导数教学设计（精选多篇）

推荐第1篇：导数零点教学设计

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数fxx22x3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案 函数零点的等价转化：

1、函数yfx的零点方程fx0的根函数yfx的图象与x轴 （即y0）交点的横坐标。

2、推广：函数hxfxgx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数hxxlnx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数fxx3x1，求fx的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y1，y3，y2，y4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与ym有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

1

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程fxm0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ gxfxm___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答， 此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。 达标训练

1、

32已知函数fxx3x1，若直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象在1,3上有三个不同交点，求实数m的取值范围。2设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题 达标训练

2、已知函数fx

1312xx2x，若关于x的方程 322

1fxx32x2xm0在区间,2上恰有两不等实根，求实数m的范围。

2设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法 由学生自己完成，教师给予适当引导

三、拓展延伸：

已知函数fxx28x与函数gx6lnxm的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的总结，也能拓展学生思维，开拓学生的视野，完善学生的思维方法。

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成

四、小结归纳、

（1） 数形结合的思想

（2） 函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：

推荐第2篇：导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。 (二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角） xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点M处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角） limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f\'(x0)。

即 f\'(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f\'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f\'(x0)limx0xxx0f\'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim （0x） xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f\'(x0)。

左导数

f\'(x0)ylim。 x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f\'(x0)存在f\'(x0)，f\'(x0)都存在，且f\'(x0)=f\'(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f\'(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

\'f(x)f(x) f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f\'(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1 ，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为 ( A ) x2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f\'(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1) (2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim (4) lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。 2

推荐第3篇：常用函数的导数教学设计

几个常用函数的导数教学设计

一、课题引入

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数 知识点

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0 xxxylim00 所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1 因为xxxylim11 所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么? （2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？ （3）函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为 xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数yf(x)21的导数 x11yf(xx)f(x)xxx因为 xxxx(xx)12

x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1练习作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以ylim线方程

5．函数yfxx的导数

xxx

x因为yf(xx)fxxx

=xxxxxxx1xxx xxx

=所以ylimy11 limx0xx0xxx2xnn16.推广：若fxxnQ，则f(x)nx

练习求下列函数的导数

（1）yx3（2）y1 x2（3）y三．例题讲解 3x（4）yx2x

3例1．曲线yx上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求，则 它的切线斜率为k3， ∵f(x)3x， ∴3x03，x01， ∴P(1,1)或P(1,1)．

例2．证明：曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由xy1，得y∴y()221， x1x1， x2

∴kf(x0)1， 2x0过点P(x0,y0)的切线方程为

yy01(xx0)，

2x02， x0令x0得y令y0得x2x0，

∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

S122x02是一个常数． 2x0四．课时小结

C0，xn

五、作业 nxnQ n

1六、板书设计

七、教学反思

推荐第4篇：3．2 导数的计算 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知识与技能

1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题． 2.能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数． 过程与方法

使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式． 情感、态度与价值观

通过本节的学习进一步体会导数与其他知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．

2. 教学重点/难点

教学重点

用定义法求常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式 教学难点

会用基本初等函数的导数公式解决简单的实际问题

3. 教学用具

多媒体

4. 标签

教学过程

教学过程设计

1、温故知新、引入课题

【师】求函数在点xo处的导数的方法

【师】导函数的概念? 当x=x0时, f'（x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

【师】如何求函数y=f(x)的导数?

【设计意图】复习函数在x0处的导数，和导函数的区别与联系，求导函数的方法和步骤，为学习新课打下基础，自然的进入课题内容。

2、新知探究 【合作探究】

根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.探究1 函数y=f(x)=c的导数.【师】根据导数定义，因为

所以

y'=0表示函数y=c图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

【活动】师生共同完成

y'=1表示函数y=x图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

【活动】一生口述老师完成 探究3.y=f(x)=x2的导数

y'-=2x 表示函数y=x2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数y=x2增加得越来越快．若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

【板演/PPT】

【活动】学生讨论自主完成。

根据经验我们知道，应该能够把分母上的约去才行（因为取极限时，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：

【总结提升】

你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？

[2]基本初等函数的导数公式

【师】为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表。

【典例精讲】

例1.求下列函数的导函数：

【小结】

1．应用导数的定义是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度．

2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程． 3．根式、分式求导时，先将其转化为指数式的形式． 【变式训练】求下列函数的导数．

例2.若曲线积为18，求a的值． 【解析】

处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

所以切线方程为

易得切线在x轴、y轴上的截距分别为

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键．

【变式训练】已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程． 【解】 由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4， 联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2， ∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4， ∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.例2．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价P单位：元） 与时间t（单位：年）有如下函数关系

，其中P0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系

的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有所以

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 【变式练习】如果上式中某种商品的p0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：当p0=5时，

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有所以因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨． 当堂训练

1.下列各式正确的是

（

）

2.下列各式正确的是

（

）。

3.f(x)=80，则f ' (x)=______.

