一、选择题
1．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac
A．a－b>0
C．(a－b)(a－c)>0B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)
2⇔(a＋c)2－ac
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2
⇔－2a2＋ac＋c2
⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C
2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()
A．2ab－1－ab≤0
a＋b2C.－1－a2b2≤0222a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
答案：D
3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数
解析：“至少有一个”的否定“都不是”．
答案：B
4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()
A．a＞b
C．a＝bB．a＜b D．a≤b
解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A
5．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有
x＋xfx＋fxf()
2A．y＝log2x
C．y＝x2B．y＝x D．y＝x
3解析：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：
x1＋x2fx1＋fx2欲证f 22
x1＋x22x1＋x22即证
即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证．
答案：C
二、填空题
6．(2012·肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bnn＋1－n＝
∴cn随n的增大而减小．
∴cn＋1
7．(2012·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
12解析：若a＝，ba＋b>1， 2
3但a
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
三、解答题
8．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若113，a＋bb＋ca＋b＋c1 n＋1＋n2
2试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
解：A、B、C成等差数列．
证明如下：
∵
∴
∴113＋ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＝3.a＋bb＋cca＋1， a＋bb＋c
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得
a2＋c2－b2ac1cosB＝＝， 2ac2ac
2∵0°
∴A＋C＝2B＝120°.
∴A、B、C成等差数列．
9．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
2(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2
解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋„＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－21－2n
＋„＋2＋1＝＝2n－1.1－2
＋＋nn2因为bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2
＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1) ＋＋＋＋
＝－2n
所以bn·bn＋2
10．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：f(a)＋f(c)>2f(b)．
证明如下：因为a，b，c是不相等的正数， 所以a＋cac.
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.
从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.
因为f(x)＝log2x是增函数，
所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)．
