初三总复习数与式寒假作业

第一章讲义 数与式

知识要点归纳

1、有理数的意义

（1） 数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实数一一对应。

（2） 实数a、b互为相反数，则a+b=0.

（3） 实数a、b互为倒数，则ab=1.

aa0（4） 绝对值a0a0

aa0

（5）近似数与有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起，到这一位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

2、数的乘方与开方

（1） 正数有两个平方根，负数没有平方根，正的平方根叫做算术平方根。

（2） 若ba，则b叫做a的立方根。

（3） 实数分为有理数，无理数，用小数点的观点来看，有理数是有限或无限循环的小数。

（4） 3aa0 aaaa02

n（5） 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 （6） 在a中，a叫做底数，n叫做指数。

3、实数的运算

（1） 有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有：加法交换律、乘法交换律、

加法结合律、乘法分配律和乘法结合律。

（2） 行的运算顺序是：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，运算中有括号的，先算括号里面

的，同级运算从左到右依次进行。

4、实数大小的比较

（1） 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。

（2） 正数大于0，负数小于0 ；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的

较小。

（3） 设a、b是任意两实数，

若a-b0，则ab；

若a-b0，则ab；

若a-b0，则ab。

5、易混点清单

（1） 正确理解相反数、绝对值的概念。 当实数a0aa；当实数a0aa，反之，当实数a满足

- 1 -

aa时，则a0，当实数aaa时，则a0.

（2） 用科学计数法表示较大的数或较小的数。

A、将较大的正数NN1写成a10n的形式，其中1a10，指数n为原来的整数位数减

1的差；

B、将小于1的正数NN1写成a10n的形式，其中1a10，指数n为第一位有效数字

前零的个数的相反数。

（3） 实数的运算，要先弄清楚按怎样的顺序进行，要注意负指数幂、零次幂和三角函数等在算式中

出现。

（4） 实数问题中出现的找规律的题型关键在于找出各数(或各式)的共同点和不同点，从而准确进行

归纳总结，得出一般结论。

6、代数式的有关概念

1、用字母可以表示任意一个数字，如用字母a可以表示数字2，也可以表示-2；

2、用字母可以表示数的运算律、图形的面积和周长等，如乘法交换律可以表示为ab=ba；长方体的体积可以表示为abc(其中a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)；

3、像3x-12，ab，a等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是数值 3s

t

4、一般地，用结果代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得到的结果，叫做代数式的值。

5、字母a可表示正数，可表示负数，也可以表示0；-a亦是如此。

7、整式分类

单项式整式有理式多项式 代数式分式

无理式

8、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

9、合并同类项:只把系数相加，所含字母及字母的指数不变。

10、整式的运算

（1） 整式加减运算实际就是合并同类项。

（2） 整式的乘法：即abmn

（3） 整式的除法：单项式除以单项式时，把系数，相同字母分别相除，作为商的因式，对于只在

被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

11、乘法公式

1平方差公式:ababa2b2

ab22完全平方公式：

3立方和、差公式：a3b3

12、因式分解

（1） 定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。

（2） 方法：a、提取公因式法：ma+mb+mc=

b、公式法：ab=

a2abb=

ab=

c、分组分解法：

（3）一般步骤：即“一提”，“二套”，“三分组”，分解因式要分解到不能再分解为止。 332222

13、幂的运算性质

1aman

n2am式中的m、n为正整数，a0 n3ab

4aman

14、易混点清单

1、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，单独一个

非零数的次数是0；

多项式的次数:一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2、ab与ba的关系； nn

当n为奇数时，两者互为相反数；

当n为偶数时，两者相等。

3、ab与anbn仅当n1时相等。 n

15、分式的概念和性质

（1）整式A除以整式B,可以表示成AA的形式，如果除式B中含有未知数，那么B0称为分式。 BB

（2）当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零。

（3）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

16、分式的加减运算

（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母；

（2）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

（3）异分母分式相加减，先通分，变为通分母的式，然后再加减。

17、分式的乘除运算

（1）约分的关键是确定分子、分母的公因子；

（2）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；

（3）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

18、易混点清单

1、在分式通分时最简公分母的确定方法:

(1)系数取各个公分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。

(2)取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式；

(3)如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母。

2、在分式约分时分子分母公因式的判断方法：

(1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数

(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；

(3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式。

典型例题

10200820081.计算：sin600.254 2

2.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有1

1bc02abac3bcac4abac

3、如图所示，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切与原点O（A与O点重合），假设硬币的直径为一个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上的点A’重合，则点A’对应的实数是

4、按一定规律排列的一列数依次为,,

5、已知

6、将下列各式分解因式： 111111,,,,按此规律，第七个数是231015263511a-2abb4，则的值等于ab2aab7ab

12a36a236a

2a41223abab

44a2b22b1

7、下列运算中正确的是

A、xx2x

B、xxx8 355510

C、2x2y

D、34x324x3y3 111x3yx3yx29y2 22

4x22x

38、分式的值为0，则x取值为 x1

9、请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数要合适哦!代入求值： 2aa1a21

a1

10、请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。

x33

x211x

x33

x1x1x1A

x33x1x1x1x1x1B

x33x1C

2x6D

（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误；

（2）从（B）到（C）是否正确。若不正确，错误的原因是

（3）请你正确解答。

；

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