5.求双曲线在点处的切线方程．

6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． 【参考答案】 1.C 2.D 3.0 4.ex e 5.解析：∵

∴

∴切线方程为即：x＋4y－4=0

6.解析：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， 所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，

曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)， 所以4a＋2b＋c＝－1.由

解得

所以a、b、c的值分别为

3、－

11、9.

课堂小结 1.求常用函数的导数.2.基本初等函数的导数公式 1.若f(x)=c,则f′(x)= 0

； 2.若f(x)=xa (a∈Q*),则f′(x) = axa-1； 3.若f(x)=sinx,则f′(x) = cosx ； 4.若f(x)= cosx,则f′(x) = -sinx ； 5.若f(x)=ax,则f′(x) = axlna(a>0) ； 6.若f(x)=ex,则f′(x)=ex; 7.若f(x)=logax,则(a>0,且a≠1); 8.若f(x)=lnx,则

课后习题 【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P18习题1.2 A组1,2,3.

板书

推荐第5篇：1.2导数的计算 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

（1）用导数定义,求函数的导数.（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.（3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识.2. 教学重点/难点

【教学重点】：

能用导数定义,求函数的导数.【教学难点】：

能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.3. 教学用具

多媒体

4. 标签

1.2.1几个常见函数的导数

教学过程

课堂小结

推荐第6篇：导数教学经验交流（推荐）

“整体建构”下导数教学

如果说高中数学是一座山峰，需要每个学子去攀登，那么导数无疑是阻碍在前方的悬崖峭壁之一，既充满挑战，又让许多同学望而却步。退却等于失败，而攀上峭壁更是一段坎坷的旅程。幸好，让学生攀上陡崖的梯子出现了整体建构和谐教学理论。从而学生们的艰难与迷

如果说高中数学是一座山峰，需要每个学子去攀登

，那么导数无疑是阻碍在前方的悬崖峭壁之一，既充满挑战，又让许多同学望而却步。退却等于失败，而攀上峭壁更是一段坎坷的旅程。幸好，让学生攀上陡崖的梯子出现了——“整体建构和谐教学”理论。从而学生们的艰难与迷惑都消失了，取而代之的是成功的喜悦与自豪。

求函数切线的方程，运用几何法，需作图、描点、连线等一系列繁琐的步骤。不仅易出错，而且学生花费的时间还长，万一到某一步没思路了，又得重新整理思路，可以说是事倍功半。其实该知识点也不过是“y=kx+b”的变化之一，运用导数求解就简单的多了。

在几何意义上，某点的导数就是函数曲线在该点的切线斜率，按部就班地根据求导的方法步骤，轻而易举地就能将导数，也就是k计算出来，再利用两点式直线方程解决切线方程问题。用导数求解的准确率、效率都比较高，且思路清晰。从前我教的学生中，在这个方面总是听到同学们抱怨之声，导数难学，导数难学……而现在这一届学生中，这样的声音越来越少了。

其实，每个学生都是聪明的。之所以认为导数难学，只不过是没有整理好关于导数的知识脉络罢了。而“整体建构”恰恰就是解决这一问题的很实用的工具，它引导着学生们将导数的知识连接成有条理的脉络，让学生在脑海中总结出属于自己的解题思路方法。有了明确的解题框架模式，学生们还会害怕遇到没思路的题吗？所谓“万变不离其宗”，解开了一道题，那它背后的千万道题，也只不过是“母题”的延伸罢了。运用“整体建构”理论分析一下，不就是练习无数遍的某一数学模式吗？如此反复强化，虽然不会达到让每个学生都成为“战无不胜，攻无不取”的解题高手的程度，但必将会提高学生的综合分析问题和解决问题的能力。

有人说，每个老师都喜欢教“好”学生，但“好”学生到底是什么样的学生，又有什么样的标准？我们认为某些学生是“差”生之时，是否学生也正在用同样的标准定位我们是“差”师？所谓的“差”生，只不过是他们有时找不到适合自己的学习方法罢了。利用“整体建构”理论执教导数，让枯燥难懂的概念变的通俗易懂了，有时不过几分钟的时间，同学们就可以条理清晰地解答出一道高考题，对此，我很欣慰。

在“整体建构”春风的吹拂下，“知识树”生长得越来越繁茂，“通用工具”被更多的学生所熟知和掌握，他们将会不断超越自己，去攀登未来人生的最高峰。

推荐第7篇：1.1变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念

（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解 教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

3. 教学用具

多媒体、板书

4. 标签

教学过程

一、创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究 [1]变化率问题 【合作探究】 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【板演/PPT】 【活动】 【分析】

当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）

【板演/PPT】 【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。 【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

探究3 计算运动员在

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:（1）运动员在这段时间里是静止的吗? （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【板演/PPT】 【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率意义是什么？

的几何

【提示】：直线AB的斜率 【生】学生结合图象思考问题 【设计意图】问题的目的是： ① 让学生加深对平均变化率的理解； ② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ ③培养学生数形结合的能力。 [2]导数的概念 探究1 何为瞬时速度 【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】

我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作

或,【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: [3]例题讲解

例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) .计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.[4]本节课知识总结 1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1) （2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) （2）求平均速度（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) （2）)平均变化率（3）求极限

三、复习总结和作业布置 [1] 课堂练习

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为 ( ) A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

课堂练习【参考答案】 1.D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.2.B 解析：3.解析：

4.解析：

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P.10习题1.1 A组1,2,3,4.

