“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用
mnm1.Cn,取走和剩下的一一对应; Cn
n
2.C
k0kn2n
122nn我们可令等式(1x)n1CnxCnxCnx中的x等于1,得到该式。
另外,我们可考察集合{b1,,bn}的子集的个数:
一方面,采取加法原理,根据子集中元素个数分类:C
k0nkn;
另一方面,采取乘法原理,设其子集为S,我们逐一考察bi,i1,2,,n是否在S内,每个元素都有两种可能,考察完毕,子集S确定,或者我没把子集看成一个排列,如
n;b11,0,0,,0。共2。 0,0,,0
nn1
所以得证。
mmm1mm13.Cn,从{a,b1,,bn}取m个有Cn,一类不含a:1CnCn1种:一类含a:Cnm。 Cn
mmm1推广①: An 1AnmAn
mm1m从{a,b1,,bn}取m个排成一排An,一类不含a:An。 1:一类含a:mAn
n1nnnnn推广②:CnCCC
CCm1mnmn1mn2n1n
解释:有m+n+1不同小球,其中黑球m+1个,白球n个。从中选取n+1个小球,
n1选法共:Cnm1种,
n考虑另外一种算法:若有黑1则在剩余小球中选n个,即Cnm,若无黑1,则考虑是否有
n黑2,若有则从剩余n+m-1个小球中取n个,即Cnm1,依次考虑下去,到考虑是否有黑
nm,若有,则在剩余n个小球取n个,即Cn1,若无黑m。则必有黑m+1,最后剩下的m
个白球全取。总共CmnCmn1Cmn2Cn1Cn。所以得证。 nnnnn
rr1
本公式另一种表现形式:CrrCrr1Crr2Cn本公式也可从杨辉三角1Cn。
观察可得。还可考察等式(1x)(1x)
rr1
(1r)
n1
(1x)n(1x)x
两端
x
xr的系数相同。
推广③: C
rnm
krk
CmCnk0r
r
从{a1,am,b1,,bn}取r(rm)个元素Cn:从这n+m个元素中取k个a系,r-k个bm
r
系的方法CC
k
mrkn
种,k0,1,2,,r,所以C
rnm
krk
。(Vandermonde恒等式) CmCnk0
rrr1
特例,当m1时,即CnCC1nn。
n
当nmr时,
CnkC2nn
k0
2n!。
(人教B选修2-3教材P35T17,此题
n!n!
n
还可以通过考察等式(1x)n(1x)n(1x)2n左右两边含x项的系数相等得到;同样考察(1x)n(1x)m(1x)nm左右两边含x项的系数相等得到Vandermonde恒等式)
1222n2n1推广④:(Cn)2(Cn)n(Cn)nC2n1。
r
r
证明:由C
r
nm
krkkk1
,令rmn1结合kCnCmCnnCn1可得。 k0
nC
n1
2n1
knk1
nCn1Cn
k0
n1
knk1
nCn1Cnk0n1
k1nk1(k1)CnCnk0n1
n1
(k1)C
k0n
k1
n
kC
k0
kn
得证。
解释:a系{a1,a2,,an}选一个作为主元素,从剩余的2n-1中再选n-1个;再有对于k=1,
2,3„„,n从n个a系中选k个,再从中选一主元素,再从n个b系{b1,b2,,bn}中选n-k
knk
个(不做主元素),即kCn。 Cn
另一种证明方法:
00nn因为:(1x)nCnCnxCnx,(1
1n001n1)CnCnCn两展开式右
xxxn
1222n2
(Cn)2(Cn)n(Cn),而
边乘积中的常数项恰好等于
(1x)n(1
1n1n
)n(1x)2n,(1x)2n中含xn的系数是C2
n。
xx
krk
,当nm时,即是上式。 kCmCn
k1m
推广:mC
r1
nm1
rr1
4.rCn(可直接用组合数公式证明) nCn1,
r
解释:从n个元素中选出r个元素并把其中之一作为主元素rCn,另一方法,先从n个r1元素中选出一个主元素,再从剩余的n-1个元素中选取r-1个元素nCn1。 123n用之可证明人教B版选修2-3P32T6:Cn2Cn3CnnCnn2n1。
0n1(证明一:倒序相加;证明二:从左往右结合2n1Cn1Cn1;证明三:122nn
x1) (1+x)n=C0nCnxCnxCnx两端求导并令123n
Cn2Cn3CnnCnn2n1的推广:
nmk0
mkmnmmnm时,Cn。 CmCnk2
解释:考虑从n人中选出m名正式代表及若干名列席代表的选法(列席代表不限人数,可以为0).
m
一方面,先选定正式代表,有Cn种方法,然后从nm个人选列席代表,有2
nm
种方法,
共有2
nm
m
种。 Cn
另一方面,可以先选出mk人(k0,1,2,,nm),然后再从中选出m名正式代表,其余的k人为列席代表。对于每个k,这样的选法有Cn
mk
m
Cmk种,从而,总选法的种数为
nmk0
C
mknmCmk。从而得证。
rr1rmmrmrr1
另:rCn的推广:,m=1时即为nCnCCCCrCnC1nrnnmnn1。