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摘要...................................................................................................................................................1 1.组合数学概述................................................................................................................................1 2.组合数学在生活中的应用............................................................................................................1 3.组合数学与计算机软件................................................................................................................1 3.1 信息时代的组合数学...............................................................................................2 3.2 组合数学在计算机软件的应用...............................................................................2 3.3组合数学与计算机软件的关系.................................................................................2 3.4 组合数学在国外软件业的发展状况......................................................................2 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用.............................................................................................3 4.1 Ramsey 定理和Ramsey 数....................................................................................3 4.2 信息检索...................................................................................................................3 参考文献............................................................................................................................................5
组合数学在计算机中的应用
摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。
关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索;
1：组合数学概述
组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。
2：组合数学在生活中的应用
在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。
当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。
组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。
3：组合数学与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。
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3.1 信息时代的组合数学
现代数学可以分为两大类:一类是研究连续对象,如分析、方程等,另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理的对象是离散的数据,研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。因此,在信息时代的今天,组合数学就是信息时代的数学。
3.2 组合数学在计算机软件的应用
随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。
组合数学在计算机方面的应用极其广泛。计算机软件与各种算法的研究分不开,为了衡量一个算法的效率,必须估计用此算法解答具有给定长的输入(问题) 时需要多少步(例如算术运算、二进制比较、程序调用等的次数) 。这要求对算法所需的计算量及存储单元数进行估算,这就是计数问题的内容,而组合数学分析主要研究内容就是计数和枚举的方法和理论。
3.3组合数学与计算机软件的关系
我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。
3.4 组合数学在国外软件业的发展状况
纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有
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对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R.Tarjan即是组合数学的权威。
除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。
4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 4.1 Ramsey 定理和Ramsey 数
众所周知,若有n +1 只鸽子同时飞进n 个鸽巢中,则一定有某个鸽巢中至少飞进两只鸽,这就是有名的鸽巢原理(也叫抽屉原理) 。它非常简单,其正确性也显而易见,但却有很广泛的应用。鸽巢原理有如下重要的推广: Ramsey 定理 设q1 , q2 , ⋯, qn ; t 是正整数,且qi>=t ( i =1 , 2 , ⋯, n) ,则存在最小的正整数r (记作r ( q1 ,q2 , ⋯qn ; t) 使得:对任意m 元集合s ,若m E r ,当把S 的所有t 元子集放到n 个盒子里时,那么存在某个i (1
上述定理是Ramsey1930 年提出并给出证明。
当t =1 时,Ramsey 定理就是加强形式的鸽巢原理,且容易求出 r ( q1 , q2 , ⋯qn ;1) = Σqi - n +1(i=1~n) Ramsey 定理是组合论中一个重要的存在性定理,它的发表推动了组合论等数理科学的发展,而且关于Ram2sey 定理和Ramsey 数自身的研究目前已成为组合学中一个重要的分支———n +1 ———Ramsey 理论。但是,Ram2sey 定理只保证了Ramsey 数的存在性,并没有给出计算Ramsey 数的有效方法。目前,确定Ramsey 数的问题仍是一个尚未解决的大难题,要找到一个很小的Ramsey 数是很困难的。虽然如此,由于其重要的理论价值和广泛的应用价值,确定Ramsey 数是很有意义的。下面用两个例子说明Ramsey 数在信息检索、分组交换网设计等计算机科学领域中的重要应用。 4.2 信息检索
信息检索是计算机科学中一个基本而又重要的问题。如何组织数据,使用什么样的查找方法,对检索的效率有很大的影响。所熟知的在有序表结构上的二分搜索算法是一种很有效的方法,那么二分搜索是最好的算法吗?Yao利用Ramsey 数对这一问题作了肯定的回答。
具体地讲,假设一个表有n 个不同的项,其元素取自键空间M = { 1 ,2 , ⋯, m}, 希望找到在表中存储M 的任意n 元子集S 的方法,使得容易回答下述询问: X 在S 中吗? 如何存储M 的n 元子集的规则称为一个表结构或( m , n) 2表结构。最简单的表结构是有序表结构,
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它是按上升序列出S 中的元素。更一般的是按置换排序的表结构,其方法是固定{ 1 ,2 , ⋯, n} 的一个置换,根据比置换的次序列出S 中的元素。
信息检索的计算复杂性依赖于表结构和搜索策略。复杂性的度量是最坏情形下确定x 是否在S 中所需要的询问次数。例如,对有序表结构,如果用二分搜索,所需要的询问次数是[log2 ( n +1 ) ] 。复杂性f ( m , n) 定义为所有的( m , n) 2表结构和搜索策略下的复杂性的最小值。关于f ( m , n) ,Yao证明了: 定理1 对每个n ,存在数N ( n) 使得f ( m , n) = [log2 ( n +1 ) ]对所有m>=N ( n) 成立。 据此定理,对充分大的m ,就信息检索来说,用有序表结构是最有效的方法。
利用下述两个引理,立即可得此定理的证明。
引理1 若m >=2 n -1 , n >=2 ,对于按置换排序的表结构。无论采用何种策略,在最坏情形下要确定x 是否在S 中至少需要[log2 ( n +1 ) ]次检查。
引理2 给定n ,存在数N ( n) 具有下述性质:若m >=N ( n) ,且给定一个( m , n) 2表结构,则存在有2 n -1个键的集合K ,使得对应于K 的n 元子集的表形成按置换排序的表结构。
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参考文献
【1】杨骅飞.组合数学及其应用[M].北京:北京理工大学出版社,1992.【2】杨振生.组合数学及其算法[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1997.【3】卢开澄,卢华明.组合数学(第3 版) [M].北京:清华大学出版社,2002.【4】A.C.Yao.ShouldTablesBeSorted[J].ACM,1981,28.【5】陈树柏.网络图论及其应用[M].北京:科学出版社,1982.【6】R.L.Graham,B.L.Rothschild,J.H.s pencer.Ramse yTheor y ( secondedition ) [M].JohnWile y8.Sons,New.York,1990.
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