推荐第8篇：3．1 变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知识与技能

1.理解平均变化率的概念.2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.3.理解导数的概念

4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率.过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．

情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

2. 教学重点/难点

教学重点

平均变化率的概念． 教学难点

平均变化率概念的形成过程．

3. 教学用具

多媒体、板书

4. 标签

教学过程

教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【分析】

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2） 当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为 0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。 【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1） 运动员在这段时间里是静止的吗? （2） 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率

的几何意义是什么？

【提示】：直线AB的斜率 【设计意图】问题的目的是：

①

让学生加深对平均变化率的理解； ②

为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ 培养学生数形结合的能力。 2.导数的概念

探究1 何为瞬时速度2.【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】 我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。 探究3: （1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地，函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数,

记作

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1.求函数的改变量2.求平均变化率

3.求值

【典例精讲】

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:

)为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) .计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

根据导数的定义,

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.例2.求函数处的导数．

【小结】

1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．

2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法． 【变式训练】

用定义求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数．

【当堂训练】

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为 ( ) A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0) 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( ) A．4

B．4.1 C．0.41

D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

【参考答案】 1.D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.2.B

【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P.10习题1.1 A组1,2,3,4.

课堂小结

1、函数的平均变化率

2、求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1) （2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) （2）求平均速度

（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) （2）求平均变化率

（3）求极限

课后习题

课本 P10习题1.1 A组1,2,3,4.

板书

推荐第9篇：1.1变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点

【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具

多媒体

4. 标签

变化率与导数

教学过程

课堂小结

课后习题

推荐第10篇：高考导数

2014高考导数汇编

bex1

（全国新课标I卷，21）设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的xx

切线方程为ye(x1)2

（I）求a,b；

（II）证明：f(x)1

（全国新课标II卷，21）已知函数f(x)exex2x

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值； （III）已知1.414221.4143，估计㏑2的近似值（精确到0.001） （福建卷，20）已知函数f(x)exax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为-1

（I）求a的值及函数f(x)的极值；

（II）证明：当x0时，xe；

（III）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0,)时，恒有xce

23（安徽卷，18）设函数f(x)1(1a)xxx，其中a0 2x2x

（I）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（II）当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值

（广东卷，21）设函数f(x)1

(x2xk)2(x2xk)3222,其中k2

（I）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；

（II）讨论函数f(x)在D上的单调性；

（III）若k6，求D上满足条件f(x)f(1)的集合（用区间表示）

第11篇：导数证明题

题目：已知x＞1，证明x＞ln（1+x）。

题型：

分值：

难度：

考点：

解题思路：令f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，根据它的导数的符号可得函数f(x)在

1)=1-ln2>0，从(1,+ )上的单调性，再根据函数的单调性得到函数f(x)>f(

而证得不等式．

解析：解：设f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，\\f¢(x)=1-1x， =1+x1+x

又x>(x)>0，\\f(x)=x-ln(1+x)在(1,+ )上单调递增， 1，\\f¢

\\f(x)>f(1)=1-ln2>0，即x-ln(1+x)>0，\\x>ln(1+x).

答案：略.点拨：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，对数类型的函数的求导法则以及构造函数法.本题的关键是构造出函数

证明题常用的一种方法.

f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，构造函数法是

第12篇：一.导数的应用教学反思

一、学习目标

1、知识与技能（1）掌握利用导数研究函数的单调性、极值、闭区间上的最值的方法步骤。

（2）初步学会应用导数解决与函数有关的综合问题。

2、过程与方法

体验运用导数研究函数的工具性，经历运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法解决有关函数问题的过程。

3、情感态度与价值观

培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点、难点

重点：应用导数解决与函数的单调性、极值、最值，零点等有关的问题。 难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以及应用导数解决与函数有关的综合问题。

三、学习过程 １．知识梳理：

函数的单调性与导数

（１）设函数 y=f(x)在某区间可导,

若f ´(x)>0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)

（２）函数 y=f(x)在某区间可导，f ´(x)>0（f ´(x)

函数的极值与导数

（１） 函数f(x)在点

附近有定义，

如果对

附近的所有点都有f(x)

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

如果对

附近的所有点都有f(x)>f(

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

求函数y=f(x)的极值的方法是 当f ´( ) =0时，

如果在 x0 附近的左侧f ´(x) >0,右侧 f ´(x)

)是___________．

如果 附近的左侧f ´(x) 0,那么f(

)是______________． （２）f ´(x)=0是函数 y=f(x)在 处取得极值的_______________条件.

