第2讲 直接证明与间接证明
【2013年高考会这样考】
1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．
2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．
【复习指导】
在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．
基础梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．
(2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→
得到一个明显成立的条件.2．间接证明
一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t
.
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
一个关系 综合法与分析法的关系
分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基
础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
两个防范
题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
证„”“就要证„”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)p＝＋，q＝ma＋nc正数)，则p、q的大小为()．
A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定
解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为mn
madabc＝ab＋cd＝p，当且仅当＝ nm
答案 B
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()．
A．a＞b
C．a＝b
解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.
答案 A
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析 ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．
答案 D
4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．
A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0
解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a＜b D．a≤b
5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．
例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．
答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP
考向一 综合法的应用
a2b2c2【例1】►设a，b，c＞0，证明：a＋b＋c.bca
[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．
证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，
a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca
a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca
当且仅当a＝b＝c时取等号．
a2b2c2即＋a＋b＋c
.bca
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
11【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＞4.ab
1111ba·证明 (a＋b)＝2＋2＋2＝4.ababab
11又a与b不相等．故＞4.ab
考向二 分析法的应用
a＋mb2≤a＋mb.【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m
[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式．
证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.
所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立， 2
2故原不等式得证．
逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b.
a＋ma求证：b＋mb
a＋ma证明 要证明，由于a，b，m都是正数， b＋mb
只需证a(b＋m)＜b(a＋m)，
只需证am＜bm，
由于m＞0，所以，只需证a＜b.
已知a＜b，所以原不等式成立．
(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)
考向三 反证法的应用
【例3】►已知函数f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋
1(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．
[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．
证明 (1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以
x2－2x1＋1－x1－2x2＋13x2－x1＝0， x2＋1x1＋1x2＋1x1＋1
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0， x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
法二 f′(x)＝axln a＋30， x＋1∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
x0－2x0－2(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1
11，即＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．
当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜
用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．
【训练3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行． 证明 假设向量a＋b与a－b平行，
即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，
则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，
1－λ＝0，λ＝1，∴得 1＋λ＝0，λ＝－1，
所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成
立．
规范解答24——怎样用反证法证明问题
【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.
【示例】►(本题满分12分)(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．
[解答示范] 证明 (1)假设l1与l2不相交，
则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)
代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分)
这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分)
y＝k1x＋1，(2)由方程组 y＝k2x－1，
解得交点P的坐标(x，y)为k＋ky＝k－k.21
212x＝，k2－k1 (9分)
22k2＋k12从而2x＋y＝2k－k＋ 21k2－k122
2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1， k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．(12分
)
用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)
必须从否定结论进行推理，
即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
[尝试解答] (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an， 2
11所以{an}是首项为1，公比为an＝－.22
(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，
111－－则，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．
