高中数学虚拟实验探究式教学模式
【摘要】突破传统课堂教学模式，将现代信息技术与MM教育方式加以整合，信息技术作为教师教辅工具、情感激励工具和学生认知工具，构筑数字化学习资源，实现学习方式的变革，从被动接受式学习真正转变为自主探究学习、有意义学习和合作学习，构建适应素质教育的、以学生为主体、以教师为主导、以学生自主探究为主线的基于现代信息技术的高中数学虚拟实验探究式教学模式：“创设情境——确定主题——虚拟实验——提出猜想——验证猜想——成果交流”，以更好地培养学生的数学创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力。
【关键词】信息技术，MM教育方式，课程整合，虚拟实验探究式
【中图分类号】G434【文献标识码】【论文编号】1009—8097（2003）03—0091—04
著名的数学教育家G·波利亚认为，数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学、系统演绎科学；但在创造过程中的数学，却是一门实验性的归纳科学，其创造过程和其它知识一样，在证明一个定理之前，你得先猜其内容，再猜其证明思路。得先把观测结果加以综合、类比，你得一次次地尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但这证明是通过合情推理，通过猜想发现的。为此，他提出数学教学（及相应的数学学习）三原则： 促使学生主动学习的原则：学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现，教师只应起助产士的作用。
最佳动机原则：教学中，教师应尽量促使学生产生最佳动机（即学生对所学材料感到有趣，并在学习活动中找到乐趣）。如引导学生在解题前猜测结果，说明内容的重大，奇妙的背景等。
阶段序进原则：通过行动和感受的探索阶段，进入术语、定义、符号、证明等的形式化阶段，以及把所学的材料消化吸收到自己的认知结构和整个精神世界中的同化阶段。教师应指导学生做一些带有挑战性的题目，一些具有丰富背景并值得深入研究的题目，一些能从中品味到科学家工作的题目[1]。
拟定中的教育部《国家高中数学课程标准》明确指出：在高中数学教学中，不仅要培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要提高学生直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面的能力，要培养学生的数学建模能力与数据处理能力[2]。然而，传统高中数学教学片面强调数学的严谨性、逻辑推理的形式化，教师通常是沿着“定义--假设--定理--证明--推论”这么一条演绎的道路进行的。这种教学模式对学生数学建模能力与数据处理能力培养是无能为力的。我们认为最好的策略是运用构筑的现代信息技术与MM教育方式整合教学平台系统，用电脑模拟数学发现的历程，使用计算机进行数学实验，通过电脑证明数学定理、解决数学问题，培养学生上述各种能力。
一、现代数学虚拟实验的涵义
现代数学虚拟实验是指教师根据数学思想发展脉络，以计算机数学软件的应用为平台，充分运用现代信息技术，模拟实验环境，创设数学教学情境，设计系列问题增加辅助环节，引导学生通过操作、实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决，让学生亲自体验数学建构过程。
二、MM教育方式
数学方法论(Mathematicalmethodology)教育方式(简称MM方式)就是：教师在数学教学全过程中，充分发挥数学教育的两个功能，自觉地遵循两条基本原则，瞄准三项具体目标，恰当地操作8个变量（运用八项教学措施），从而达到全面提高学生素质的目的。
1 “教学全过程”：班级重组、学法培训、备课、上课、辅导、作业处理、学习评价、课外活动指导；
“两个功能”：技术教育功能、文化教育功能；
“两条基本原则”：既教证明，又教猜想原则和教学、学习、研究（发现）同步协调原则； “三项具体目标”：引导学生自我增进一般科学素养，自我提高社会文化修养，自我形成和发展数学品质；
“八个变量”：数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家人品教育，数学史志教育，演绎推理教学，合情推理教学和解题方法的教学[3]。
三、构建信息技术的高中数学虚拟实验探究式教学模式
高中数学虚拟实验探究式教学模式概括为六个
环节：创设情境、确定主题、虚拟实验、提出猜想、验证猜想、成果交流。其教学流程图如下：
图1基于信息技术的高中数学虚拟实验探究式教学模式流程图
四、基于信息技术的高中数学虚拟实验探究式教学模式的操作特征