函数的最值与导数

函数f(x)在［a,b］内连续，f(x)在（a,b）内可导，则函数f(x)在［a,b］内的最值是求f(x)在（a,b）内的极值后，将f(x)的各极值与___________比较，其中最大的一个是_________,最小的一个是__________.

师生活动：学生课前自主探究，课上教师点评。

[设计意图]：知识梳理,辨识易错点，帮助学生形成良好的认知结构。 2.自主探究，成果展示

问题

1、求下列函数的单调区间 （1）.㏑x （2）

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数单调性的方法与解题步骤，这类问题容易忽略函数的定义域; 单调区间的规范定写法（不用“ ∪ ”）以及使导数为零的点的处理（导数大于零是函数为增函数的充分不必要条件），因此针对以上可能出现的问题，首先让学生独立思考，针对出现的问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整的解决

问题

2、已知 在R上是单调减函数，求 的取值范围。

变式1 若函数f(x)= x³-3ax+2的单调递减区间为(0,2)，求实数a的取值范围； 变式2 若函数f(x)= x³-3ax+2在区间(0,2)上单调递减，求实数a的取值范围.[设计意图]：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查，“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给的区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给的区间是恰好是函数的单调区间，因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯。

问题

3、已知函数f(x)=x³-ax²-bx+ 在x=1处有极值10， （1）求a、b的值;

（2）函数f(x)是否还有其它极值？ （3）求函数f(x)在区间[-1，4]上的最值。

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数极值、最值的方法与解题步骤，导数为零是函数有极值的非充分非必要条件。首先让学生独立思考，此题很多同学可能求出a、b的值后忘记检验，针对出现的问题，通过学生讨论，争论，教师讲评，达到对问题的共识。

问题4、试讨论函数f(x)=x³-6x²+9x-10-a(a ∈R)零点的个数

[设计意图]：此题旨在培养学生运用导数解决与函数有关的综合问题。函数、方程、不等式是相互联系不可分割的一个整体，导数作为研究函数的一种工具，必然也是研究方程、不等式的工具，讨论函数零点的个数也是利用导数求函数极值深层次的应用，应让学生细心体会，并能灵活运用。

问题

5、已知函数f(x)=x³- x²-2x+5当x ∈[-1，2]时，f(x)

变式：（1）若将f(x)m呢？

（3）若将f(x)

（4）若将当x ∈[-1，2]时，f(x)

[设计意图]：运用导数研究与函数有关的恒成立问题也是利用导数求函数极值深层次的应用，是非常重要的一种题型，在高考题中经常出现，对培养学生的思维能力及解决综合题的能力很有帮助。

3、当堂检测、巩固落实

（1）、函数f(x)= 3x³-x+1的极值为_________________________ （2）函数f(x)=㏑x-ax(a>0)的单调增区间为_________________________ （3）函数f(x)=x³-6x²+9x-10零点的个数为________________________ （4）已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[ -3, 3 ],上的最大值为M最小值为m则M-m=______

（5）已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx 在x=1处存在极小值-1，求a、b的值，并求f(x)的单调区间

（6）已知函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 在x=- 与x=1时都取得极值． ⑴ 求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

⑵ 若对x  [ -1, 2 ],不等式 f(x)

[设计意图]：强化训练，巩固所学知识。

四、小结与反思

通过本节课的学习你学到了哪些知识？

掌握了那些数学思想方法？

你认为解题中易出错的地方在哪里？

五、作业 P31第2T,6T.

六、课后反思_______________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

[设计理念]：体现“生本”理念， 从学生的已有经验出发设计问题，让学生经历知识的发生发展过程，在合作交流中形成能力，增长智慧。

[设计亮点]：根据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，针对在利用导数解决函数的单调性、极值、最值等问题和解题中常见的错误设计一系列的“变式”问题，环环相接，使学生始终处于积极的思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。

[设计中遇到的问题及解决办法] 在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上述问题，本文在设计中选取了有利于学生能力形成的核心知识，通过变式整合知识，从而达到提高课堂教学效率的目的。

[教学效果] 课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和能力的提升，课堂教学效果良好。

[教后反思]：

本节课围绕“核心”知识点及学生的易错点设计、变换问题，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新课改的课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体，也突出了数学复习课的特点：梳理知识，强化应用。本设计中的问题对中上等的的同学比较适合，对部分学困生学起来有一定的难度，尤待进一步改进。

第13篇：导数及其应用单元教学反思

导数及其应用单元教学反思

何海东

本单元共分四节内容，分别是变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用和生活中的优化问题。

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个典型实例，引导学生经历平均变化率到瞬时变化率的过程，从而理解导数概念的本质――导数就是瞬时变化率。同时，借助函数图象的直观性，阐明了图象的割线与函数平均变化率的关系，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系――切线的几何意义。这里一定要让学生理解“无限逼近”的数学思想，即极限思想，这一思想的处理方法和原教材有很大区别，原教材是在讲了数列极限和函数极限之后才讲切线思想的，本教材只把极限这一数学思想直接拿来应用，虽是对这一思想的淡化，学生理解上有一定困难，教学时要把握好度，不宜引的过深，充分理解教材的意图，我个人认为教材这样做恰好体现了新课改理念之一，即时效性和应用性。

