《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》是观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台
《校本课程开发与实施有效性研究》课题组
雷作明
校本课程自编教材
《几何画板》
—观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。
《几何画板》最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。
请注意：上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动态的黑板”。《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。另一方面，利用它的动态性和形象性，还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。
《几何画板》的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在《几何画板》中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容。例如几何问题、部分物理、天文问题等。
用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5-10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。
由此可见，《几何画板》是一个“个性化”的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有老师在教学中使用现代教育技术，也能帮助学生更好地把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。可以认为，《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。
1 目录
第一篇 《几何画板》基本操作
一、画板工具
二、编辑
三、按钮设置
四、显示/隐藏
五、构造
六、变换
七、度量
八、绘图
第二篇 边学边作
示范1.动画制作（线性规划，动点轨迹） 示范2.制作太阳、地球、月亮相对运动 示范3.指数函数、对数函数、幂函数图象比较 示范4.二分法求方程的零点（计算器与几何画板比较） 示范5.分段函数图象制作(符号函数利用) 示范6.某区间（可动）上二次函数的值域
第三篇 深化学习
一、深度迭代
二、圆锥曲线制作
三、旋转生成圆台、圆柱、圆锥
四、一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹
五、投掷硬币模拟试验
2 第一篇
《几何画板》基本操作
要想用几何画板来开发一些简单但又实用的课件，就得先认识几何画板的工具及命令。
一、画板工具与菜单 1.工具与菜单：
2.点击【文件】：
其中下设：
【新建文件】新建一个几何画板文件(.gsp) 【画板课堂链接】
3 3【打开】打开一个或多个(.gsp或.g)文件
若勾选“包括工作过程”，则可保留上次工作过程，并对前面工作步骤进行“撤消”或“重复”(在编辑菜单中有此项目)，对画板进行加工，对于初学者可从别人的工作过程中获益。 【保存】保存当前文件(.gsp或.g) 【另存为】换名保存或存为图象文件(.wmf)
在此标签中的“文件名：”后输入所存的文件名。若要将画板当前状态存为图像文件，则只须将“保存为元文件[.wmf]”前勾选，按下确认后再次确认，即存有一幅图元文件，可在word等字处理软件中调用。下面就是调用的：波的干涉的画板图元文件：(由于是矢量图形，所以任意缩放均不会出现变花现象)
【关闭】关闭当前文件(.gsp或.g) 【文档选项】
【打印预览】预览当前文件(.gsp或.g)的打印效果，也可在此处对打印的情况进行调整。 在标签中，显示了要打印图形(左方)及有关属性右上、进一步对打印机的设置(如纸张大小、打印质量等)“尺寸”可选“实际尺寸”(按实际尺寸打印)、充满整页(使图象按纸张大小充满整页打印)、“其它”(按给定比例打印)等，可根据需要，打印出合适的图形来。 【打印】按前面的设置打印图形。
【退出】全部退出几何画板。
二、【编辑】
点选编辑栏,弹出如下菜单:
1．撤销与重做操作：
(1) U撤消[Ctrl+R] 复原前一次操作(也就是撤消前一次操作)。 (2)[R重做[ Ctrl+R] 重复前一次操作（将已撤消的操作重复出来） 2．.编辑操作：
(1)[X剪切 Ctrl+X]将选中对象剪切到剪贴板
5 (2)[C复制 Ctrl+C]将选中对象复制到剪贴板
(3)[P粘贴图片 Ctrl+V]将剪贴板上的内容粘贴到当前文件上 (4)[E清除 Ctrl+Del]清除全部选中对象等。
三、按钮设置
1.M运动：命令点由这一位置运动到另一位置。
操作：①依次选定起点、终点；②启动下拉菜单中[编辑]→[操作类按钮]→[动画]命令；③运动方式设置：如下图，有急速、快速、中速及慢速等四档。
于是在画板中出现按钮2.