笔者以高二年级下学期一节数学实验课“三垂线定理及其逆定理”为例阐述基于信息技术的高中数学虚拟实验式教学模式的操作特征。 教学内容：人民教育出版社中学数学室编著人民教育出版社出版发行《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）》——《数学》第二册（下A）第九章“直线、平面、简单几何体”第四节“直线与平面垂直的判定和性质”第四部分（1课时）， 教学目标：（知识目标）使学生正确理解并掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能用自己的语言正确地表达定理，初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法；（.能力目标）通过引导学生进行高中数学虚拟实验，体验三垂线定理及其逆定理的探索历程，培养学生的观察能力、猜想能力、合情推理能力、论证能力、合作交流能力和归纳总结能力。（发展目标）通过“虚拟实验、提出猜想、验证猜想”等环节，培养思维的变通性和严密性，培养学生的探索精神和创新个性，培养学生逻辑思维、直觉思维能力和自主探究能 2 力。
教学重点、难点：使学生正确理解并掌握三垂线定理及其逆定理的内容和实质，是本节课教学重点；准确地把握“空间三线”垂直关系实质及在非水平放置的平面上运用三垂线定理则是本节课教学难点。
1、创设情境
创设情境是指教师在学生动手实验之前，给学生提供新的学习准备，营造一个良好的学习氛围。在这情境中，学生原有的数学认知结构与新学习的内容之间发生冲突，学习者在心理上产生学习需要。创设情境是数学虚拟实验教学过程中的第一环节，它是实施其他环节的首要条件。创设情境的方式主要有“创设真实性情境”、“创设问题性情境”、“创设虚拟性情境”等。创设合适的情境应该具备两个基本条件：要有可行性；要有一定难度。本环节所用
教师通过计算机演示图2所示课件，创设一种虚拟性情境，启发学生进行积极的思考： 如图2，AO是PO在平面α内的射影，a⊥AO，CD⊥AO。
2、确定主题
教师创设了情境，学生的学习兴趣被激发起来。于是教师一边再次演示课件1，一边与学生共同确定本节课的主题：如何判断空间两条直线互相垂直？
3、虚拟实验
虚拟实验是指学生按照教师提出的实验要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验结果做出清楚的描述。它是整个数学实验过程中的核心环节，它是在第一环节所创设的情境和第二环节确定主题中展开的，对这两个环节与第四环节之间起到承上启下的作用。学生在教师指导下，运用我们构筑的现代信息技术与MM教育方式整合教学平台系统（如几何画板）进行自主探究或协作探究实验。通过实验，学生发现：（1）CD⊥AO，但CD与PO不垂直；（2）a⊥AO，且a⊥PO。为什么会产生两种截然不同的结果？原因何在？
4、提出猜想
提出猜想是指学生在理解了学习课题后，通过实物模型、虚拟模型、直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节整个数学实验过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段，它是学生在虚拟实验环节中产生的，是学生根据实验现象和规律提出的，是数学实验教学的教学目标实现程度的体现，同时也是培养学生合情推理能力的过程。
学生在教师引导下，通过自主探究或协作学习，对在实验过程中发现的问题作进一步的研究，找到了两者的本质区别，即a在平面α内，而CD却不在平面α内。然后，学生大胆地提出猜想：“平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。”
5、验证猜想
验证猜想是指在提出猜想之后，通过传统实验、虚拟实验、演绎推理等方法来验证猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。这是数学实验不可缺少的环节，是我们获得正确结 3 论的关键步骤，是对实验成功与否的判断。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。
已知:如图2，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在α上的射影，aÌα,a⊥AO，求证：a⊥PO。
教师:(引导完成分析和证明)我们证明空间两直线垂直常用的方法是怎样的? 学生:证一条直线垂直于另一条直线所在的平面
教师:对,根据图3的特征,要证a⊥PO,是证a垂直于PO所在的某一平面,还是证PO⊥a所在的某一平面好? 学生:应该证a垂直于PO所在的某一平面.教师:怎样叙述? 学生:证明（略）
教师指导学生剖析定理,分析定理中的关键字词，计算机闪烁相应字词及相应的图形，其目的是帮助学生更好地理解定理，加深印象。在定理证明完毕，提问：若将已知条件“a⊥AO”与结论“a⊥PO”互换，结论成立吗？电脑动态显示“a⊥AO”与“a⊥PO”语句的移动，激发学生的学习兴趣，增强探索问题的能力。
教师强调定理与逆定理的一致性，分析定理中的元素与用途。通过电脑动态显示，进一步加深学生对两个定理的理解。
6、成果交流
成果交流是指学生将实验研究过程中的心得体会通过BBS论坛、在线讨论、举行论文答辩等方式进行师生之间、人机之间、学生之间等多种形式的交流、研讨，与同学们分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升。如举行论文答辩，各小组推荐1人和教师组成“专家评议组”，通过抽签决定答辩的顺序，各小组在答辩前将小论文上传到服务器中指定位置。答辩时，先由答辩者在规定的时间内介绍本组的工作（包括如何选题、解决问题的基本思路、如何克服困难、如何合作等），再由答辩者回答“专家”或听众就其工作的提问。举行论文答辩后，由“专家评议组”进行评比，分为一等奖、二等奖、三等奖、成功参与奖等四个层次进行奖励。让每一个学生获得亲自参与研究探索的积极体验，让每个学生体验科研成功的喜悦，发展对社会的责任心与使命感；培养科学态度与科学道德等。