关于导数运算问题，教课书通过导数的定义，推导了常见的幂函数及其变形形式的导数，即f(x)ax的导数，目的是为了让学生进一步理解导数的概念，教学时要引导学生熟练掌握，并在课堂上给学生一定的自主性，让学生亲自经历这一奇妙的变化，使学生掌握知识的同时享受“数学美”。为了使学生能用基本初等函数的导数的导数公式与运算法则求简单函数的导数，教材在直接给出导数公式及运算法则后，安排了大量的例题和练习题，学生通过例题和习题的模仿、操作，达到熟练掌握。这里要给学生一定自主学习时间，老师只作适当引导，不必花时间去大讲特讲。其它初等函数的导数公式也可以通过导数定义推导而得，但教材不作要求，教学时要准确把握，不要偏移重心，影响教学效果。

复合函数的导数，教学重点应放在引导学生理解简单复合函数的复合过程，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数过程，并知道复合过程中的自变量、困变量及中间变量分别是什么，复合函数结构分析是教学难点，我个人觉得教学时多分析几个例题，但不必介绍复合函数的严格定义。不论是例题还是习题，教学参考明确要求只会求形如f(axb)的函数的导数即可，老师一定要做到这一点，不必作过多的引申。

利用导数研究函数的单调性、极值和最值一节，一定要让学生先通过函数图象的直观性，感悟切线斜率变化和函数单调性之关系，还要通过导数变化快慢反映函数图象的“陡峭”和“平缓”，借助数形结合数学思想，让学生从感性认识上升到理性认识，同时还要注意以下几点：（1）、函数f(x)必须在xx0处及其附近有定义，这里的“附近”理解要给学生讲明，它是数学意义上的“附近”，是“趋部”的；（2）、函数f(x)必须在xx0处及其附近连续；（3）导函数f\'(x)必须在xx0处及其附近连续。只有讲清这几点，才能通过f\'(x)的值的连续变化过程得到f\'(x0)0。本节的教学重点是利用导数求函数的单调区间，要让学生熟练掌握。这里关于“函数f(x)必须在xx0处及其附近连续”中的“连续”，教材只要求学生根据图象直观地理解成“函数图象在xx0处及其附近“不断””即可，不必对函数的连续概念引入，增加学生负担，当然，对基础较好的学生可以适当挖掘教材。函数的极值是“趋部”概念，讲解时只要说清即可，同时让学生知道“极小值不一定小于极大值”和“f\'(x0)0是函数取得极值的必要条件”，会求函数极值的方法是教学中心。而函数最值是函数f(x)在a,b上的整体性概念，讲明这一点学生就会求函数的最值，让学生自主学习效果会更好些。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等问题，这些问题在数学中称为优化问题，有时也称最值问题。解决这些问题有非常现实意义，这些常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就是自然动脑筋然的了。本节优化问题在处理方法上与旧教材有很大区别，旧教材在处理这些优化问题的方法是直接给出题目，然后给出解答的模式，而本教材改变了问题的呈现方式，先给出一些背景性问题，让学生先充分了解背景，使背景和生活经验联系起来，再从生活经验的角度思考看如何看待本题，在生活经验和背景熟悉的基础上，逐步引入到数学问题中，通过学生的数学思维过程，展开问题、解决问题，之后，再给学生引导一些有思维价值的思考题目，作为例题的延续。在分析问题和解决问题的过程中，要让学生亲身体会数学建模的过程，逐步培养学生主动发现问题、分析问题和解决问题的能力，从而使学生有应用数学的意识。本节的难点在于数学建模过程和分析求导数的实际意义，为什么要求导，一定要给学生分析清楚。

通过本单元教学，和旧教材做以比较，我体会到本单元在内容编排上，始终体现了时代性、基础性、典型性和可接受性，其特征有：

（1）、教材以生动活泼的呈现方式，激发学生学习兴趣，让学生在学习的同时享受美的感受，引发学生激情。 教材以学生非常熟悉的例子为背景，用生动活泼的语言，创设情境能够体现数学的概念、结论、数学思想和数学方法，使学生产生亲切感，引发学生“看个究竟”，从而自主地兴趣盎然地投入学习。

（2）、教材以恰当地问题引导学生进行数学活动，培养学生的问题意识。

教材在知识形成过程的关键点上和运用数学思想方法产生解决问题的策略上，通过 学生的观察、思考、探究等方法，使学生既有感性认识，又有实践操作，进而上升到理性认识，并对学生的数学思维有适当地启发，通过引导学生观察、思考、探究，使他们经历了观察、实验、猜想、交流、推理、反思等理性思维的过程，培养学生的问题意识，既激发了学生学习兴趣，又改变了学生的学习方式，更掌握了一定的数学知识和基本处理问题的能力。

