
定理三个角都相等的三角形是等边三角形。
含有30角的直角三角形的性质定理：
定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形性质定理：
等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。
3、反证法
在ABC中，BC，求证：ABAC
反证法一般用于不方便直接证明的命题，从其反面予以证明不成立，从而肯定本命题整理，基本步骤为：假设命题结论不成立；从这个假设出发应用正确的推理方法；得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾；从而否定假设，得出肯定的结论。
4能力拓展：
（1）、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题
（2）、等腰三角形的性质在实际生活中的应用
二、典型例题
ABDC
F
1F
例
1、（2010·昆明中考题）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是； （2）添加了条件后，证明ABCEFD。
例
2、（2011·济南模拟题）在ABC中，ABAC,点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（）。
A.30B.36C.45D.70
例
3、（2010·成都调研题）点D、E在ABC的边BC上，ABAC,ADAE,求证：BDCE。
例
4、（2011·宁波模拟题）在ABC中，ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O的直线
例
1MN//BC，分别交于点M、N，求证：MNBMCN。
例
5、（2011·乐山模拟题）在等边ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F。
（1）求证：ADCE；（2）求DFC的度数。
例
6、（2010·北京四中测试题）D、E在线段BC上，
A
BDCE，ACB120o，求证：ADE为等边三角形。
B
DE
C
例6
例
7、（2011·长春模拟题）已知如图，ABC是等边三角形，且1=2=3，求证：DEF是等边三角形。
D
A
C
E
B
例
8、（2010·华师一附中测试题）在ABC中，
例7
F
ABA,CBAC12o，0是BCD的中点，DEAB于点E，求证：EB3EA
例
9、（2010·哈尔滨联考题）用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。
例
10、(2010·天津调研题)如图，D为等边ABC内一点，且
C
DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。
PD
B
例7
A
三、课后练习
1、D在AB上，点E在AC上，ABCACB,那么补充下列一个条件后，仍无法判定
ABEACD的是（）
A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC
2、如图，ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。 （1）、求证：AFCD；
（2）、在连接BE后，还能得出什么结论？（至少写出三个）
3、如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE，AE交CD于M，BD交CE于
B
E
C
FD
DA
C
EN
B
N。求证：MCN为等边三角形。
4、一艘船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，该穿一直向东航行有无触礁的危险？
5、在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合
75o
60o
P
AB
C
FP
E
AHB
的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。 （1）求证：CAECBF （2）求证：AEBF
（3）以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求A CB的取值范围。
6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