，当双击该按钮时，动点就会按要求移动。
A动画：动点按照给定的路径(线段、直线、射线、圆等)运动。
操作：①选定一个动点、一条轨迹；②执行[编辑]→[按钮]→[动画]命令，弹出上图所示对话框，进行动画设置；③一切设定完毕，按下“动画”按钮，在画板中出现按钮，双击此按钮，动点就按给定的轨迹运动起来。 3.H隐藏/显示：对选定对象设置“隐藏/显示”按钮。
操作：①选择需要隐藏的对象；②执行[编辑]→[按钮]→[隐藏/显示]命令，画板上出现按钮，双击△隐藏按钮，被选择对象隐藏起来，双击▲显示按钮，显示被隐藏对象。 4.Q序列：按选定动作序列设置新的动作按钮。
操作：①依次选择几个需要顺序完成的动作；②执行[编辑]→[按钮]→[序列]命令，在画板中出现按钮，双击此按钮，画板就依次执行设定的动作。 5.执行按钮：执行选择按钮的动作。 6.选择按钮
6 (1)[A选择全部 Ctrl+/]选择活动窗口中的全部内容。 (2)[N选择父母 Ctrl+U]选择父母对象。 (3)[H选择子女 Ctrl+D]选择子女对象。 7．[O插入] 【链接】
【O插入】可插入各种对象：声音、动画、图形、图像、文字、„。设置标签如图：
从插入目标类型看，理论上可在几何画板中插入Windows资源管理器中存在的各种媒体文件，究竟有哪些媒体能在你的计算机中插入，希望通过实践来摸索(声音是可以的)。
四、显示/隐藏
1．[L线类型]定义所选择的线的类型：粗线、细线、虚线等。
2．[C颜色]定义线或面的颜色。面的颜色只有7种(前一列中的7种);面的颜色共有28种。
3．[Y字号/字形?]、[F字体?]
对选定的文字进行字号、字形与字体的定义。
4．[H隐藏(对象) Ctrl+H]、[S显示所有隐藏]
对选定的对象(点、线、文本、图像等)进行隐藏；将所有隐藏对象全显示出来。
5．[B显示符号 Ctrl+k]、[R更改符号(对象)]
显示所选对象的符号；对所选对象的符号进行更改。 6．[T轨迹跟踪(对象) Ctrl+T]、[A动画„]
跟踪对象(点、线、内圆、内多边形等)移动的轨迹；定义动画(与前面编辑中动画定义相比，这里只有一次，且无按钮)。 7．
设置显示参数。其设置标签如图所示。
五、构造
构造菜单由五部分够成：构造点、构造线、构造圆或圆弧、内部、轨迹等。
1．构造点： (1)[O目标上的点] (2)[I交点 Ctrl+I]构造两相交线(直线或弧线)的交点。
操作：①依次选择两条相交的直线或弧线；②执行该命令或按下[Ctrl+I]键。 (3)[M中点 Ctrl+M]构造某一线段的中点。
操作：①选定一条或多条线段；②执行该命令或按下[Ctrl+M]键。 2．构造线：
(1)[S线段 Ctrl+L]根据选定的点依次构造线段(直线、射线)，具体由“工具”给定。 操作：①选定两点或依次选定几点；执行该命令或按下[Ctrl+L]键。
(2)[D垂直线]过直线(或线段)外(或直线上)一点构造该直线(或线段)的垂直线。 操作：①选择一个(或多个)点和一条(或多条)直线；②执行该命令。 (3)[P平行线]过直线外一点构造该直线的平行线。
操作：①选择一个点(或多个点)和一条(或多条直线)；②执行该命令。 (4)[B角平分线]构造一个角的平分线。
操作：①依次选定三点A、B、C代表∠ABC；②执行该命令，便作出∠ABC的平分线。 3．构造弧线：
(1)[T以圆心和一点划圆]以选定的第一点为圆心，过选定的第二点画一圆。 (2)[R以圆心和半径划圆]以选定的点为圆心、选定的线段为半径画圆。
(3)[E圆上的弧]根据选定的三点，构造圆上的弧(有一点为圆心，另有一点不一定在圆弧上) (4)[A构造过三点的圆弧(三点均在圆弧上)
9 4．构造轨迹：根据条件，构造点的轨迹(以后在讲)。
5．构造内部：→(三种方式)
根据选定的对象构造内圆(选择对象是圆时)、内多边形 (按依次选定的点)、扇形内 (按选定的圆弧)、弧弦内6．构造轨迹：按约束条件构造轨迹。
六、变换
(按选定的圆弧)
1．变换方式： (1) 执行[变换]→[平移„]后出现定义标签：
可选择“根据标识的距离”平移、根据“直角坐标向量”平移、根据“极坐标向量”平移、根据“标识的向量”平移等多种定义，不同的定义方式，移动的用处不同。 (2) 执行[变换]→[R旋转„]后，出现如下对话框：
这里，可给定要旋转的角度或选择“根据标识的角度”事先设定进行旋转。 (3) 执行[变换]→[D缩放„]，出现下图对话框：
这里，你可自己给定缩放的比例，或选择“根据标识的比例”(事先设定)进行缩放。 (4)执行[变换]→[F反射]命令，将选择对象按标识的镜面进行反射。
2．标识： (1)
在进行旋转、缩放等操作时，需标识中心。选择一个点，执行[变换]→[C标识中心* Ctrl+F]或用鼠标双击该点，即标识此点为中心，即可进行旋转、缩放等变换。 (2)
