导数及其应用教学心得体会（精选多篇）

推荐第1篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x

32、已知f(x)xsinxx

cosx

，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m， 则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。 （1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

推荐第2篇：导数应用一例

导数应用一例

石志群

13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。 3

1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得

24 ≤a≤。 „„„„„„„„„„„„„„„„（1） 33

这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！

2411，注意到 ≤a≤ ，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a

11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。 3a3a

1113由 )＝3a· )－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） 3

4由（1）、（2）可知，a= .3

从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？

一是函数思想在处理不等式问题中的作用不可忽视，本题就是以函数观点为突破口展开思维过程的。二是从简单情形开始，不断探索有效信息，并充分发挥所得到的信息的作用。本题中先从区间端点入手，对a的取值范围作初步控制，而这个控制为后续思维的展开提供了依据：它确定了极值点的位置，为对a作进一步的限制提供了可能。三是要学会运用等与不等的辩证关系从不等中构造相等关系。本题给出的全是不等式，不等之中怎么能找到确定a的值的等式呢？聪明的你一定会想到，肯定是由区间端点与极值点这些可能取得最值的点之间的制约关系，构造出需要的几个不等式，并用这样的不等式“夹”出a的值。

推荐第3篇：一.导数的应用教学反思

一、学习目标

1、知识与技能（1）掌握利用导数研究函数的单调性、极值、闭区间上的最值的方法步骤。

（2）初步学会应用导数解决与函数有关的综合问题。

2、过程与方法

体验运用导数研究函数的工具性，经历运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法解决有关函数问题的过程。

3、情感态度与价值观

培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点、难点

重点：应用导数解决与函数的单调性、极值、最值，零点等有关的问题。 难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以及应用导数解决与函数有关的综合问题。

三、学习过程 １．知识梳理：

函数的单调性与导数

（１）设函数 y=f(x)在某区间可导,

若f ´(x)>0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)

（２）函数 y=f(x)在某区间可导，f ´(x)>0（f ´(x)

函数的极值与导数

（１） 函数f(x)在点

附近有定义，

如果对

附近的所有点都有f(x)

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

如果对

附近的所有点都有f(x)>f(

)则f(

)是函数f(x)的一个________；

求函数y=f(x)的极值的方法是 当f ´( ) =0时，

如果在 x0 附近的左侧f ´(x) >0,右侧 f ´(x)

)是___________．

如果 附近的左侧f ´(x) 0,那么f(

)是______________． （２）f ´(x)=0是函数 y=f(x)在 处取得极值的_______________条件.

函数的最值与导数

函数f(x)在［a,b］内连续，f(x)在（a,b）内可导，则函数f(x)在［a,b］内的最值是求f(x)在（a,b）内的极值后，将f(x)的各极值与___________比较，其中最大的一个是_________,最小的一个是__________.

师生活动：学生课前自主探究，课上教师点评。

[设计意图]：知识梳理,辨识易错点，帮助学生形成良好的认知结构。 2.自主探究，成果展示

问题

1、求下列函数的单调区间 （1）.㏑x （2）

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数单调性的方法与解题步骤，这类问题容易忽略函数的定义域; 单调区间的规范定写法（不用“ ∪ ”）以及使导数为零的点的处理（导数大于零是函数为增函数的充分不必要条件），因此针对以上可能出现的问题，首先让学生独立思考，针对出现的问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整的解决

问题

2、已知 在R上是单调减函数，求 的取值范围。

变式1 若函数f(x)= x³-3ax+2的单调递减区间为(0,2)，求实数a的取值范围； 变式2 若函数f(x)= x³-3ax+2在区间(0,2)上单调递减，求实数a的取值范围.[设计意图]：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查，“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给的区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给的区间是恰好是函数的单调区间，因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯。

问题

3、已知函数f(x)=x³-ax²-bx+ 在x=1处有极值10， （1）求a、b的值;

（2）函数f(x)是否还有其它极值？ （3）求函数f(x)在区间[-1，4]上的最值。

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数极值、最值的方法与解题步骤，导数为零是函数有极值的非充分非必要条件。首先让学生独立思考，此题很多同学可能求出a、b的值后忘记检验，针对出现的问题，通过学生讨论，争论，教师讲评，达到对问题的共识。

问题4、试讨论函数f(x)=x³-6x²+9x-10-a(a ∈R)零点的个数

[设计意图]：此题旨在培养学生运用导数解决与函数有关的综合问题。函数、方程、不等式是相互联系不可分割的一个整体，导数作为研究函数的一种工具，必然也是研究方程、不等式的工具，讨论函数零点的个数也是利用导数求函数极值深层次的应用，应让学生细心体会，并能灵活运用。

问题

5、已知函数f(x)=x³- x²-2x+5当x ∈[-1，2]时，f(x)

变式：（1）若将f(x)m呢？

（3）若将f(x)

（4）若将当x ∈[-1，2]时，f(x)

[设计意图]：运用导数研究与函数有关的恒成立问题也是利用导数求函数极值深层次的应用，是非常重要的一种题型，在高考题中经常出现，对培养学生的思维能力及解决综合题的能力很有帮助。

3、当堂检测、巩固落实

（1）、函数f(x)= 3x³-x+1的极值为_________________________ （2）函数f(x)=㏑x-ax(a>0)的单调增区间为_________________________ （3）函数f(x)=x³-6x²+9x-10零点的个数为________________________ （4）已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[ -3, 3 ],上的最大值为M最小值为m则M-m=______

（5）已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx 在x=1处存在极小值-1，求a、b的值，并求f(x)的单调区间

（6）已知函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 在x=- 与x=1时都取得极值． ⑴ 求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

⑵ 若对x  [ -1, 2 ],不等式 f(x)

[设计意图]：强化训练，巩固所学知识。

四、小结与反思

通过本节课的学习你学到了哪些知识？

掌握了那些数学思想方法？

你认为解题中易出错的地方在哪里？

五、作业 P31第2T,6T.