教师启发学生从以下五方面（还可以从其它方面）对本节课的主题——“三垂线定理及其逆定理”做更深入的研究：
（1）三垂线定理解题的关键是什么？
（2）使用三垂线定理及其逆定理应注意些什么？
（3）如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？ （4）三垂线定理包含几种垂直关系？
（5）三垂线定理及其逆定理之间有何联系？
教师要求学生将研究成果上传到指定的公告栏——“BBS论坛”，在研究过程中学生之间、师生之间可以进行在线讨论。最后，教师将学生分成若干研究小组，每组4—6人，可以自由组合，也可以由教师指定，让学生在课后搜集有关资料，对该课题作进一步的探究，要求每个小组撰写一份有关的实验报告或研究报告，适时举行论文答辩会。
实践证明，数学实验的引入，尤其是计算机参与下的数学虚拟实验室的引入，给我们的数学课注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”。让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程，变为自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、动脑设计等的亲身经历。因此，数学实验是让学生在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的。在数学教学中，充分挖掘实验环境，特别是利用《几何画板》、“Z+Z智能知识平台”、“图形计算器”等这样的优秀软件平台为学 4 生创设进行数学实验的良好环境，是实施数学素质教育的重要途径。
—————————— 参考文献
[1]波利亚著《数学的发现》第一卷[M]，欧阳绛译，北京：科学出版社，1982年。 [2]《国家高中数学课程标准》制订组，《高中数学课程标准》的框架设想[J]，“数学教学”，2002年第2期，（1）。
[3]杨世明，周春荔，徐沥泉：MM教育方式理论与实践[M]，香港新闻出版社，2002年4月第一版。
MathematicsFictitiousExperimentProbingintoTypeTeachingModeofHighSchool LUOKui-min (JiangxiProvinceLepingMiddleSchool,Leping333300,China) [Contentsummary]Breakthroughthetraditionalclaroominstructionmode,combinethemoderninformationtechnologyandMMeducationalway,Informationtechnologyteachandcomplementasteachertool,emotionencouragetoolandstudentcognitivetool,Constructdigitalchemistrypractiseresource,realizechangetostudyway,frompersonwhoacceptstudyandchangeintoandprobeintoandstudy,notmeaningfultolearnandcooperateinandlearnindependentlyreallypaively,Structureandmeetquality-orientededucation,Relymainlyonstudent,taketeacherastheleadingfactor,probeintothemathematicsfictitiousexperimentprobingintotypeteachingmodeofhighschoolbasedonmoderninformationtechnologyofthethreadindependentlywithstudents:\"Foundthesituation--Fixthemes--Fictitiousexperiment--Proposegueing--Provethatguees--Theachievementisexchanged\",inordertotrainstudents\'mathematicsinnovativeconsciousne,initiativespirit,innovationabilityandabilitytosolvepracticalproblembetter.[Keyword]Informationtechnology,MMeducationalway,Thecourseiscombined,Fictitiousexperimentprobingintotype
