学习分 形 心 得 体 会
经过三十六课时的学习，分形课结束了，似乎大家都感触颇深，这里想谈谈本人的一些学习心得和体会。
“分形”被认为是20世纪数学科学的最重要发现之一。我们手中拿到的这本书是信息与计算科学专业系列丛书之一，具有该专业的特点。信息与计算科学专业是以信息技术和计算机技术的数学基础为研究对象的理科类专业，其目标是培养学生具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息与计算科学基础理论、方法与技能，受到科学研究的训练，能解决信息技术和科学与工程计算中的实际问题的高级专门人才。基于以上认识，院系于是给我们信息与计算科学专业开了分形这门课。
这门课的任课老师是唐强教授，唐教授学识渊博、理论扎实、内容丰富多彩，特别能激发同学们学习的兴趣。这本书的内容由浅入深，定理推导详略得当，语言通顺，内容新颖，很多都是近年来的新成果，书后并附有大量的彩插。书中配以大量的例题和图片，以利于学生对内容有更好的理解；附录适当的C语言及BASIC程序，方便学生上机实践。
自从Euclid（欧几里得）在两千多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，自然科学研究人员与数学家们基本上都在Euclid空间进行研究和探索。但Euclid几何学不是万能的，大自然中的许多现象都不可能由Euclid几何来解释。比如树是三维空间的实物，但能由zf(x,y)来描述吗？显然不能。那么如何来描述大自然几何及其他许多Euclid几何所不能解决的问题呢？虽然历史上曾经出现像俄罗斯数学家Lobachevski（罗巴切夫斯基）创立的非欧几何，但其影响有限并且还不能解决我们当前所面临的许多问题。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层„„曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(Fractal)。
后来，英国数学家法尔科内(Falconer)提出罗列分形集的性质，来给分形下定义。如果集合F具有下面所有的或大部分的性质，它就是分形：
（1）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；
（2）F是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；
（3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；
（4）F在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数；
（5）在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象
在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。它的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的空间几何形态。比如分形的典型例子，Koch曲线便是以初等数学方法构造的一个处处连续而点点不可微的函数曲线。典型的“数学怪物”还有Sierpinski （希尔宾斯基）三角形，Cantor（康托尔）集等等。
第一章中的几个分形图形都是严格自相似的。其中von Koch 曲线和Cantor集都产生于一条称之为基线的单位长度线段。然后遵循一个称之为主型（motif）曲线所提供的生成法则，在主型的每条线段上按主型线段所示生成法逐步细化，最终生成一条分形曲线。Levy曲线，皇冠分形曲线，桧树分形小支还有其他由主型产生的分形曲线都是自相似的分形曲线。
第二章的后面几节作图法都与一种叫“逃逸时间法”的作图方法有关，而逃逸时间法是基于迭代法的一种画图法。我们可理解为避域中的点轨道随时间变化是否逃出该区域。
1980年，Mandelbrot给世人提供了一幅无与伦比的杰作：Mandelbrot集。现在我们看到的Mandelbrot集，它具有多姿荆棘的圆盘，弯曲缠绕的螺线和细丝，挂着细微颗粒的鳞茎，无尽的斑斓色彩，意料外的精细结构，处处显示出分形奇特之美。20世纪80年代后，Mandelbrot集被人们当作分形学和混沌学的国际标志出现在许多国际性论文集和刊物的封面上，成了世界巡回展出的计算机艺术品。课上，老师为我们展示了Mandelbrot集的视频，它的层层嵌套中有无穷多的自相似部分，让人眼花缭乱。实际上，Mandelbrot集和同样震惊世界的Julia（茹利亚）集仅仅是映射zz2c(z,cC)的无穷次迭代。这种由数学的内在美变成人们视觉上的美，简直是匪夷所思。
由于Mandelbrot集和Julia集都源于同一个变换，因此他们之间必定有非常复杂的关系。由于每一个常数c都对应一个Jc，而M—集上的每个点都是一个c，
所以M—集合的所有点就对应着数以万计的Jc。相近的c值，对应的Jc也就较为相似。
紧接着老师为我们重点讲解了L—系统。L—系统开始是作为描述植物的形态与生长的一种方法，继而发展成计算机图形学中一种模拟大自然景物的有效方法，当然也是一种重要的分形生成方法。这里可分为：简单的向前生成单元格式，左右生成元的混合格式，分支结构的简单进退格式，分枝结构带空指令的进退格式还有随机L—系统。
第五章为我们介绍了几种重要的维数概念，什么是Hausdorff维，什么是分形维，它们的关系以及它们们的测定。这一章中我们还重点学习了重标极差分析，它是一种针对自然现象中长期记录的统计方法，有两个因素：一是R，一是S。设时间区域（跨度）为T，(t)是离散整时间t时的自然现象观察值。记
T1TT(t)
t
1t
X(t,T)[(u)
u1T]
R(T)maxX(t,T)minX(t,T)
1tT1tT
和S{1
TT1T[(t)
t1]}22
则以实验为基础的关系式
R/S(cT)H
是对自然界大数据量的一个很好的描述，通常称R/S为重标极差。式中H为Hurst指数，c为常数。有了以上认识后，我们迎来了学习分形以来的第一次上机实验：Hurst指数计算，提供一个function(s),s;行向量。虽然实验结果不是很理想，但是同学们亲自实践，将理论转化为操作，还是学到了不少东西。
最后几课时讲的是分形混沌动力系统，这就不得不提到著名的“蝴蝶效应”：一只蝴蝶在巴西轻轻扇动了一下翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。这句话的来源，是由于美国气象学家Lorenz制作了一个电脑程序，可以模拟气候的变化，并用图像来表示。最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅，因而他形象的将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释，于是便有了上述的说法。蝴蝶效应通常用于天气，股票市场等在一定时段难于预测的比较复杂的系统中。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
在学习课程中，老师还花了几课时的时间跟我们讲解MATLAB的基本知识
和操作，如数组的产生，矩阵的伸缩变换，一些常用的函数如：find函数的作用与用法，size函数，length函数的用法，还有画图需要用到的plot函数。此外，还介绍了M文件，命令文件，函数文件的知识，这些为我们熟练使用MATLAB软件打下了基础。
还有我觉得比较欣赏老师的做法是，每次讲完课还有多余的时间，就为我们
展示一些科学家们鲜为人知的逸闻趣事，为枯燥的课堂平添了不少生动。唐老师还特意从网上搜一些关于分形的课外资料有视频、歌曲给我们欣赏，可谓用心良苦，希望同学们不仅从课堂上学到了知识，更开阔了视野，培养兴趣，有机会的话还可以沿着科学之路坚定地走下去。
以前我老是觉得数学很枯燥乏味，就是一整堆的数字和公式，但是接触分形
以后，我就被它如此复杂而精细的结构震撼了！书本后面一幅幅绚丽多姿的彩插，仔细想一下，其背后永无止尽的细分再细分确实是难以简单的只用头脑去想象的。这就需要我们编程然后依靠计算机来绘制图形。所以呢，我们的数学之路并不会就此终结，相反还有很遥远的路途在等待着我们去前行、挖掘。
分形课结束了，似乎对它还有点恋恋不舍，希望以后有机会还可以再学习！