在进行反射时，需标识镜面。选择一条直线或线段，执行[变换]→[M标识镜面 Ctrl+G]或用鼠标双击该直线或线段，即标识此直线或线段为镜面，此后可进行反射变换。 (3)标识从起点到终点的向量。顺次选择两个点，执行[变换]→[V标识向量]，即标识一个从起点到终点的向量，在进行平移变换时，可选择“按标识的向量”进行，则平移的距离大小、方向均与该向量一致。
12 (4)标识一个距离。选定一个已测算的长度，执行[变换]→[I标识距离]，即按已测算的长度标识一个距离，在进行平移时，可选择按“标识的距离”平移，其平移的方式就是在X轴或Y轴上按次距离平移一段。 (5)标识一个角度。依次选定三个点(如A、B、C)，执行[变换]→[A标识角度]，则标识一个角度∠ABC，在进行旋转变换时，可选择“按标识的角度进行旋转。 (6)标识一个比例。依次选定两条线段(如k、j)，执行[变换]→[O标识比例”k/j”]，则标识一个以线段k和线段j的长度之比的比例，在执行缩放变换时，可选择“按标识的比例”进行缩放。
七、度量 测算：
1．：测算两点间、一点和另一条线之间的距离。先选定两点或一个点和另一条线段(直线)，执行[测算]→[D距离]，画板中显示被测算的距离。 2．测算线段的长度、线段所在直线或选定的直线的斜率。选定一条线段，执行[测算]→[L长度]，即测出所选线段的长度并显示于画板中；执行[测算]→[S斜率]，即测出所选线段或直线的斜率。
3．测算一个圆的半径、圆周、和面积。选定一个圆，执行[测算]→[R半径]([F圆周]、[A面积])，即测出所选定的圆的半径(圆周、面积)。
4．测算内多边形的面积、周长。选定一个内多边形，执行[测算]→[A面积]([P周长])，即测出内多边形的面积(周长)。 5．测定所选角的角度。依次选定三点(A、B、C)，执行命令[测算]→[N角度]，所测角度(∠ABC)便显示于画板中。
6．测定所选弧的弧度或弧长。选定一段圆弧，执行命令[测算]→[G弧度]([H弧长])，所测弧度或弧长显示于画板中。 7．中。
13 依次选定两条线段(l
1、l2)，执行命令[测算]→[O比例]，则比例l1/l2算出并显示于画板8．画板中。 9．程式。 10．测算点的坐标。选定一个或多个点，执行命令[测算]→[I坐标]，则测算出各点的坐标并显示于测算圆、直线的方程。选定一个圆或直线，执行[测算]→[Q方程式]，则测算出该圆或直线的方
执行命令[测算]→[C计算„ Ctrl+=]，出现如下对话框：
分离坐标：将一个点的坐标分离为单独的横坐标和纵坐标。 根据需要编写一个简单的计算公式或由系统内部提供的函数进行数值计算。
11．将测算出来的一组数固定成表格。
例如：设计一反映折射定律的小课件：
拖动“入射光线”上端的点，可改变入射角，折射角发生相应改变，这时，我们将入射角、折射角、入射角与折射角的比值，入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值固定成表格，通过对比就可得相应的结论。
八、绘图
1．2．3．4．5．
显示或隐藏坐标轴。 显示或隐藏格栅。
点的移动只能按照格栅进行而不能连续移动。
选择是按直角坐标还是极坐标方式显示格栅。
按给定坐标画点，可设定所画点的属性是定点还是自由点。设置如下。
6．设定坐标的形式：
直角坐标还是极坐标。
7．给定直线或圆的方程式的形式。
16 第二篇
边学边作
线性规划：
动点轨迹：
太阳、地球、月亮相对运动：
18 指数函数、对数函数、幂函数图象比较：
二分法求方程的零点：
分段函数图象制作：
19 某区间（可动）上二次函数的值域：
20 第三篇
深化学习
【深度迭代】
【操作步骤】先选中圆上起始点，再选中参数n-1,按住shift不放，【变换】出现【深度迭代】(否则只出现【迭代】)，对话框中出现“？”，点圆上第二个点，点击对话框中【迭代】（可连接第一与第二两个点得线段, 选中圆上起始点，再 选中参数n-1,按住shift不放进行迭代得正多边形）。点击参数n，【操作类按钮】，【动画】，范围改成3到18（太大不明显），，连续改为【离散】，动画参数n，迭代成功。选择起始点，【操作类按钮】，【动画】，可使圆旋转起来。（注：n-1可变为n+1）
【圆锥曲线制作】
制作定长线段绕轴旋转中点的轨迹是圆：
按椭圆定义制作椭圆：
21
画双曲线：
画抛物线：
22
【旋转生成圆台、圆柱、圆锥】
23 【一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹】
24
【投掷硬币模拟试验】
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(no.1)高中数学教学论文 几何画板在中学数学教学中的应用