六、课后反思_______________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

[设计理念]：体现“生本”理念， 从学生的已有经验出发设计问题，让学生经历知识的发生发展过程，在合作交流中形成能力，增长智慧。

[设计亮点]：根据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，针对在利用导数解决函数的单调性、极值、最值等问题和解题中常见的错误设计一系列的“变式”问题，环环相接，使学生始终处于积极的思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。

[设计中遇到的问题及解决办法] 在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上述问题，本文在设计中选取了有利于学生能力形成的核心知识，通过变式整合知识，从而达到提高课堂教学效率的目的。

[教学效果] 课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和能力的提升，课堂教学效果良好。

[教后反思]：

本节课围绕“核心”知识点及学生的易错点设计、变换问题，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新课改的课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体，也突出了数学复习课的特点：梳理知识，强化应用。本设计中的问题对中上等的的同学比较适合，对部分学困生学起来有一定的难度，尤待进一步改进。

推荐第4篇：导数及其应用单元教学反思

导数及其应用单元教学反思

何海东

本单元共分四节内容，分别是变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用和生活中的优化问题。

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个典型实例，引导学生经历平均变化率到瞬时变化率的过程，从而理解导数概念的本质――导数就是瞬时变化率。同时，借助函数图象的直观性，阐明了图象的割线与函数平均变化率的关系，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系――切线的几何意义。这里一定要让学生理解“无限逼近”的数学思想，即极限思想，这一思想的处理方法和原教材有很大区别，原教材是在讲了数列极限和函数极限之后才讲切线思想的，本教材只把极限这一数学思想直接拿来应用，虽是对这一思想的淡化，学生理解上有一定困难，教学时要把握好度，不宜引的过深，充分理解教材的意图，我个人认为教材这样做恰好体现了新课改理念之一，即时效性和应用性。

关于导数运算问题，教课书通过导数的定义，推导了常见的幂函数及其变形形式的导数，即f(x)ax的导数，目的是为了让学生进一步理解导数的概念，教学时要引导学生熟练掌握，并在课堂上给学生一定的自主性，让学生亲自经历这一奇妙的变化，使学生掌握知识的同时享受“数学美”。为了使学生能用基本初等函数的导数的导数公式与运算法则求简单函数的导数，教材在直接给出导数公式及运算法则后，安排了大量的例题和练习题，学生通过例题和习题的模仿、操作，达到熟练掌握。这里要给学生一定自主学习时间，老师只作适当引导，不必花时间去大讲特讲。其它初等函数的导数公式也可以通过导数定义推导而得，但教材不作要求，教学时要准确把握，不要偏移重心，影响教学效果。

复合函数的导数，教学重点应放在引导学生理解简单复合函数的复合过程，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数过程，并知道复合过程中的自变量、困变量及中间变量分别是什么，复合函数结构分析是教学难点，我个人觉得教学时多分析几个例题，但不必介绍复合函数的严格定义。不论是例题还是习题，教学参考明确要求只会求形如f(axb)的函数的导数即可，老师一定要做到这一点，不必作过多的引申。

利用导数研究函数的单调性、极值和最值一节，一定要让学生先通过函数图象的直观性，感悟切线斜率变化和函数单调性之关系，还要通过导数变化快慢反映函数图象的“陡峭”和“平缓”，借助数形结合数学思想，让学生从感性认识上升到理性认识，同时还要注意以下几点：（1）、函数f(x)必须在xx0处及其附近有定义，这里的“附近”理解要给学生讲明，它是数学意义上的“附近”，是“趋部”的；（2）、函数f(x)必须在xx0处及其附近连续；（3）导函数f\'(x)必须在xx0处及其附近连续。只有讲清这几点，才能通过f\'(x)的值的连续变化过程得到f\'(x0)0。本节的教学重点是利用导数求函数的单调区间，要让学生熟练掌握。这里关于“函数f(x)必须在xx0处及其附近连续”中的“连续”，教材只要求学生根据图象直观地理解成“函数图象在xx0处及其附近“不断””即可，不必对函数的连续概念引入，增加学生负担，当然，对基础较好的学生可以适当挖掘教材。函数的极值是“趋部”概念，讲解时只要说清即可，同时让学生知道“极小值不一定小于极大值”和“f\'(x0)0是函数取得极值的必要条件”，会求函数极值的方法是教学中心。而函数最值是函数f(x)在a,b上的整体性概念，讲明这一点学生就会求函数的最值，让学生自主学习效果会更好些。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等问题，这些问题在数学中称为优化问题，有时也称最值问题。解决这些问题有非常现实意义，这些常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就是自然动脑筋然的了。本节优化问题在处理方法上与旧教材有很大区别，旧教材在处理这些优化问题的方法是直接给出题目，然后给出解答的模式，而本教材改变了问题的呈现方式，先给出一些背景性问题，让学生先充分了解背景，使背景和生活经验联系起来，再从生活经验的角度思考看如何看待本题，在生活经验和背景熟悉的基础上，逐步引入到数学问题中，通过学生的数学思维过程，展开问题、解决问题，之后，再给学生引导一些有思维价值的思考题目，作为例题的延续。在分析问题和解决问题的过程中，要让学生亲身体会数学建模的过程，逐步培养学生主动发现问题、分析问题和解决问题的能力，从而使学生有应用数学的意识。本节的难点在于数学建模过程和分析求导数的实际意义，为什么要求导，一定要给学生分析清楚。

通过本单元教学，和旧教材做以比较，我体会到本单元在内容编排上，始终体现了时代性、基础性、典型性和可接受性，其特征有：

（1）、教材以生动活泼的呈现方式，激发学生学习兴趣，让学生在学习的同时享受美的感受，引发学生激情。 教材以学生非常熟悉的例子为背景，用生动活泼的语言，创设情境能够体现数学的概念、结论、数学思想和数学方法，使学生产生亲切感，引发学生“看个究竟”，从而自主地兴趣盎然地投入学习。

（2）、教材以恰当地问题引导学生进行数学活动，培养学生的问题意识。

教材在知识形成过程的关键点上和运用数学思想方法产生解决问题的策略上，通过 学生的观察、思考、探究等方法，使学生既有感性认识，又有实践操作，进而上升到理性认识，并对学生的数学思维有适当地启发，通过引导学生观察、思考、探究，使他们经历了观察、实验、猜想、交流、推理、反思等理性思维的过程，培养学生的问题意识，既激发了学生学习兴趣，又改变了学生的学习方式，更掌握了一定的数学知识和基本处理问题的能力。

