用均值不等式证明不等式

发布时间：2020-03-02 14:01:05 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a

1、a

2、、an 是 n 个正数，则不等式H(a)G(a)A(a)Q(a)称为均值不等式[1]．其中

H(a)

11a

2

1an

，

G(a)

a1a2a1aan，

A(n)

a1a2an

，

Q(n)

a1a2an

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a

1、a

2、

值．

例1设a

1、a

2、…、an均为正，记

(n)n(

a1a2an



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n(

a1a2an



a1a2an)(n1)(

a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，

n1

(a1a2an1)n1，有将G(a)A(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

(a1a2an)n，

即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1

，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题．息找a

1、a

2、

例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3．证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，

所以

I6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用G(a)A(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

I54xyz54(

xyz

2)2(xyz)，

3222

3如果改用下面的方法，用G(a)A(a)，便得

I54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3， 2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a

1、a

2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题．例3设x0，证明：2

2

22

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式．由G(a)A(a)，得

x2

2

22

2

22

，

又

x2

1111

(x12x4)2x6，

即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [M]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[M]．上海：上海科学技术出版社，

1987．38-49

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