（3）、强调数学思想方法的应用，提高学生数学思维能力。

教材始终利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，采用不同的背景联系和启发方式，培养学生数学思想方法的应用和思考问题的方式，提高学生的数学思维能力和创新精神。在知识处理的手段上，采用从特殊到一般，从观察到实践，从猜想到探究，从感性到理性，从数到形，让学生充分体会到数学探索活动的基本规律，感受数学知识产生过程，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学推理和探究，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性和规律。

（4）、具有时代性和创新性。

教材在素材的选取上和情境创设上，体现了时代性和创新性，教学实例都是学生非常熟悉的例子，既贴近生活，又有亲切感，引发学生激情，引导学生通过自己的数学活动，结合数形结合、类比、归纳、极限、转化等数学思想，从事物中抽取“数”与“形”的属性，从事物的现象中找出其共性和本质内涵，进而抽象概括出数学概念和数学结论。充分让学生经历数学的发展和创造过程，了解知识的“来龙去脉”，体现现代社会生活和建设特征。教材还通过观察与实践，猜想与证明，阅读与思考，探索与发现，信息技术应用等手段，为学生提供丰富的思想性，实践性，创新性和挑战性，拓展学生的数学活动空间，发展学生做数学和用数学的意识，给学生自主学习、合作学习和探究学习提供了应有的场所和环境，充分体现了新课程改革的基本理念。

第14篇：利用导数比较大小(教学反思)

利用导数比较大小（教学反思）

本节课重点探讨了构造函数，利用导数及函数的单调性求函数最值比较大小的方法，旨在解决比较函数大小，证明不等式，讨论两函数图像关系等问题。由于本节课的教学对像是高三文科平行班的学生，他们的计算能力，分析问题的能力都很薄弱，要求学生在高考中遇到导数大题时尽量拿到第一个问的分，因而每个例题及练习的难度都适中。本节课共有五个教学环节，下面分四个方面进行反思。

一、备课

虽然准备了很久，但在一些细节上还是存在疏忽。比如对与例1的提法上改为：当x(1,)时，比较ln(1x)与x的大小关系。这样更清晰明了。

二、引入

本节课是以一个例题进行引入，忽略了学生基础薄弱这一特点。应先复习导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值（极值）等知识，这样大部分学生在解题过程可能会轻松一些。

三、例题练习。

例题的设计形式多样，但都体现了利用导数比较大小这一中心主题，能让学生从多个角度体会本节课的作用。在讲解每一个例题之前都要给学生足够的时间思考，从而引导学生分析问题，进而自行解决例题。充分体现了以学生为主，老师做引导的教学规律。并叫学生板演，及时指出学生存在的问题，能让学生充分吸收、消化本节课的主要内容。但是这样有些费时，导致了本节课没有很好的掌握时间，拖堂了4分钟。以后上课中要找准切入点，让课堂更高效、更省时。

四、小结

在上课时应该留足够的时间引导学生进行小节。培养学生口头表达能力以及归纳概括能力。避免小结成为课堂教学的走过场，真正实现小结的画龙点晴的作用。由于本节课在时间的控制上做得不好，只由老师经行了简单的总结，而没有让学生发挥，小结没有做到位。

在以后的教学中要多听老教师的课，学习他们精湛的教学方法。磨练自己掌控整个课堂教学的能力。在课堂上对学生的评价要及时与准确，更为重要的是情感上的鼓励与认同，并且也可以上学生对这节课进行评价与自我评价。例如在整节课讲完之后，让学生阐述自己所认为的难点，用与发现学生不清处的问题和知识。也可以及时发现自己在教学过程中的不足。高三数学总复习中，内容多，范围广，题量大，善于总结和反思对学生的学和老师的教都颇有益处。不足之处请各位老师多批评指导。

第15篇：“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

1教学预设

1.1教学标准

（1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性；

（2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；

（3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值；

（4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率.

1.2标准解析

1.21内容解析

本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.

教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率.

1.22学情诊断

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生是在充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数的起始课学习过程，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，必能激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.

教学难点如何从两个具体的实例归纳总结出函数平均变化率的概念，对生活现象作出数学解释.

1.23教学对策

本节作为导数的起始课，同时也是个概念课，如何自然引入导数的概念是至关重要的.为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等.

①在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.

②通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律.

1.24教学流程设置情境→提出问题→知识迁移→概括小结→课后延伸

2教学简录

2.1创设情境，引入课题

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：（课件演示相关问题情境）

（1）已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

（2）求曲线的切线；

（3）求已知函数的最大值与最小值；

（4）求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

评析充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣.

2.2提出问题，探求新知

问题1气球膨胀率（课件演示“吹气球”）

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是V（r）=43πr3；

如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=33V4π.

师：当V从0增加到1时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.