（3）、强调数学思想方法的应用，提高学生数学思维能力。

教材始终利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，采用不同的背景联系和启发方式，培养学生数学思想方法的应用和思考问题的方式，提高学生的数学思维能力和创新精神。在知识处理的手段上，采用从特殊到一般，从观察到实践，从猜想到探究，从感性到理性，从数到形，让学生充分体会到数学探索活动的基本规律，感受数学知识产生过程，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学推理和探究，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性和规律。

（4）、具有时代性和创新性。

教材在素材的选取上和情境创设上，体现了时代性和创新性，教学实例都是学生非常熟悉的例子，既贴近生活，又有亲切感，引发学生激情，引导学生通过自己的数学活动，结合数形结合、类比、归纳、极限、转化等数学思想，从事物中抽取“数”与“形”的属性，从事物的现象中找出其共性和本质内涵，进而抽象概括出数学概念和数学结论。充分让学生经历数学的发展和创造过程，了解知识的“来龙去脉”，体现现代社会生活和建设特征。教材还通过观察与实践，猜想与证明，阅读与思考，探索与发现，信息技术应用等手段，为学生提供丰富的思想性，实践性，创新性和挑战性，拓展学生的数学活动空间，发展学生做数学和用数学的意识，给学生自主学习、合作学习和探究学习提供了应有的场所和环境，充分体现了新课程改革的基本理念。

推荐第5篇：导数的应用(三)

课题：导数的应用

（三）

一、学习目标：

1．能利用导数解决函数的方程根的个数问题； 2．利用导数解决不等式问题

五、达标训练：

二、重点、难点:

利用导数研究与函数的极值与最值有关的综合问题

三、知识梳理：

1．函数的极值 2．利用导数求函数最值的步骤：

（1）（2）（3）（4）

3．如何利用导数研究方程根的问题？

4．如何利用导数研究不等式问题？

5．恒成立问题如何转化为函数最值问题？

四、典型例题：

3

例1：设函数f(x)x6x5,xR

（1）求函数f(x)的单调区间和极值

（2）若关于的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围 （3）已知当x(1,)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围

例2: 已知a,b为实数，bae，其中e为自然对数的底数.求证：ab

ba

例3: 已知函数f(x)alnxx1b

x

，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30．

（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且x1时，f(x)lnx

x1

．

1．已知函数f(x)x33x2c，若当x[1,3]时，f(x)14c2

恒成立.求实数c的取值范围

2．设函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)ax3

ax2

1f(1)1

2

x,aR

（1）求f(1)；（2）若函数f(x)在R上不存在极值，求实数a的取值范围.

3．设函数f(x)

xlnx

(x0,x1) 11）求函数f(x)的单调区间（2）已知2x

xa对任意x(0,1)都成立，求实数a的取值范围

【收获总结】

（

推荐第6篇：应用导数证明不等式

应用导数证明不等式

常泽武指导教师：任天胜

（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）

摘要： 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。

关键字： 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式

中图分类号： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000) Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.

Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理来证明不等式

在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：

定理1.如果函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b上可导，则至少存在一点a,b，使得f\'()

拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。

（1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。

（2）我们可根据其两种等价表述方式

①f(b)f(a)f\'(a(ba))(ba),01

②fahfaf\'ahh,01

我们可以的范围来证明不等式。 f(b)f(a)。 ba

11(x0)例1.1证明不等式ln(1)x1x

证明第一步变形1 ln(1)ln(1x)ln(x) x

第二步选取合适的函数和范围

令f(x)lnttx,1x

第三步应用拉格朗日中值定理

存在x,1x使得f\'()f(1x)f(x) (1x)(x)

即ln(1x)ln(x)1

而 

1x1)而0x 即ln( x1xln(1x)ln(x)

例 1.2证明：h>-1且h0都有不等式成立：

hln(1h)h 1h

证明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，0,1使得

ln(1h)f(h)f(0)f\'(h)h

当h>0时有

1h11h,

当1h0时有

11h1h0,即h.1h1hh;1h1h1hh.1h1h

2．利用函数单调性证明不等式

我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。

定理：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b可导，那么

（1） 若在a,b内f\'(x)0则f(x)在a,b内单调递增。

（2） 若在a,b内f\'(x)0则f(x)在a,b内单调递减。

使用定理：要证明区间a,b上的不等式f(x)g(x)，只需令F(x)f(x)。 g使在(x)a,b上F\'(x)>0（F\'(x)

证明：令F(x)ln(1x)xex（x>0）

显然F(0)0

1exx21xx（x>0） F\'(x)exex1x(1x)e

现在来证明exx210

令f(x)exx21显然f(0)0

当x0时f\'(x)ex2x0

于是得f(x)在x0上递增

故对x0有f(x)f(0)f(x)0

而(1x)ex0

所以F\'(x)0故F(x)递增

又因为F(0)0

所以F(x)0

所以ln(1x)xex成立

3．利用函数的最大值和最小值证明不等式

当等式中含有“=”号时，不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)) g(x)f(x)0（或g(x)f(x)0），亦即等价于函数G(x)g(x)f(x)有最小值或F(x)f(x)g(有最大值。x)

证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。

1例3.1证明若p>1，则对于0,1中的任意x有p1xp(1x)p1 2

证明：构造函数f(x)xp(1x)p(0x1)

则有f\'(x)pxp1p(1x)p1p(xp1(1x)p1)

令f\'(x)0，可得xp1(1x)p1，于是有x1x，从而求得x1。由于2

函数f(x)在闭区间0,1上连续，因而在闭区间0,1上有最小值和最大值。

由于函数f(x)内只有一个驻点，没有不可导点，又函数f(x)在驻点x1和2

111p1)p1,f(0)f(1),区间端点(x0和x1)的函数值为f())p(1所以2222

1f(x)在0,1的最小值为p1，最大值为1，从而对于0,1中的任意x有2

11f(x)1xp(1x)p1。 ，既有p1p122

4．利用函数的泰勒展式证明不等式

若函数f(x)在含有x0的某区间有定义，并且有直到(n1)阶的各阶导数，又在x0处有n阶导数f(n)(x0)，则有展式： f\'(x0)f\'\'(x0)fn(x0)2(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)f(x)f(x0)1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,变为麦克劳林公式

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)Rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或0)则可得

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)， 1!2!n!

