正确解读教材文本准确把握教学内容

发布时间：2020-03-02 06:43:26 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

正确解读教材文本

准确把握教学内容

——对“方程的根与函数的零点”听课中的几点思考

广利高级中学

姚冠洪

1.问题的缘起

日前，笔者在佛山一中观摩了来自广州广雅中学、佛山一中、云浮邓发纪念中学的名师进行“同课异构”课堂教学，罗增儒教授为三位老师的“方程的根与函数零点”三节课进行精彩而深刻的点评。罗教授对课堂的师生活动、教材处理、备课的素材准备、重点的确定、难点的突破等方面与授课老师进行互动，给在座的老师带来深刻而鲜明的教育。通过观摩三个教师课堂教学，结合自己实践中的教学处理，同时也受到罗教授点评的启发，笔者对这节课进行梳理，作进一步的反思。现在写下对这些问题的思考，以期抛砖引玉。

2关于本节内容在课程中地位和作用的思考

函数与方程是中学数学课程的重要内容，而函数的零点是新课标教材的新增内容之一。教材首先是在学习函数的性质基础上，了解方程的根与函数零点的关系，为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且从不同的角度揭示数与形、方程与函数之间的本质关系，这种联系正是函数与方程思想的理论基础。然后运用数形结合的思想及转化和化归的思想讨论函数零点的存在性，其目的就是通过函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用价值，也为用二分法求方程的近似解做好思想上和知识上的准备，使学生体会函数的零点与方程之间的联系，初步形成用函数的概念、性质和观点去分析问题、转化问题和解决问题的意识。对函数与方程的关系的认识过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。因此，本节课具有承前启后的作用。

函数与方程是初等数学的基础，也是联结初等数学与高等数学的桥梁。函数的零点是为了研究方程的解(根)而产生的概念，它是方程的解(根)在函数视野下的名称。此外，函数与方程还是中学数学重要数学思想方法之一，本节课的一个重要潜在课程目标就是培养学生运用函数的思想去思考解决问题。所以，从方法论的角度看，函数与方程在整个中学数学教学中地位的重要性是不言而喻。

3对教学内容的思考

3.1对于方程f(x)0的理解

对方程f(x)0的理解，我们可以从两个方面去分析。一方面，方程f(x)0与对应函数yf(x)联系，而这正是教材重点揭示的部分；另一方面，将方程f(x)0适当变形为

g(x)h(x)

在同一个直角坐标系中考察两个函数y1g(x)和函数y2h(x)的图像，将研究方程

f(x)0的问题直观地转化为研究函数y1g(x)和函数y2h(x)以及它们之间的相互关系，比如，它们图像的交点的横坐标就是方程g(x)h(x)，即f(x)0的根。而这正是学生从数形结合的角度解决诸如超越方程的根大致所在区间一类问题的常用方法。值得指出的是，由于这种分解为两个函数的变形是随意的，可以把方程f(x)0变形为

函数y1f(x)和函数y20，尽管这样的变形思想方法是对的，但却对利用数形结合解决问题并没有帮助。所以，这里的适当变形是指所变形分解得到的两个函数y1g(x)和y2h(x)都是初等函数，它们的图像是比较容易徒手画出来的，这样的变形分解才是有助于解决此类问题的。

3.2对于方程的根与函数零点的理解

一般地，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．函数yf(x)的零点、方程f(x)0的根、函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，从数值上看，它们是等价的。但从它们的个数上看却是不等价的，即函数yf(x)的零点的个数与它的图像与x轴的交点个数相同，但与方程f(x)0的根的个数并不一定相同。例如，函数yx2x1，它的图像与x轴只有一个公共点（相切），

2它的零点只有一个x1，而与之相应的方程x22x10，我们一般说它有两个相等的实数根x1x21。因此，函数yf(x)的零点、方程f(x)0的根、函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系如图所示。

3.3关于零点存在性定理的理解

函数零点存在性定理是函数在某个区间上存在的零点的充分不必要条件。零点存在性定理指出：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点。但零点的个数需要结

合函数的单调性等性质进行判断。换言之，在满足函数yf(x)在区间[a,b]上连续且满足f(a)f(b)0的条件下，在区间(a,b)内函数yf(x) 的零点可能不止一个。这个问题可以通过变换条件以及数形结合的方式加以辨析。

4关于本节课教学设计的思考

4.1对于教学重点与难点的把握

本节课的教学目标是理解方程的根与函数零点的关系，会求将求方程的根的问题转化为求相应函数的零点的问题，理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数的零点所在的大致区间；通过数形结合的分析解决问题的过程，渗透由特殊到一般的认知规律，培养学生观察、分析、抽象、概括、归纳等方面的认知能力。因此教学的重点是：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理及应用。

4.2关于教学过程设计的处理

本节课主要解决三个问题：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理的理解，判断一个连续函数在某个区间内存在零点的方法，即运用存在性定理确定零点所在的大致区间。关于第一个问题，主要通过具体的方程如一元二次方程来说明方程的跟与相应函数零点的关系；对存在性定理的理解，主要通过数形结合、特例、反例进行准确的把握，至于定理的运用要在具体问题解决的过程进行运用意识的强化。教学路线图如图所示。

4.3几个具体问题的教学处理问题1：课题的引入

一般而言，教学从具体的问题引入比较符合学生的认知规律，比如本节课教材从研究简单一元二次方程问题入手，引出方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标的关系，当中对函数的零点这个新概念呼之欲出。当然，如果学生的基础比较扎实，尽可以弄一个复杂一点的一元二次函数来作为引入课题的问题，如求解方程2015x22016x50这样一个学生熟悉但不容易求解的方程，在困难面前“逼”学生“就犯”：将方程问题向函数问题转换！