师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/L）.

师：当V从1增加到2时，气球半径增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.

师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/L）.

师：非常好！可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

归纳到一般情形，当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

生：r（V2）-r（V1）V2-V1.

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.

评析通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习氛围，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师.

问题2高台跳水（观看多媒体视频）

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？

师：请同学们分组，思考计算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.

生：（第一组）在0≤t≤0.5这段时间里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二组）在1≤t≤2这段时间里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对第（2）小题的答案说明其物理意义.

评析高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率――运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰.通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景.

师：（探究）计算运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

（1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）.

评析通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法.

（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上；

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态.

思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时，运动员的平均速度是多少？

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.通过引导，使学生逐步归纳出问题

1、2的共性.

评析把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，同时为归纳函数平均变化率概念作铺垫.

2.3知识迁移，把握本质

（1）上述问题中的变化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率.

（2）若设Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）.（这里Δx看作是对于x1的一个“增量”，可用x1+Δx代替x2）.

（3）则平均变化率为ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+Δx）-f（x1）Δx.

思考：观察函数f（x）的图象，平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲线y=f（x）上两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率（割线的斜率）.

生：（补充）平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），即在某个区间上曲线陡峭的程度.

师：两位同学回答得非常好！那么，计算平均变化率的步骤是什么？

生：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δy=f（x2）-f（x1）；③求平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1.

评析通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想.为进一步加深理解变化率与导数作好铺垫.

2.4知识应用，提高能力

例1已知函数f（x）=-x2+x图象上的一点A（-1，-2）及临近一点B（-1+Δx，-2+Δy），则ΔyΔx=.

例2求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

2.5课堂练习，自我检测

（1）质点运动规律为s=t2+3，则在时间（3，3+Δt）中相应的平均速度为.

（2）物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作运动，求在4s附近的平均变化率.

（3）过曲线f（x）=x3上两点P（1，1）和P′（1+Δx，1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

评析概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律.

2.6课堂小结，知识再现

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合.

评析复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构.

2.7布置作业，课后延伸

（1）课本第10页：习题A组：第1题.

（2）课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

3教学反思

在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受问题情境中提出的问题，并以此作为突破口，启发、引导学生得出函数的平均变化率.

成功之处：通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题.这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.

改进之处：课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导”具有明显的“牵”的味道.在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多.整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够.

4教学点评

采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，营造生动活泼的课堂教学气氛，充分发挥学生的主体地位，通过实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解变化率问题.

4.1注重情境创设，适度使数学生活化、情境化

注重情境创设，适度使数学生活化、情境化而又不失浓厚的数学味，可以激发学生学习的内在需要，把学生引入到身临其境的环境中去，自然地生发学习需求.因此，本节课以两个实际问题（吹气球和高台跳水）为情景，在激发主体兴趣的前提下，引导学生在生活感受的基础之上从数学的角度刻画“吹气球”和“高台跳水”，并注重数形结合思想方法的渗透.

4.2准确定位，精心设问，注重学生合作交流

教师的角色始终是数学活动的组织者，参与并引导学生从事有效的学习活动，并在学生遇到困难时，适时点拨，让学生体会到学习数学的过程是人生的一种有意义的经历和体验，从而发挥学生学习数学的能动性和创造性.教师精心设计好问题，从而更好地激发每个学生积极主动地参与到数学学习活动中来，让学生在解决问题时又不断产生新的思维火花，在解决问题的过程中达到学习新知识的目的和激发创新的意识.因此，本课采用自主探索、合作交流的探究式学习方式，使学生真正成为学习的主人.

4.3借用信息技术辅助，强化直观感知

在信息技术环境下，可以使两个实例（吹气球和高台跳水）的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想.同时帮助学生发现规律，使探究落到实处.

作者简介杨瑞强，男，1979年生，湖北黄冈人，中学一级教师.主要从事数学教育与中学教学研究.发表论文60余篇.

第16篇：导数的概念

第二章 导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度）， 几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际）， 掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§2.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运

动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0) （1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt， 2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。 t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念 曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数yf(x)的图形，M(x0,y0)C，则y0f(x0)，点N(x0x,y0y)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

yf(x0x)f(x0) xx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即x0，割线的斜率趋向于切线的

tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)ylim

（2）

x0xx0x3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数CC(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。 用前两例类似的方法处理得：

CC(x0x)C(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxCC(x0x)C(x0)lim

（3）

x0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

limx0f(x0x)f(x0）

（4）

x的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

y\'xx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x0)limxx0f(x)f(x0)

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy\'平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x（2）在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间I的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间I内可导，这时，xI，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y\',f\'(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)或。 dxdxylimx0f(xx)f(x)f(xh)f(x).或f(x)limh0xh在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才是变量；并且导数f\'(x0)恰是导函数f\'(x)在点x0处的函数值.3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.

(a)和f(b)都存在，就说f(x)在还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f闭区间[a,b]上可导.