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)n(x)(x)(x)。 或f(x)f(0)1!2!n!

带有拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一个定量估计式，该公式在不等式证明和微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有广泛的应用。

用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简，其中函数用此公式，在把公式右边放大或缩小得到所证不等式。

例4.1若函数f(x)满足：（1）在区间a,b上有二阶导函数f\'\'(x)，（2）

f\'(a)f\'(b)0，则在区间a,b内至少存在一点c，使

f\'\'(c)4f(b)f(a)。 2(ba)

证明：由f(x)在xa和xb处的泰勒公式，并利用f\'(a)f\'(b)0，

得f(x)f(a)f\'\'()(xa)2

2! f\'\'()f(x)f(b)(xb)2,于是2!

abf\'\'()(ba)2abf()f(a)(a),22!42

abf\'\'()(ba)2abf()f(b)(a),22!42

f\'\'()f\'\'()(ba)2

相减，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)f(a)1(ba)2

即f\'\'()f(),(ba)224

当f\'\'()f\'\'()时，记c否则记c=,那么

f\'\'(c)4f(b)f(a)(abc)(ba)2

参 考 文 献

《数学分析》上册，高等教育出版社，1990.1郑英元，毛羽辉，宋国栋编，

2赵焕光，林长胜编《数学分析》上册，四川大学出版社，2006。 3欧阳光中，姚允龙，周渊编《数学分析》上册，复旦大学出版社，2004.4华东师范大学数学系编《数学分析》上册，第三版，高等教育出版社2001.

推荐第7篇：导数的应用单调性教学反思

（一）教学整体设计

导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．

情境引入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲.合作探究

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

典例应用

在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”， 规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后数形结合再次画出原函数图象加以验证，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

（二）教学中存在的不足

教师语言感染力度不够。一节课下来，语言起伏度较低，未能将重点知识通过起伏的语言方面传递出来。同时课堂评价语言单调，不能够起到鼓励学生的作用。作为一名新教师，教学基本功不够扎实，仍需多加练习，增加听课频率，多像优秀教师学习教学技能和技巧。

教学重难点内容的安排形式有待改善。本节重点知识在于为什么用导数研究函数的单调性，怎样用导数研究函数的单调性。怎样引导学生将导数的正负与函数单调性之间建立联系。实际上，这节课的重点，我觉得教师必须讲清楚函数在一个区间上的任一点出的导数为正时，在任一点处的切线斜率为正，函数在这个区间上的任一点处呈上升趋势，所以函数在整个区间上单调递增。但根据上课效果来看，学生并没有这样层次的理解，对于知识的认知还停留在表面，所以我提醒自己在今后的教学过程中应该加强数学知识本质的教学，让学生知其然，知其所以然。

小组讨论环节有待改善。本次课的小组讨论环节实际上是让班级学生分小组互相列举一些基本初等函数验证导数的正负和单调性的关系。但在实际教学中没有达到应该有的效果。每个学生自己单独完成了这个过程，并没有合作探究。课后我反思了这一过程，主要是和班级学生的熟悉程度不够，也是我在教学中引导过度不够自然，没有引起共鸣。通过这节课的教学，我有一个这样的疑惑，在数学教学中小组讨论，合作探究这个过程对学生的学习是否一定需要，是否一定会起到正面的效果，我觉得这是一个可以深入思考的问题。

板书设计有待改进。本节课板书不太理想，客观原因上课班级黑板不好使用，当然我对于本节课的板书设计确实准备不足，应该将情境引入部分整体思路理清楚，本节课的重点知识展示清晰。

经过这次的组内赛课，我感触颇深，也意识到自己教学技能的薄弱，对教研和教学认识的浅薄。关于教学，还有很多需要我学习的地方。不论是教研水平还是教学技能，我都急需向组内各教师好好学习，以期成为一名具有强大的语言功底、丰富的知识储备、强悍的课堂驾驭能力的优秀教师。我相信在各位同仁的指导帮助下，自己一定能够取得进步。

推荐第8篇：导数在高中数学教学中的应用

导数在高中数学教学中的应用

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.

方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′

(x)>0和f′(x)

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).

方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数证明不等式

证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.

(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证

(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1

要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,

满足t(x)min

令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna

在0-lna时,t′(x)>0

t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数

则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数

则p(a)于是t(x)的最小值t(-lna)

因此可找到一个常数x0=-lna(0

导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。

推荐第9篇：高中数学教学论文 导数及其应用教学反思

湖北省宜昌市第十八中学高中数学教学论文 导数及其应用教学反思

1.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入

导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。

这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，自然水到渠成。

新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。

2.反思“变化率问题”课堂教学的课堂语言 “令”。这里的“令”，应该说成“习惯上用

表示

，即

”。

关于气球膨胀率问题，应该补充说明：“我们把气球近似地看成球体”.这一点，两位教师都没有说明。

应该补充例题：“已知两点求经过两点的直线的斜率

，

在函数

的图像上，

”。因为它是联系平均变化率和导数概念的枢纽，同时，还有利于学生在亲身体验数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化中理解平均变化率的概念、切线斜率的概念和导数的概念等。

3.反思“变化率问题”课堂教学中对计算问题的处理

在课堂教学中，对计算问题的处理，要注意避免两种极端：过分强调学生的计算；以计算机代替学生的计算。

既要培养学生的运算能力，又要提高单位时间的教学效率，可选择两个地方让学生计算。其一，计算0～1秒或1～2秒的平均速度问题。因为计算时花费的时间不多，同时，既能促进学生对平均速度的理解，又能为理解瞬时速度做好充分的准备。其二，计算0~65平49均速度问题。因为学生通过这一问题的计算，既能发现问题：“用平均速度表示这段时间内运动员的运动情况存在问题”，又能促进学生思考问题：“用什么东西才能更好地描述运动员在这个时间段的运动状态？”自然学生会想到物理中学过的瞬时速度。这样的处理省时，能够提高单位时间的效率，同时，不影响主体知识（平均速度、平均变化率、导数的概念）的学习。

