论课程标准下的数学建模教学的优化 傅海伦
国家普通高中《数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)在第一部分前言中指出：数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。可以说，当今各行各业都需要大批的能够用数学知识解决实际问题的数学人才。用数学方法解决实际问题，首先要建立数学模型，这样才能进行数学推理、演算、求出结果，对原来的实际问题作出判断，并能够预测未来。然而，在中学数学教育中用数学方法解决实际问题的教育一直没有得到足够的重视。高中数学课程设立数学建模等学习活动，这是一个重要的突破，它对提高高中数学教学质量必将产生积极的重要影响。因此，作为普通中学特别是高中数学教师，一定要认真学习和领会课程标准的理念和要求，学习并掌握数学建模的有关知识方法，胜任数学建模的教学。本文首先简介数学建模的基本概念、特征，在此基础上研究数学建模过程与方法，提出优化数学建模教学的有效途径。
一、重视《标准》中数学建模的意义与方法
简而言之，用数学语言和方法设计数学模型的过程称为数学建模(Mathematical Modeling)。《标准》指出：\"数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。\" 关于在高中阶段开展数学建模活动的意义，《标准》主要从发展学生的数学应用意识和将数学建模作为一种新的数学学习方式两个方面来论证的。二者的意义都在于突出体现高中新课程的基本理念。 1．《标准》将数学建模作为促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力的重要途径
发展数学应用意识，提高实践能力是《标准》倡导的一个重要课程理念。高中数学课程通过设立\"数学建模\"的学习活动，正是将它作为实现这一理念的重要途径。正如《课程标准》课程的基本理论第5条所说：20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。
高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展\"数学建模\"的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。 2．《标准》倡导数学建模是数学学习的一种新方式
新课程倡导积极主动的、勇于探索的学习方式。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。《课程标准》在\"数学建模\"的内容标准中指出：\"数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，合乎实际体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。\" 高中数学课程设立\"数学建模\"学习活动，通过该活动的组织开展，它将与\"数学探究\"活动一起，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
二、优化数学建模的教学策略与方法 1。正确理解数学建模教学的重要意义
数学建模教学和传统的数学教学不同，学生在掌握数学基本知识和方法的基础上，在教师的指导下，自己动手、动脑去解决实际问题。对某一问题，可以独立完成，也可以成立一个小组进行合作解决。对同一问题所得出的数学模型也可以不同。
优化数学建模教学，就是要把现实问题带到教室，用所学数学知识解决现实问题的过程。学生通过观察和实验与现实交流，试图用所学数学知识去理解和解决现实问题。当现成的数学模型不能解决问题的时候，可以引导学生去探索适合于现实的新的数学模型。虽然，学生不一定有意识地建立数学模型，但在这一过程中可以逐渐地掌握建模的方法。学生在实验中获得新的模型，也是掌握新的数学思想方法的新起点。同时，学生在学习数学和运用数学解决实际问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表征、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。从这个意义上讲，优化数学建模教学有以下重要意义： (1)培养学生发现问题、提出问题的意识。《标准》指出：在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多个方面。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。《标准》同时要求：学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。
(2)培养学生的观察力、理解力和抽象能力；培养学生对事物进行正确判断的能力，促进学生对数学本质的理解。
(3)扩展数学概念，强化数学应用的意识，增强数学研究的能力，培养学生灵活应用数学知识与数学方法的能力。《标准》指出：通过数学建模，学生将了解和经历下面框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。
(4)提高分析和解决问题的能力，增进创造意识。《标准》指出：每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性。从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。 (5)培养学生的自立能力和合作精神，增强对数学的感受和情感体验。《标准》指出：学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。
2．掌握数学建模的过程与方法
自然界的事物千姿百态，其发展变化也非常复杂。所以，给自然界的事物建模并没有一个固定的模式，数学建模是一个系统的过程，它要利用许多技巧以及翻译、解释、分析和综合、计算等高级的认知活动。因此，建模是一种十分复杂的创造性劳动。
《标准》中数学建模的方法步骤，可以通过前页框图体现： (1)实际情境
这是建模前的准备工作。即建立数学模型之前，必须理解实际问题的情境，掌握所要解决问题的有关背景知识和数据资料等信息，从实际问题的特定关系和具体要求出发，找出影响实际问题的重要因素，牢固掌握有关数学知识和方法。此外，还应明确建立模型的目的。 (2)提出问题
建立数学模型是对实际问题进行具体分析的科学抽象过程，要在对实际问题进行分析的基础上，进行抽象，提出问题，这是一个化繁为简、化难为易的过程。因此，要抓住问题的主要矛盾的主要方面，舍弃次要方面，猜测重要因素之间的关系，进行简化。这是建模的关键的一步。简化假设要适度，否则会对建模产生不良影响。 (3)建立数学模型
在假设的基础上，利用适当的数学方法表示问题各数量之间的关系，建立相应的数学模型。
(4)模型求解，得出数学结果，进行模型分析
建模以后，对模型进行数学解答。例如，求方程的解、列表、作图等，得出初步的数学结果，通过对结果进行分析、翻译、解释，指出结果的实际含义和模型的应用范围等。例如，对问题各变量之间的依赖关系等进行分析。 (5)模型检验
将模型的结果运用到实际问题的解决中，运行模型，对模型结果与实际相互比较，以便检验模型的可靠性和准确性。对不符合实际的情况，要进行修改，进一步提出问题。 (6)可用结果
对于符合实际的结论，就是可用的结果。数学模型被接受之后，进入实际应用阶段。在实际应用中应该不断地改进模型。 3．正确把握《标准》的教学要求
国际上普遍重视数学建模的联系实际问题。德国必修课中有37处要求联系物理、化学、经济、日常生活以及哲学观念。他们还强调球面几何、球面三角。建立的模型包括人口增长、质量控制、疾病传染、抽样试验等。我们国家的《普通高中数学课程标准》虽然没有对展开数学建模活动的次数、时间与具体内容作统一的规定，但还是对数学建模提出了六个方面的要求，并规定高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。此外还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。
4．正确理解《标准》中的说明与教学建议 (1)学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。 (2)数学建模可以采取课题组的学习模式，教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。
(3)数学建模活动中，应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。教师在必要时应给予适当的指导。
(4)教师应指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。
根据《标准》中的说明与教学建议，数学建模活动对教师提出了新的要求。如前所述，数学建模过程是一个复杂的、系统的过程，指导这样复杂的活动，教师不但要具备较强的数学建模能力，还需不断调整自己的角色，适应数学新课程的变化和要求。作为新时期的数学教师就应该及时更新教育教学观念，注意自觉地、不断地更新自己的知识，优化知识结构。教师不仅要认真钻研基础数学、应用数学和数学教育的知识，还要关注社会生活的变化，关注其它学科的基本概念、基本原理及科学的新动态，及时发现新问题、新方法，不断充实自己的\"问题库\"。同时，教师要不断增进数学建模的意识，平时多发现、多实践、多总结，既要在现行数学教材的数学知识应用与建模的切入点上多实践，还要不断积累高中数学教材的应用和建模的参考素材，创造性地开展数学建模实践活动。
摘自《中小学教师培训》2008。4（36~38）