三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值：例

1求yC的导数（C为常数）.解 求增量yCC0 作比值

取极限

limy0 xy0

x0x所以

(C)\'0

即常量的导数等于零.

例

2求函数yxn(xN)的导数.解 y(xx)xnxnnn1xn(n1)n2x(x)2(x)n， 2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1， x2!yy\'limnxn1，

x0x即

(xn)\'nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1.\'例如：(x)(R)

12x1\'，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)limh0\'f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim h0hhhlimcos(x)h0h22即

sinh2cosx

(sinx)\'cosx.用类似方法，可求得

(cosx)\'sinx. 例4 求ylogax(a0,a1)的导数.

hloga(1)loga(xh)logaxx 解 y\'limlimh0h0hh

hloga(1)x11hxlimlimloga(1)h

h0hxxh0xx所以 1logae x(logax)\'1logae x特别地，当ae时，有

(lnx)\'1 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f\'(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为

yy0f(x0)(xx0). 思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？ 根据法线的定义：过点M（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

yy0例5 求双曲线y程.

1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky\'所以切线的方程为

121()\'x121x2124

1y24(x)，

2即 4xy40.法线的方程为

y211(x)， 42即

2x8y150.

五、可导与连续的关系

定理 函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x， lim从而有

yf(x0)x，

其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx， 因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例6 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。 解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1， h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，

h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.

本节小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x2.基本初等函数的导数：

(C)\'0 (x)nx(logax)\'n\'n1 (sinx)\'cosx (cosx)\'sinx

11logae (lnx)\' (ax)\'axlna (ex)\'ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。 4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

第17篇：导数总结归纳

志不立，天下无可成之事！

类型二：求单调区间、极值、最值

例

三、设x3是函数f(x)(xaxb)e

（1） 求a与b的关系式（用a表示b）

（2） 求f(x)的单调区间

（3） 设a0，求f(x)在区间0,4上的值域

23x的一个极值点

类型三：导数与方程、不等式

例

四、设函数f(x)(1x)2ln(1x)

（1） 若在定义域内存在x0，使得不等式f(x0)m0成立，求实数m的最小值

（2） 若函数g(x)f(x)xxa在区间0,2上恰有两个不同的零点，求实数a22

的取值范围

第18篇：导数典型题

1.已知函数f(x)alnx1(a0)

(I)若a=2，求函数f(x)在(e，f(e))处的切线方程；

1(Ⅱ)当x>0时，求证：f(x)1a(1) x

2.设函数f(x)lnxx2ax(aR)．(I)当a=3时，求函数f(x)的单调区间；

3(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1(0，1]，求证：f(x1)f(x2)ln2； 4

3.设函数f(x)lnxax(aR)（e=2.718 28……是自然对数的底数)．

(I)判f(x)断的单调性；(1I)当f(x)0在(0，+∞)上恒成立时，求a的取值范围；

1x1(Ⅲ)证明：当x(0，+∞)时，x(1x)xe． e

24.设函数f(x)aex(x1)（其中e2.71828....），gx()xbx2，已知它们在x0处有相同的切线.

(Ⅰ)求函数f(x)，g(x)的解析式；

(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t1](t3)上的最小值；

（Ⅲ）若对x2,kf(x)g(x)恒成立，求实数k的取值范围.

5.已知函数fxmxlnx，其中m为常数，e为自然对数的底数。

（1）当m1时，求fx的最大值；

（2）若fx在区间0，e上的最大值为3，求m的值；

（3）当m=-1时，g(x)=

1nx1,试证明函数y=fx的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方。 x2

第19篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x

32、已知f(x)xsinxx

cosx

，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m， 则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。 （1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

第20篇：导数与不等式

导数与不等式

xa1.若对任意x0，x

2.已知函数23x11x恒成立，则a的取值范围是．2f(x)a(x)blnx(a,bR),g(x)x.

y轴垂直，求b的值； （1）若a=1，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与

（2）在（1）的条件下，求证：g(x)

3.设函数

a[0,3

2f(x)2ln2.f(x)alnxbx2，当b=0时，若不等式f(x)mx对所有的],x1,e2都成立，求实数m的取值范围.

2xmlnx2

4.已知函数f(x)（mR,x0）.

（1）若f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间；

(2)若m2()，令hxfx()3x，证明：对任意的x1,x21,2，恒有h(x1)h(x2)1

5.设函数

（1）设af(x)1x1xeax.f(x)0，讨论函数y的单调性；

（2）若对任意x(0,1)，恒有f(x)1成立，求实数a的取值范围

6.已知函数f(x)e2x3x． x2

（1）求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e

2.7，1.6，e0.31.3）

（2）当x1时，若关于x的不等式f(x)ax恒成立，试求实数a的取值范围.

f(x)2lnxk(x1

x)(kR)7．已知函数。 （1）当k1时，求函数yf(x)的单调区间；

2（2）证明：当k1时，对所有的x0且x1都有x1f(x)0成立。

《导数教学设计.doc》

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