推荐第10篇：导数几何意义的应用

七、导数几何意义的应用

例15 （1）求曲线y= x11+ 在点(1,21)处的切线方程

（2）已知曲线 （t为参数），求曲线在t=1处的法线方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解 （1） 2)x1( 1x11y+ .= ′ ......+ =′， 41)x1( 1y1x21x.= + .=′ = = ，即k= － 41，

所以过（1，21）点的切线方程为：y- 21= －

41(x-1) ， 即 x+4y-3=0

（2） 2t])t1[ln( )tarctant( dxdy2= ′+ ′.= ，21dxdy1t= = ；即k法= -2 ，又t=1时， .....π.= = 41y0x ；

所以过切点(0,1- 4π)的切线方程为：y-1+ 4π= -2(x-0)

即 2x+y+ 4π-1=0

第11篇：导数及其应用 知识点总结

导数及其应用 知识点总结

1、函数fx从x1到x2的平均变化率：

f

x2fx1

x2x1

xx0

f(x0x)f(x0)

x

2、导数定义：fx在点x0处的导数记作y

f(x0)lim

；．

处的切线的斜率．

x0

3、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线

4、常见函数的导数公式：

yfx

在点

x0,fx0

①C\'0；②(xn)\'nxn1；③(sinx)\'cosx；④(cosx)\'sinx； ⑤(ax)\'axlna；⑥(ex)\'ex；⑦(log

5、导数运算法则：

a

x)

\'

1xlna

；⑧(lnx)\'

1x

1



fxgxfxgx；

fxgxfxgxfxgx；

2

fxfxgxfxgx

gx02

gx3gx．

6、在某个区间a,b内，若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递增；

若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递减．

7、求解函数yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；（2）求导数y\'f\'(x)； （3）解不等式f\'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

\'

1如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值； fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

2如果在x0附近的左侧

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是：

1求函数yfx在a,b内的极值；

2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值．

第12篇：导数的应用(构造法)

导数的应用（构造法证明不等式）

1.

已知函数f(x)lnx(p0)是定义域上的增函数.（Ⅰ）求p的取值范围；

（Ⅱ）设数列an的前n项和为Sn,且an

2.已知函数f(x)alnxax3在x=2处的切线斜率为1，函数g(x)xx(f(x)区间(2,3)内有最值,

（Ⅰ）试判断函数g(x)在区间(2,3)内有最大值还是最小值,并求m的范围； （Ⅱ）证明不等式：ln(221)ln(321)ln(n21)12lnn！.

32/2n1n，证明:Sn2ln(n1).m2)在

3.已知函数f(x)1x

ax

3lnx(a0)在区间1,上为单调递增函数.（Ⅰ）求实数a的范围； （Ⅱ）证明：

4.已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）若f(x)0恒成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：

ln23ln34lnnn1n(n1)4,(nN,n1).121nlnn112131n1,nN,n2.

第13篇：导数及其应用_知识点总结

导数及其应用 知识点总结

1、函数{ EMBED Equation.DSMT4 |fx从到的平均变化率：

2、导数定义：在点处的导数记作；．

3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧

5、导数运算法则：

；

；

．

6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

7、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：

求函数在内的极值；

将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

第14篇：导数的应用一复习

本节主要问题：

1、利用导数判断函数单调性的法则：

如果在(a,b)内，f\'(x)0，则f(x)在此区间内是增函数，(a,b)为f(x)的单调增区间； 如果在(a,b)内，f\'(x)0，则f(x)在此区间内是减函数，(a,b)为f(x)的单调减区间；

2、如何利用导数判断函数单调性（求单调区间）：

①先求定义域；②求导—分解因式 ；③解不等式；④下结论（注意单调区间的写法，不能写集合，也不能用并集）。

3、如何利用导数证明不等式f(x)g(x)？

构造函数(x)f(x)g(x)，利用(x)的单调性证明(x)0即可。

4、已知函数的单调性求参数范围

找出函数yx34x2x1的单调区间。

例

3、当x1时，证明不等式xln(x1)。

例

4、若函数f(x)axxx5在(,)上单调递增，求a的取值范围。

32

第15篇：浅谈导数的几点应用

浅谈导数的几点应用

导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

一、利用导数求曲线的切线方程

例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。

解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上

∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，

∵f\'（x0）=3（x02-1）

∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）

所求切线方程为9x-y+16=0。

二、讨论方程的根的情况

例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。

解：设f（x）=x3-ax2+1，则f\'（x）=3x2-2ax。

当a>3，x∈［0，2］时f\'（x）0，f（2）=9-4a

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。

三、求参数的范围

例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。

解:由题意有f\'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。

四、利用导数求解函数的单调性问题

例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。

解：函数f（x）的导数f\'（x）=x2-mx+m-1，令f\'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。

（2）当m-1>1即m>2时，函数f\'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f\'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。

五、利用导数求解函数的极值

例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。

解：f\'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f\'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f\'（x）=3（x+1）（x-1）。

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f\'（x）>0

当x∈（-1，1）时，f\'（x）

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。

六、利用导数研究函数的图象

例6.若函数y=f（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则y=f（x）在［a，b］图象可能是：（ C ）

解析：依题意f\'（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则f（x）的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，观察四哥选项中的图象，只有C满足要求，故选C。

七、利用导数证明不等式

例7.对于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

设f（x）=x-ln（x+1），（x>0），则有f\'（x）=

证明：∵x>0，∴f\'（x）>0，又f（x）在x=0处连续，f（x）在［0，+∞］上单调递增，∴x>0时，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用导数求数列的前n项和

例8.求数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和。

解：设数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和为Sn，则

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）\'=（）\'==（x≠0，1）。即为数列nxn-1（x≠0，1）的前n项和。

九、利用导数解决实际应用问题

例9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：（1）（fx）=p•qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）。

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式。

（注：函数的定义域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此类推）

（作者单位 四川省达县石桥中学）

第16篇：数学建模在导数教学中的应用

数学建模在导数教学中的应用

【摘要】 作为导数教学中的一个重要方法，数学建模有着不可替代的重要的作用。在数学教学的过程中必须保证其建模的准确性。因为建模的准确性直接影响到导数教学的效果。那么对于数学建模来说，其不仅是导数教学的一个重要组成部分，同时也是我国数学发展过程中的一种重要展现方式。随着数学学科的不断发展，在数学教学中出现了很多教学方法，但是事实证明，数学建模是目前为止在导数教学过程中最有效地一种方法。因此，下面重点来谈下数学建模在导数教学中的重要运用。

