勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的几种证明方法

我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22， 整理得a2b2c2.

这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。

【证法2】（邹元治证明）

1ab2以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.

把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形.它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

ab214abc22222.∴ abc.

这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初

二的学生来说，是能够领会的。

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

C

1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c

∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

1

24abbac2

2∴ .222

∴ abc.

赵爽的证明课本上也给出了，它不仅仅是单纯的对勾股定理的证明，更体现了我国古人在知识探求上的不懈努力和卓越成就。

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

ab2以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.

把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c

它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

ab221ab1c2

22.∴ 2

∴ abc.

就连美国总统也给出了一种证明，这难道不能说明勾股定理的普遍性么？其中还有一个故事。 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的

平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了上面介绍的简洁的证明方法。

【证法5】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.

∵ AF = AC，AB = AD， K∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 1

2a

∵ ΔFAB的面积等于2，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a.同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形

222222

∴ cab ，即 abc.

欧几里德的经典证明方法！！！！！！！！！！

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【证法6】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC， ∴ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.

22222

2∴ ACBCADDBABAB，即 abc.

即ACADAB.

这个证明非常好啊，郑樑成天和我讲相似三角形，这也是妙处之所在啊！

【证法6】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分

别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.22222

2假设abc，即假设 ACBCAB，则由

ABADBDAB2ABAB==

ABADABBD 22

可知 ACABAD，或者 BCABBD.即 AD：

AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

222

这与作法CD⊥AB矛盾.所以，ACBCAB的假设不能成立.

222

∴ abc.

与上题有异曲同工之妙！

从上面的六种证明里面，我们不难看出：每一种定理都凝聚了前人的努力与智慧，每一种定理都少不了前人对知识的不懈探究，每一种定理都蕴藏了前人独特的智慧……因此我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。

从这一次论文的写作里面，我不仅学到了许多勾股定理的证明方法，扩展了视野，积累了知识，而且更重要的是，明白了严谨、坚持不懈的数学精神，这对我的今后的学习和生活都将有重要的好的影响。

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