第一章
证明
（二）
2．直角三角形
（二）
一、学生知识状况分析
学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是： 1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标：
①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
②初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．情感与价值观要求
①积极参与数学活动，对数学有好奇心
②形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 4．教学重点及难点 HL定理的推导及应用
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问质疑；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：．课时小结；第六环节：课后作业。
第一环节：提问质疑
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．
要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C， ∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．
也有学生认同上述的证明。
教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。
第二环节：引入新课
1．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A\' B\' C\'中，A\' C\' =A\'C\'=A\'B\'2一B\'C\'2 (勾股定理)．
2
2AA\'BCB\'C\'
AB=A\'B\'，BC=B\'C\'，AC=A\'C\'． ∴Rt△ABC≌Rt△A\'B\'C\' (SSS)． 教师用多媒体演示：
定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的．
练习活动：利用投影打出题目判断对错，让学生说明理由。
活动目的：让学生辨析一个命题的真假不是靠感觉而是
AD12BEC依赖于原有的定理或公理。要经过很好的理性思考之后才能判断对错。
活动过程如下：
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．
已知：R△ABC和Rt△A\'B \' C\'，∠C=∠C\'=90°，BC=B\'C\'，BD、B\'D\'分别是AC、A\'C\'边上的中线且BD—B\'D\' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A\'B\'C\'． 证明：在Rt△BDC和Rt△B\'D\'C\'中， ∵BD=B\'D\',BC=B\'C\', ∴Rt△BDC≌Rt△B \'D \'C \' (HL定理)． CD=C\'D\'．
又∵AC=2CD，A \'C \'=2C \'D \'，∴AC=A\'C\'． ∴在Rt△ABC和Rt△A \'B \'C \'中， ∵BC=B\'C \'，∠C=∠C \'=90°，AC=A\'C \'，
BCB\'C\'ADA\'D\'
∴Rt△ABC≌CORt△A\'B\'C(SAS)．
活动效果及注意事项:通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。这样的评价活动的效果估计应该是更好一些。
第三环节：做一做
问题
你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．
学生完成的实况如下：
[生]用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．
[师]同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗?也就是说，你能证明OP就是∠AOB平分线吗? [生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA， NP上OB，M、N分别为垂足．
求证：∠AOP=∠BOP．
证明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB， ∴∠OMP= ∠ NP=90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∵OP=OP，OM=ON.∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．
∠AOP=∠ZBOP(全等三角形的对应角相等)．
第四环节：议一议
如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．
这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
ONBMPA
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战) 学生完成的实况如下：
[生]观察图形不难发现.在Rt△ACB和Rt△BDA中，除么∠ACB=∠BDA=90°外，它们有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边．从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．
[生]还可以将BC、AD的交点设为O，若OA=OB，则△ACB≌△BDA．
[师]第一位同学的想法思路清晰明了，第二位同学敢打破常规思路．独辟蹊径，并且很有见地．请同学们思考，第二位同学添加的条件可以吗?若可以，请同学们推导证明；若不可以，说明理由．
[生]我认为可以，我是这样推导出来的．
已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°, 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)， ∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD．又∵AB=AB， ∴△ACB≌△BDA(HL定理)．
[生]我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．
[师]请同学们思考这样做可以吗? [生]我认为可以．推导过程如下：
已知：如上图，∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD． 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在△AOC和△BOD中
∵∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD，∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， ∴△AOC≌△BOD(ASA)． ∴AC=BD(全等三角形对应边相等)
CODAB
在△ACB和△BDA中，
∵AB=AB，AC=BD，∠ACB=∠BDA， ∴△ACB≌BDA(HL定理)．
[生]我又有一种想法，若添加∠CAD=∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA吗? [生]我认为不可以，因为添“∠CAD=∠DBC”，则在△AOC和△BOD中，有三个内角对应相等，不能证明△AOC≌△BOD，也就不能获得△ACB和△BDA全等的条件．
[师]同学们分析得很透彻，由此我们得到了六种不同的答案．例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等．
下面我们再来看一例题．
[例题]如图，在△ABC≌△A\'B\'C\'中，CD，C\'D\'分别分别是高，并且AC＝A\'C\'，CD=C\'D\'．∠ACB=∠A\'C\'B\'．
求证：△ABC≌△A\'B\'C\'．
分析：要证△ABC≌△A\'B\'C\'，由已知中找到条件：一组边
AC=A\'C\'，一组角
ADBA\'D\'B\'CC\'∠ACB=∠A\'C\'B\'．如果寻求∠A=∠A\'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B\'，这样就有AAS；还可寻求BC=B\'C\'，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C\'D\'是三角形的高，CD=C\'D\'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A\'D\'C\'，因此证明∠A=∠A\' 就可行．
证明：∵CD、C\'D\'分别是△ABC△A\'B\'C\'的高(已知)， ∴∠ADC=∠A\'D\'C\'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A\'D\'C\'中， AC=A\'C\'(已知)， CD=C\'D\' (已知)，
∴Rt△ADC≌Rt△A\'D\'C\' (HL)． ∠A=∠A\'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A\'B\'C\'中， ∠A=∠A\' (已证)， AC=A\'C\' (已知)，
∠ACB=∠A\'C\'B\' (已知)， ∴△ABC≌△A\'B\'C\' (ASA)．
第五环节：课时小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．
第六环节：课后作业
习题1．5第
1、2题
四、教学反思
本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。
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