【关键词】 导数教学 建模 应用 影响 教学方式

一、数学建模在导数教学中的主要表现

1.1数学建模用于生活实践

相对于其他学科来说，数学本就是一个重在实践的学科。那么数学建模在导数教学中的主要目的就是指导实践，通过数学建模的方式，在最大程度上将数学理论用于实践才是数学的根本目的。对于建模来说，将抽象的导数转换成生活实践中的具体数值尤为重要。这种理论指导实践的方式，是我们数学学科区别于文学的重要特点。数学建模的形式可以对我们的生活中的一些问题进行具体的指导，这就是数学建模最大的优势所在。

1.2数学建模的展现方法

对于数学学科来说，一个重要的展现方法就是通过逻辑思维的方式对我们的生活中的具体事件进行数字化的分析。用抽象的导数形式来表示生活中那些具象的事物，并且在不断变化的生活中，用数学建模的方式找到固定的发展规律，用以帮助人类了解日后事物的发展形势。一方面可以有效地掌握事物的发展规律，另一方面还可以节省大量的人力及其物力，对可能出现的危险进行及时的预防和限制。在对经济的发展趋势分析方面，数学建模有着十分广泛的应用。因为其有着良好的预测方法和精准的数据，在预测经济走向的时候，有着举足轻重的作用。

1.3数学建模应用在导数教学中的表现

对于一些抽象的事物来说，数学建模在很大程度上都可以应用在导数教学上。比如对于速度的测算方面，数学建模的作用是显而易见的。对于运动的总长度和平均速度来说，一个数学建模就可以将其非常精准的展现出来。复杂的数据也将不再成为你计算的问题和难题。通过数学建模的方式，在导数教学中可谓是不可多得的重要方法。那么对于我们生活中一些其他的问题同样也可以通过数学建模的方式对其进行解决。比如人口的增长率，人均国土面积甚至于我国经济的走向等等都可以用数学建模的方式来展现。

二、数学建模在导数数学中的问题研究

2.1收集数据的精准化

对于数学建模来说，精准的数据是影响导数教学的重要方面。这就要求数学建模的相关数据一定要准确。因为数据的差距会直接影响到数学建模的效果。我们的生活中是否会出现诸如此类的事件，因为一个小数点的变化而影响到整个数据的巨大差异。这就是要求我们的工作人员在工作的过程中一定要保证数据的精准化，这样也是保证数学建模准确的方式。数据的准确是我们在日常生活中应该追求的重要方面，在整个数学建模的过程中，保证数字的精准化，将会极大限度的发挥数学建模的重要作用。

2.2结合实际情况进行相对应的改变

任何事物都不是一成不变的，导数教学也一样。不同的情况下，导数教学的方式也不尽相同。因为随着我们生活的不断改变，层出不穷的新事物也将不断的涌现出来。随机应变也是数学建模中值得注意的一个问题。随着我们生活的不断发展和进步，越来越多的微信微博视频网站出现在我们的视野前。对于研究这些社交平台和视频的受众来说，我们不能单纯的计算这些视频的浏览率，同时还需要注意的就是在这些平台和视频上的停留时间。这就是结合实际情况进行相对应的改变。

很多具体的事件都不能完全的依靠固定的规律，要通过实践才能得出正确的结论。结合实际情况，进行数学建模是导数教学模式中最为重要的一个环节。也是我们在运用数学建模的过程中需要特别主要的问题。

三、结束语

数学建模作为导数教学过程必不可少的一个重要方式，不仅对我们的生活有着非常深远的意义，同时也是我国的数?W研究史上浓墨重彩的一笔。对于我们目前的生活来说，如何做到精准化，细致化和专业化才是我们应该全力追求的重要目标。

数学建模，不仅是数学上一个重要的方法，也是我国调查，统计相关工作的一个好帮手，它可以让庞大的数据变得简单，也可以让抽象的事物明显的展现出自己的发展趋势。对于我们这些数字模型的研究者来说，在研究的过程中会发现许多十分有趣的东西。这也算是数字模型对我们努力工作的一种嘉奖。

参 考 文 献

[1]赵春燕；；构造函数，利用函数性质证明不等式[J]；河北北方学院学报（自然科学版）；2006年02期

[2]江婧；田芯安；；在数学分析中作辅助函数解题[J]；重庆文理学院学报（自然科学版）；2006年03期

[3]孙祝梧；；函数周期性与对称性之间的关系初探及应用[J]；中学教学参考；2010年07期

第17篇：“导数及其应用”第一课时的教学反思

“导数及其应用”第一课时的教学反思

浙江省衢州高级中学 何豪明

导数是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。文[1]中说:“虽然函数的导数可以用极限概念‘纯数量’地去定义，但在中学里我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数的描述，因而我们宁愿把这个概念看成是数形结合的产物。”把定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表示出来——曲线的切线斜率用导数表示等。因此，本章内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想等，将切线的斜率和导数相联系，发现导数的几何意义，并具体应用。其中，第一课时“变化率问题”的教学也不例外。

１.反思“导数及其应用”整章教材的编写意图

文[2]第一章“导数及其应用”，整章内容设计精妙，始终以导数概念这条主线贯穿着。有主线、有中心的文章是好文章。有主线、有中心的数学教科书更是一本好书。因为教科书在编写时要做到这一点，似乎比写文章更难。因此，我们的课堂教学必须是在理解课程标准的要求（通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义），把握教材编写的意图（以导数概念为主线编写教材），创造性地使用教材的过程中实施（每节课都要把握住本章教材的中心和主线——导数的概念）。因此，在本章内容教学的第一节课里，我们也需要强调对导数概念的初步认识，把它作为一种重要的思想、方法来学习。因为对一种思想、方法的学习，不是几节课就能完成的，这需要一个过程，可能过程还很长。对导数概念的理解，也需要一个过程，一个螺旋上升的过程。作为一线教师，我们必须在理解课程标准的要求，把握教材“主线”的基础上，再去创造性地使用教材。这样的课堂教学才能收到事

