立体几何中翻折问题
（一）
北京市永乐店中学 李龙强
一、教学背景
（1）学生特征分析
本教学班是通州区永乐店中学高二理科班，学生年龄为十六岁左右.学校地处农村，是一所市示范高中校，生源由通州区二类学生组成，学生的学习基础、思维习惯、学习习惯差异较大，平均水平属于区中上程度，个别学生达到区中偏下水平.本班整体情况看，学习氛围宽松、民主，大部分学生比较活跃，课堂上敢于发表自己的看法，个别学生学习较主动，平常善于问问题，也有部分学生不善言辞.学生学习基础不太扎实，但直觉思维还可以，面对问题能有一些想法，有时也会出现一些较好的想法，但不能深入，缺乏认识问题、分析问题的一般方法，理性思维能力不够.学习上，主要是靠课上听，课下复习小结很不够，分析问题的能力有待提高.
（2）学习内容分析
本教学内容，学生前期对基本问题有了一定的了解，学生已经对立体几何的基本知识和方法进行了梳理，但是，学生对于综合问题的处理能力有待提升.在此基础上，对立体几何中的翻折问题进行探究，尤其是面对陌生题目时，提高根据题目的条件和结论制定恰当的解题策略的能力.
二、教学目标
（1）学生从熟悉的平面图形——矩形入手，通过翻折（沿不同线）的演变，复习巩固立体几何中的有关基础知识，如直线与平面、平面与平面间的平行（或垂直）定理，直线（或平面）与平面所成角的定义等；规范表述解答过程，如规范画图、反思小结等；积累对解题方向进行预判的经验.（2）经历问题的完整解答过程，进一步体会翻折问题的基本问题及分析方法；在师生、生生交流的过程中，感悟化归与转化、类比、数形结合等数学思想方法；
（3）在问题的探究过程中，体会知识之间的内在联系，感悟事物之间普遍联系的辩证思想，树立正确的世界观；能与同学、教师合作、交流，养成在独立思考的前提下，善于合作的习惯；在理解解题方法中，建立学好数学的自信心.
三、教学过程
环节1：平面图形展示
教师活动：给出平面图形——矩形（黑板画出）.问题1：如图，矩形ABCD中，AB2，AD1.你能得出什么结论（尽可能多）？ 学生活动：独立思考（不动笔）.D设计意图：
由学生熟悉的图形入手，利于学生进入课堂，问题1简单、明确、可操作，不动笔，独立思考，培养学生的思维能力.
A
展示交流：一学生回答，其他学生倾听，判断、补充、„„
教师说明：学生可能会没想到的问题，如向量，矩形放在平面直角坐标系中等等.
1
CB环节2：问题引入
教师活动：结合黑板画出的矩形，给出（慢）：若点E是CD的中点，连结AE，将△ADE沿线段AE翻折，使平面ADE平面ABCE. EDC问题2：你能准确的画出翻折后的立体图吗？
学生活动：独立动笔画图. 展示正确画图的过程.
BA设计意图：教师慢慢地给出条件，给学生充足的时间思
D1考、画图，重视画图的过程，提高学生画立体图的技能.
教师活动：结合所画立体图，依次给出：
问题3：求CD1的长.
问题4：求CD1与平面ABCE所成角的正弦值. 问题5：求平面BCD1与平面ABCE所成角的余弦值.
ECBAD1学生活动：思考、动手.
展示交流：一学生回答，其他学生倾听，判断、补充、„„.
E不同解决方法交流. C
教师说明：有的学生可能会建系，利用空间向量解决，
HF这里复习强调直线（或平面）与平面所成角的定义.
AB设计意图：复习巩固基础知识，不同思考方法的辨析，回归概念，关注题目中所涉及的元素及各元素间的关系，以数形结合、划归与转化等数学思想引领思维，使方法“自然”生成.依此给出，层层深入.
环节3：问题变式
（1）教师活动：幻灯片给出（慢）：连结AC，将△ACD沿线段AC翻折，使平面ABD平面ABC. 学生活动：独立动笔画图. DC
教师活动：结合立体图，一起给出：若过点D2作D2GAB，
问题6：求证：ADBC.问题7：求AG的长（只要解题思路）.
问题8：求二面角ABD2C的余弦值（只要解题思路）.
ABD2CB学生活动：思考、动手. 展示交流：一学生回答，其他学生倾听，判断、补充、„„.AG不同解决方法交流.
教师说明：环节3中的问题与环节2中的问题的不同.D2教师活动：若将△ACD沿线段AC继续翻折，会怎样？ 设计意图：类比环节2中的问题解决过程，完成这3个问
F题，使每个学生积极地参与课堂讨论，同时，集思广益，相互
A启迪，开阔视野，使每个学生在讨论中都有新的收获，感受思G维的魅力，增强思维的灵活性和学习的自信心.组织师生、生生交流，促进学生充分展示思维过程，尤其是怎样审题，怎样获得方法的呈现.
2
CB
（2）教师活动：以环节3中的问题为例，总结解决翻折问题的方法，反思解决翻折问题遇到的障碍，又是怎样解决的。
D2学生活动：学生以自己亲身的体验，反思整个过程并交
C流.
教师活动：我们一起解决了问题6，问题7和问题8，你
AB可以设计问题吗？（1-2个）
G若学生可以设计出，展示交流；若学生设计有障碍，教师试着引导学生来设计问题.
如点D在平面ABC上的投影落在BC的中垂线上，求二面角D2ACB的余弦值.
教师说明：会遇到问题，试着设计.
设计意图：通过设计问题，学生清楚自己的思路，抓住设计障碍，突破解决，同时，发挥榜样的作用，激发学生勇于克服困难的勇气.环节4：问题引申
教师活动：给出（慢）：若点E是CD的中点，点P是CE上一动点，连结AP，将△ADP沿线段AP翻折，使平面ABD平面ABCP.
问题9：过点D3作D3GAB,设AGt，那么t的取值
DEPC范围是________________.
学生活动：先独立思考、动手运算；后合作交流.
BA教师活动：参与到学生活动中，若学生完成不顺利，给与D3适当提示.
C展示交流：一学生回答，其他学生倾听，判断、补充、„„.P不同解决方法交流.
ABG
教师说明：不少学生会遇到问题，问题在哪里？帮助学生剖析.
设计意图：通过交流，相互启发，打破定式，拓展思路，引发学生新的思考，提升学生思维的灵活性.
环节5：问题总结 反思整节课，学生谈谈体会和收获.教师结合学生的体会和收获，引导学生总结：
（1）立体几何中的翻折问题——动到静，变化中寻求不变元素.
（2）解题前分析清楚题目涉及的各元素及元素间的关系，恰当选择途径，要有比较、优化的意识； （3）我们讲的翻折问题是由平面图形变化到立体图形，重视平面几何中的性质、定理的应用. 环节6：问题拓展
我们讲的翻折问题是由平面图形变化到立体图形，那么有没有立体图形变化到平面图形的问题呢？
?如图，正方体ABCDA通过怎样的变化会出现平面图形呢？1B1C1D1，试试！
3
D1A1B1C1DABC