问题2：“求函数f(x)lnx2x6的零点个数”这个问题放在何处

求函数f(x)lnx2x6的零点个数，这是本节课要重点解决的问题，是整节课的问题的核心与焦点。由于在学习零点的存在性定理之前这是一个难以解决的问题，是可以产生认知冲突的障碍，所以可以把它作为引入处的探究活动的研究对象，由此引出本节课的内容，在学习了存在性定理后顺理成章地解决问题。当然，本问题作为应用存在性定理解决问题的典型，也可以放置在学习完存在性定理之后呈现。

问题3：存在性定理的理解

教师可以结合图像，诸如以函数f(x)(x2)(x1)(x3)来让学生直观认识函数的零点的概念。为加深理解，教师可以引入如下小问题加以探索讨论：

探求1：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)内没有零点吗？

探求2：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)有零点，但是否只有一个零点？

探求3：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(a)f(b)0，则增加怎样的条件可以确定函数yf(x)在区间(a,b)上只有一个有零点？

探求4：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且函数在区间(a,b)有零点时，一定有f(a)f(b)0吗？

探求5：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像不是一条连续不断的曲线，且函数在区间(a,b)有零点时，一定有f(a)f(b)0吗？

通过这些成系列的问题的探究，对定理的条件与结论都进行了深刻剖析，有助于学生正确认识函数零点的存在性定理。

问题4：作图法在本节课的地位

本节课要向学生渗透数形结合的数学思想，离不开作各种函数的图像，学生也习惯将方程f(x)0适当变形为g(x)h(x)，在同一个直角坐标系上作出两个函数的图像，通过考察函数y1g(x)和y2h(x)的图像来解决相关问题。但本节课方法的定位却不是这种方法，本节课着重培养学生通过函数的角度去思考问题、解决问题的意识与能力。在得出函数零点存在性定理后，应注重通过计算区间端点函数值、比较函数值符号、借用定理进行正确的判断、推断并解决问题，而不是不断重复“作函数图像”的方法，更何况很多的函数的图像是无法徒手作图的。

5关于数学备课的思考

5.1站在学科系统的高度去备课

当前，在备课中一个突出的问题是，过于重视教案及课件，而轻视教材的解读，这实在是舍本逐末，对上好一节课的危害不浅。数学老师对中学数学的整个课程体系要有一个系统的认识，必要时要把这个系统延伸到小学数学课程和大学数学课程。在上课前，尽可能多地占有各种相关的有益素材，站在学科系统的高度，统筹这些素材，这是上好一节数学课的一个重要前提条件。诚如罗增儒教授在点评环节说，他来听课之前查阅20多篇相关的论文、教学设计、微课等，收集了充分的素材。备课，既要备教法、备教学过程，更要备学生、备学法，只有充分备好、备足上课的情况下，才能备好课、上好课，才能更好地评讲一个教学设计的优劣，才能进行更加深刻的教学反思。

5.2关于教学的重点难点

课程的教学重点是由数学的课程目标确定的，是客观存在的，不随主观条件的改变而变化；核心的概念、学科的重要知识、有普遍意义的思想方法等都可以作为教学的重点。教学难点则是随主观条件的改变而变化的，它跟教学的内容的抽象程度、复杂程度等有关，也跟学生的认知能力、学习基础、行为习惯、学习环境等个体因素相关。因此，在教学中要突出重点，围绕课程的目标设置重点，围绕重点内容展开教学，为学生创更合适的条件帮助学生突破难点。

6关于听课的思考

参加数学教研活动，观摩同行的课堂，是我们数学教师最熟悉的日常教研活动方式之一。虽然当前的一些大型公开课颇受诟病，但不可否认的是这些经过个人或者团队精心打磨的课其中必有一些值得借鉴的地方。听课者是否有明确的听课目的，对发现课堂的精彩、对自我发展和自我提升有着重要的影响。只有带着强烈的目的意识去观摩、去感悟同行的教学课堂，对这些公开课展现的教学目标定位、教学的重点难点、教学设计、教学方法、教学活动和教学过程等进行细致观察，并且在听课过程中多问自己几个问题：执教者对教材的文本解读透彻吗？这节课的重点突出了吗？难点突破了吗？关注了课堂生成资源的利用了吗？教学目标达到了吗？关注了学生的学习了吗？关注了学生的思维发展了吗？师生交流是否有效促进了教学？学生学习状态如何？等等。罗增儒教授在听课过程中表现出的细腻，笔者认为值得老师们学习借鉴：课前三两笔画好教室的座位平面图，这是记录师生活动的绝佳二维记录表；听课过程中，仔细划分教学的各个环节，并记上时间进度；记录好哪些学生提出了什么问题、回答了什么问题、进行了哪些展示、对学生的板书及课堂活动的顺序，教师的提问次数、提问的人次、在课室的行走路线位置等进行了简单速记，对精彩之处都作了详细记录。可以说，罗增儒教授对课堂教学的时间和空间进行了全方位的观察，多角度、多层面地思考了数学课堂。如果数学老师都像罗老师那样听课学习，则对个人的专业发展一定是获益良多的。

参考文献

1.人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书必修1.北京：人民教育出版社 2.黄之.深入研读教材，整体把握教学内容[J],中学数学教学参考(上旬)，2014,9