半功倍的效果。

研读两位教师关于“变化率问题”的教学设计，其中舒老师确定的教学重点是函数平均变化率的概念；而吴老师确定的教学重点是平均变化率、瞬时变化率的理解。结合课堂教学实际，我们发现吴老师能更好地把握教材编写的意图——以导数概念为主线串联着整章内容，因而其课堂教学效果明显。 ２.反思“变化率问题”课堂教学的整体思路

教学过程设计以“问题串”方式呈现为主。所提出的问题应当注意适切性，对学生理解数学概念和领悟数学思想方法有真正的启发作用，达到“跳一跳摘果子”的效果。根据“对一种生活现象的数学解释”是教科书介绍数学知识的切入角度，不仅可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的思想，设计如下课堂教学的整体思

路。

首先，以文[2]第一章的章头图“高台跳水”为背景资料，结合文[2]的问题2：“高台跳水”及其探究的学习，使学生认识到高度关于时间的导数就是运动员的瞬时速度，给出函数

图像，同时给出在某一点处的切线，并说明在这点处的切线斜率的几何意义，从而了解导数的概念。

其次，结合文[2]的问题1：“气球膨胀率”，让两个学生（男女生各一名）吹气球，在吹气球的过程中体验“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”。感受气球膨胀率大小的变化，从而体会到平均膨胀率可以刻画气球半径变化的快慢，体会气球半径关于体积

的导数就是气球的瞬时膨胀率。

再次，为了从具体情境的变化率问题抽象出导数概念，提出如下问题：如果将上面两个变化率问题中的函数用

表示，那么函数

在

的瞬时变化率怎样表

瞬时变化率的示？目的是引导学生从两个具体问题的实际意义中抽象出一般函数表示，抽象出导数概念，这是学习的一个难点，也是思维的又一次上升过程。 两位上课老师中，其中吴老师提出了瞬时速度，而舒老师却没有。这样，吴老师的课堂教学抓住了本章的核心概念——“导数的概念”，符合教材编写的意图。因而，课后反映良好。至于让学生吹气球的问题,课后，有人支持，有人反对。但我认为，让学生在吹气球的过程中体验“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从而感受气球膨胀率大小的变化，这符合新课程的理念。

３.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入

导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。 舒老师的课以体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系导入新课，以实例“经营问题”引入新课。上课不到两分钟，就使学生明确本节课要揭示的核心问题——

平均变化率问题。

舒老师还从学生的生活经验出发，如菜的价格问题（那几天菜价正涨）、经营问题等，激发学生的学习兴趣。这种新颖的课堂设计，简洁有趣的导入，为整个教学环节的

展开作了良好的铺垫。

美中不足的是作为引例的“经营问题”的科学性值得商榷。但其具有教学性。学生通过对引例的思考、讨论，获取平均变化率的信息，从而形成平均变化率的数学结论。同时联系有实际背景的当时菜的价格问题等，所有这些符合教材知识结构和学生认知规律的实例，能使学生在短时间内对平均变化率有个大致的了解。

吴老师的课，以微积分的创立与自然科学中四类问题的处理导入新课，以老师自己吹气球引入新课（这不是新课程提倡的）。 这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，

自然水到渠成。

新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。

４.反思“变化率问题”课堂教学的课堂语言

舒老师说：“令

”。这里的“令”，应该说成“习惯上用即

”。

表示

，关于气球膨胀率问题，应该补充说明：“我们把气球近似地看成球体”.这一点，

两位教师都没有说明。

应该补充例题：“已知两点图像上，求经过

两点的直线的斜率

，

在函数

的

”。因为它是联系平均变化率和导数概念的枢纽，同时，还有利于学生在亲身体验数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化中理解平均变化率的概念、切线斜率的概念和导数的概念等。

５.反思“变化率问题”课堂教学中对计算问题的处理

在课堂教学中，对计算问题的处理，要注意避免两种极端：过分强调学生的计算；

以计算机代替学生的计算。

既要培养学生的运算能力，又要提高单位时间的教学效率，可选择两个地方让学生计算。其一，计算0～1秒或1～2秒的平均速度问题。因为计算时花费的时间不多，同时，既能促进学生对平均速度的理解，又能为理解瞬时速度做好充分的准备。其二，计算0-平均速度问题。因为学生通过这一问题的计算，既能发现问题：“用平均速度表示这段时间内运动员的运动情况存在问题”，又能促进学生思考问题：“用什么东西才能更好地描述运动员在这个时间段的运动状态？”自然学生会想到物理中学过的瞬时速度。这样的处理省时，能够提高单位时间的效率，同时，不影响主体知识（平均速度、

平均变化率、导数的概念）的学习。 ６.反思“变化率问题”中气球的膨胀率问题

有些教师在反思的时候认为这个例题太难，教学时可以删去，只讲高台跳水问题。还有些教师建议教材再版时去掉气球膨胀率问题，只留高台跳水问题。笔者不赞成这些观点，基于对以下两个方面的问题的思考。其一，这是一个难得的好案例，学生对它的熟悉程度远远超过高台跳水，几乎每个学生都有过吹气球的体验，而对高台跳水，大多数学生只是从电视画面上看到。好的案例，应该是大家都熟悉的案例，因为它能够有效地集中学生的注意力，学生乐意去思考，去研究，也才能使学生有所收获，有所提高。其二，课堂教学的目的是把学生不懂的教懂，不会的教会，但并不是说，每节课的教学内容都要求学生在这一节课里全部搞懂、全部掌握。这需要给学生更多的思考时间和思考空间。这样，反而能够培养学生的思考、探究的能力。所以膨胀率问题不仅不能从教材中删去，而且还应该在课堂教学中实施。

作为新概念引入的案例，关键应该选择学生熟悉的，简单的，如高台跳水问题，但熟悉的，不简单的也好，如气球的膨胀率问题。因为学生熟悉，最起码学生去想过这一问题，通过教学，不一定学生对这一问题的理解会很清楚，很深刻，但肯定的是在原来的基础上，对其理解会更进一步，它符合思维最近发展区原理。如果课堂教学能够把两个案例结合起来，先讲高台跳水，再讲气球的膨胀率问题，那么效果会更好。因为高台跳水让学生理解平均速度、瞬时速度等，而气球的膨胀率问题，则能够促使学生去思考。

