勾股定理知识小结
一、知识结构
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b=c ）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
在⊿ABC中，∠C=90 º，则c=ab，b=c-b，a=c-a）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若a+b=c
，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c> a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c﹤a+b，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中a+b=c只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a+ c = b，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形，但是b为斜边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
规律方法指导
1) 勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2）．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3）．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4）.勾股定理的逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法，应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
5）勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
名人堂：众名人带你感
222222222222222222222222222222受他们的驱动人生马云任志强李嘉诚柳传志史玉柱
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
二.知识点回顾
1、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c）
（2） 验证a+b与c是否具有相等关系
（3） 若具有相等关系，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若不具有相等关系 则△ABC不是直角三角形。 22
23、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a+b=c中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41„ （7）前面各组数的整式倍如3n，4n，5n（n是正整数）； ③用含字母的代数式表示n组勾股数：
2n,n-1, n+1（n＞2n为正整数）；例如
8，15，17（第一个数是偶数） 2n+1, 2n+2n, 2n+2n+1（n为正整数） 例如 9, 40, 41（第一个数是奇数） m-n,2mn,m+n（,m﹥nm，n为正整数） 2222222222
24、练习题
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（
）
A.第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（
） A、25
B、14
C、7
D、7或25 3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（
） A、a=1.5，b=2, c=3
B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,
b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(
) A.等边三角形;
B.钝角三角形; C.直角三角形;
D.锐角三角形.
4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是(
) A．4
B．
C.
D． 5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（
） A、24cm2
B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
6、直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，则它的面积为(
)。
A．12
B．6
C．8
D．9 7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（
） A、56
B、48
C、40
D、32 8．Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（
） A、121 B、120
C、90 D、不能确定
9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（
） A、25海里
B、30海里
C、35海里 D、40海里
10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若
小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（
）。
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
12.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为36，64，则以斜边为边长的正方形的面积为__________.13.在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则++=__________.14.一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是__________.15．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其这三个数分别为__________.17.一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处．旗杆折断之前有__________米.18.如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑物的高度是__________m.19.若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的正方形的面积是________.。 20．在△ABC中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m，求△ABC三边的长。
三、勾股定理单元试卷
一、填空题（每小题2分，共24分）
1.如图，在长方形ABCD中，已知BC=10cm，AB=5cm，则对角线BD=
cm。 2.如图，在正方形ABCD中，对角线为2， 则正方形边长为
。
3.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的
。 4.三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是
三角形。
5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行
千米。 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=
，b=
。 7.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为
。
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF=
。
9.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是
。 10.如图，数轴上有两个Rt△ABC、Rt△ABC，OA、OC是斜边，且 OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O为圆心，OA、OC为半径 画弧交x轴于E、F，则E、F分别对应的数是
。
11.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距
海里。
12.所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个自然数。我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数。请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和
组成一组勾股数。
二、选择题（每小题3分，共18分） 13.在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（
）
（A）a2+b2=c2
（B）b2+c2=a2 （C）a2-b2=c2 （D）a2-c2=b2 14.在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（
）
（A）108cm2
（B）90cm2
（C）180cm2
（D）54cm2 15.在直角坐标系中，点P（-2，3）到原点的距离是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2 16.池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（
）
（A）3.75尺
（B）3.25尺
（C）4.25尺
（D）3.5尺
17.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股园方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为
（
）
（A）13
（B）19
（C）25
（D）169 18.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′ （
）
（A）等于1m
（B）小于1m
（C）大于1m
（D）以上都不对
三、解答题（共58分）
19.（8分）如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
20.（8分）三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。
21.（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？ 22.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
23.（10分）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了有刻度的卷尺。
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长30厘米，AB长40厘米，BD长50厘米，则AD边垂直于AB边吗？
24.（8分）观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25
92=40+41...... 这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？ （1）填空：132=
+ （2）请写出你发现的规律。
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。
参考答案
一、填空题
1.5
2.2
3.2倍
4.直角
5.540
6.
12、16 7.5或
8.10
9.12cm≤a≤13cm
10.-、11.30
12.13
二、选择题
13.A
14.D
15.B
16.A
17.C
18.B
三、解答题19.13米20.△ABC一定是直角三角形。理由略。
21.学校需投入7200元购买草皮。22.3cm23.（1）用卷尺分别测量AD、AB、BD的长，然后计算AD2+AB2，看是否与BD2相等，如果相等，则△ABC是直角三角形，AD⊥AB；否则不是直角三角形，
DA不垂直AB，同理，可判断BC与AB是否垂直。 （2）∵AD2+AB2=302+402=502=BD2 ∴∠DAB=90°
∴AD边垂直AB边 24.（1）132=84+85 （2）任意一个大于1的奇数的平方可拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数。
（3）略
