(no.1)高中数学教学论文谈构造函数法证明不等式\\x27 新人教版

发布时间：2020-03-03 00:26:59 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

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谈构造函数法证明不等式（无版本）

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握。如：exx1,xR ； lnxx1,x0 例1: （07辽宁理工）已知f(x)e2x2t(exx)x22t21求证：fx

3 2例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3 求：a的取值范围。不等式exx1,xR 与 lnxx1,x0

这两个不等式不难从图像上看出，注意ylnx 与 yx1分别是yex 与 yx1的反函数，关于yx对称．

用导数证明如下: 构造函数

f(x)exx1,f(x)ex1,x,0减,x0,增, f(x)f(0)0

既ex1构造函数

xf(x)lnxx1,f(x)既: lnxx1推论:e x111x1,x0,1增,x1,减f(x)f(0)0 xx

x,xRlnx1x,x1这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明例1: （07辽宁理工）已知f(x)e求证：fx2x2t(exx)x22t21

3 22x22x分析：根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握, 解法一：设f(x)gt2t2(ex)txe1

gtmin8xe14(ex)22xx28(exx)22

2exx1exx1

∴gtmin33,既: fx 22用心爱心专心

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解法二：：设gt2t22(exx)tx2e2x1，

112t22(exx)tx2e2x022214(exx)224(e2xx2)0(exx)21，由exx1exx1

2gtx2解法三：f(x)(et)xt1

2x设点A、B的坐标分别为x,e,t,t，易知点B在直线y=x上，令点A到直线yx的

221xxx距离为d，则f(x)AB1d1ex1，又ex1ex1

222既:fx3 2例2: 已知f(x)x22xalnx，t1,f(2t1)2f(t)3 求：a的取值范围。

解法一：由f(x)x22xalnx及f(2t1)2f(t)3得到: 2t12t1aln2t12t22tlnt3 22t2alnt222t1aln2t1

t2化简为:2t1aln ………①

2t122t1t22t10.a当时，有t2t1，则ln …………②。

t22t1ln2t1构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.

2t1)t1t12……………… ③ t2lnln(12t12t12t1t22t1…………………………………………④ ∴ln2t1因此由②④可知实数a取值范围: a≤2.

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当t1时，由①知aR 综合知：a取值范围: a≤2.评注：本解法主要是构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), ln(1＋x)≤x(x=0时取等号)在x>－1上恒成立.解法二：以上与解法一同，也可构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0 (x=1时取等号) 上恒成立.

t1t2t22当t1时，ln1t1

2t12t12t1以下通解法一。

评注：本解法主要是构造函数(x)lnxx1，lnxx1,x0 (x=1时取等号) 上恒成立.解法三：由解法一得2talnt22t1aln2t1

222构造函数(x)2xalnx，，有t1，t2t11，

22t2alnt222t1aln2t1(t2)(2t1)(x)2xalnx在x1,递增，(x)2xalnx，(x)2a2xa0，a2xa2 xx评注：整体把握，构造函数(x)2xalnx，简化解题过程，此法要有引起我们的高度重视。

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