这样自然引入导数的概念。

第18篇：导数的简单应用公开课反思

导数的简单应用公开课反思

株洲县五中

罗 灿

2017年3月15日我在高三347班上了一堂第二轮专题复习课，课题是《导数的简单应用》，感想颇多，反思如下： 一.学生对导数的简单应用学习情况分析

从学生作业及平时月考和周练情况看，两个班大部分学生在导数章节学习中存在如下几个问题：（1）导数计算不准确，特别是复合函数求导，如yex，yln(x)等函数求导时经常有同学出错。（2）导数有关概念不清或概念进一步理解不到位，如导数几何意义不熟悉，函数单调性与其导函数之间的关系不清晰，函数的极值定义理解上有偏差。（3）有关导数的解答题书写不规范，如不记得求函数的定义域，讨论函数的单调性时思维混乱，分析无条理，分类讨论不全等，求函数极值时丢失过程分等等。（4）分析能力欠缺，体现在两个方面：一方面是不会转化问题，如应用切线解决最值问题，另一方面讨论导函数符号时把握不了变形方向，面对不同问题没有相应的措施解决问题。 二．题组练习题选题的推敲

针对学生学习中存在的以上问题，我特别在题组练习题的选题上进行了反复推敲，首先是我对选题做了如下定位：（1）不易不难不偏；（2）突出重点概念；（3）不追求题型全面；（4）问答题突出高考解答题第21题第一问；（4）能力题突出学生学习问题中的两方面。在上述定位下，我选了三道概念理解题分别是：

1.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1,3)处的切线方程是2xy10.2.定义在R上的可导函数f\'(x)，已知yef\'(x)的图象

如图所示，则yf(x)的增区间是 (,2].3.已知函数f(x)的导函数为f\'(x)，若x2f\'(x)xf(x)sinx (x(0,6))，f()2，则下列结论正确的是（

D ）

A.xf(x)在(0,6)上单调递减

B.xf(x)在(0,6)上单调递增

C.xf(x)在(0,6)上有极小值2

D.xf(x)在(0,6)上有极大值2

上述三道题突出了导数的几何意义，函数的单调性与导函数之间的关系，函数的极值三个学生认知上有模糊，又是本章的核心概念。为进一步的应用打好基础。

能力题我选了四道题：

1.直线ya与直线y2(x1)，曲线yxlnx分别交于A,B两点，则|AB|的最小值为（

D ）

3

32 D.

242.已知函数f(x)ax2(a2)xlnx (a0)，讨论函数f(x)的单调性.

lnxx3的单调区间.3.求函数f(x)x4.讨论函数f(x)xe2xex的单调性.

上述第一题简单的方法是转化为用导数的几何意义解决，上述的第

二、

三、四题在导函数的变形和判号上层层递进，每题都有变化，但又不脱离解题的大方向。如大方向都是尽可能将导函数化积式，求出导函数的零点，从而进一步分析导函数在被零点划分的各个区间上的符号。不同之处是第一题导函数可通过因式分解化积式后直接求出零点；第二题导函数通分后，分子不能由和式化积式，从而不能通过解方程求零点，但可通过图象或通过观察分析获得零点；第三题既不能化积式解方程求零点，也不能观察或作图获得零点，只能再求二阶导数来分析导函数的图象进一步判号。

规范书写我选了一题：

2 1.已知函数f(x)ax3lnx，其中a为常数.

x22

3 （1）当函数f(x)的图象在点(,f())处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在[,3]332上的最小值；

（2）若函数f(x)在区间(0,)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.

主要强调学生在求极值或最值时要表格式书写。此外上述题的第二问考了学生在极值概念上的一个模糊点，大部分学生转化为ax2x20在R上有两个根。

A.3

B.2

C.三．课堂教学组织形式的琢磨

我一直认为自己在课堂教学组织上是有特色的，能随时关注学生学情，根据需要采取相应的组织措施，保证学生学习积极性和专注性。本堂课在这一块我也做了细致琢磨，采取了一下形式：小题由学生主动上黑板讲评，老师小结；问题二的第

二、

三、四题由三位学生主动上黑板书写，其他同学分组组织讨论。问题三的第二题由师生共同分析思路，老师多媒体演示规范的书写过程。 四．对以后教学的思考

每一节课后好好想一想，对下一节课一定会有所帮助。仔细思考这节课的得失，我有以下收获：对每堂课学案的反复推敲都是有必要的，只有这样做才能真正领会教材和考纲，才能真正使课堂发挥最好的效益；相信学生，让学生大胆说，大胆演示，不要总是老师一个人表演。

第19篇：导数在不等式中的应用

指导教师：杨晓静

摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。

关键字：导数的应用不等式证明方法

引言

不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。

拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f()\'f(b)f(a)

ba 应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)f(a)M(ba)或 证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。

（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)f(a)f()(ba) ，(a,b)

\'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)M，xa,b，则由上述等式得到不等式

f(b)f(a)M(ba)，或由的不确定性，计算出若f\'(x)的取值范围m,M,xa,b,则进而有不等式m(ba)

例：证明nbn1f(b)f(a)M(ba) (ab)ab

nnnnan1(ab) 证明：构造函数f(x)x，则显然f在区间b,a上满足拉格朗日中值定理，且

f(x)nx

nn\'n1， n1有abn(ab)，又

第20篇：导数在高中数学中的应用

导数在高中数学中的应用

导数是解决高中数学问题的重要工具之一，很多数学问题如果利用导数的方法来解决，不仅能迅速找到解题的切入点，甚至解决一些原来只是解决不了的问题。而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，化难为易，事半功倍的效果.如在求曲线的切线方程、方程的根、函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，所以它始终贯穿着函数思想。随着课改的不断深入，新课程增加了导数的内容，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经在高考中占有很重要的地位，导数已经成为解决问题的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究导函数其图像性质，来研究原函数的性质。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

导数在高中数学中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，尤其函数的单调性和函数的极值及最值，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求切线方程

方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。

《导数及其应用教学心得体会.doc》

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