2018中考数专题二次函数
（共40题）
1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
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3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
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5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线： （1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式； （2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A
1、A
2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B
1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
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7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
=，求二次函数的表达式．
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11．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 12．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
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13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
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15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S
1、S2，求S1﹣S2的最大值．
16．如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由； （3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
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17．如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点． （1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC． （1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出
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点H的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； （3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．
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21．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣
2，0）、B（0，﹣2）两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D\'E\'GF，当点D的对称点D\'落在抛物线上时，求此时点D\'的坐标；
（3）如图2，在x轴上有一点M（
2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？
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若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？ ②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．
24．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
x+
m
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（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B\'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标． 25．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
26．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，
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0）和点C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点E从点A出发，以每秒
个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．28．抛物线y=ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．
29．如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
=
，
（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； （3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC． ①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？ 30．如图，已知抛物线y=ax2﹣
2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点
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M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标； （3）证明：当直线l绕点D旋转时，
+
均为定值，并求出该定值．
31．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=
．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式． 【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D． （1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于
；
（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）
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的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
33．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣x+1交于点C（4，﹣2）． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长． （3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．
34．已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M
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的坐标．
35．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b=
，c=
；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．
36．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线
y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式；
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个单位的速度匀速
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
37．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，抛物线C1：y1=ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线C1的对称轴是
，用含a的代数式表示顶点P的坐标
； （2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
第19页（共118页）
①当m=1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．
39．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中 A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E． （1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标； （3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当
＜x≤
时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
40．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
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（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．
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参考答案与试题解析
（共40题）
1．（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上， ∴∴， ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B， ∴∴，
第22页（共118页）
，
∴直线AB的解析式为y=2x+4， 设E（m，2m+4）， ∴G（m，﹣m2﹣2m+4）， ∵四边形GEOB是平行四边形， ∴EG=OB=4，
∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4， ∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣
2，
）或（2﹣2
，﹣12+12
）． ∴G（﹣2，4）或（2+2
（3）①如图1，
，﹣12﹣12由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4， ∴设E（a，2a+4）， ∵直线AC：y=﹣x﹣6， ∴F（a，﹣a﹣6）， 设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6， ∴AB⊥AC， ∴EF为对角线，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6）， ∴a=﹣2，P=﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4）， ∴EH=，AE=2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P， ∴PE=，
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连接PC交⊙E于M，连接EM， ∴EM=EH=，
∴∵∴=， =，
=，∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA， ∴，
∴PM=AM，
∴AM+CM的最小值=PC， 设点P（p，2p+4）， ∵E（﹣2，0），
∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2， ∵PE=，
∴5（p+2）2=，
∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去）， ∴P（﹣，﹣1）， ∵C（0，﹣6）， ∴PC=即：AM+CM=．
=
，
第24页（共118页）
2．（2017•贵港）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
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【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a， ∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a， ∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∴S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C、D的坐标代入可得
，解得
，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=， ∴E（，0）， ∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，
第26页（共118页）
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2， ∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣此时抛物线解析式为y=
x2﹣
2x+
；
x2﹣2
x+
．
（舍去）或a=
，综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=3．（2017•滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
【解答】解： （1）由题意可得
，解得
，
∴直线解析式为y=x+3；
（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点
第27页（共118页）
Q，
则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°， ∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°， ∴△PQH∽△BOA， ∴==，
设H（m，m+3），则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1）， ∵A（﹣4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴==，
， ， 整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+∵＞0，
∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2×+1=∴当d取得最小值时P点坐标为（，
）；
，
（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
第28页（共118页）
∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小， ∵C（0，1）， ∴C′（2，1），
由（2）可知当x=2时，d=×（2﹣）2+即CE+EF的最小值为
．
=
，
4．（2017•广安）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
第29页（共118页）
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1， ∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3）， ∴c=3，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3， ∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t， ∵P在抛物线上， ∴P（2t，﹣4t2+4t+3）， ∵四边形OMPN为矩形， ∴ON=PM，
∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去）， ∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形； ②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3， ∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况， 由题意可知OM=2t， ∴Q（2t，﹣2t+3）， ∴OQ=
=
，BQ=
第30页（共118页）
=|2t﹣3|，
又由题意可知0＜t＜1， 当OB=QB时，则有当OQ=BQ时，则有综上可知当t的值为|2t﹣3|=3，解得t=
=
（舍去）或t=
；
|2t﹣3|，解得t=；
或时，△BOQ为等腰三角形．
5．（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1， ∴OD=6，且CD=8， ∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
第31页（共118页）
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|， ∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
第32页（共118页）
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5， ∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
6．（2017•贵阳）我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式； （2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A
1、A
2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B
1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）， ∴，解得
，
∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；
（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣∴﹣=﹣2×（﹣），
，﹣
），且该点在直线y=﹣2x上，
∵a≠0，∴﹣b2=4b，
第33页（共118页）
解得b1=﹣4，b2=0；
（3）这组抛物线的顶点A
1、A
2、…，An在直线y=﹣2x上， 由（2）可知，b=4或b=0．
①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去； ②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．
由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k）， ∴﹣=﹣n﹣k，∴a=
=﹣
， x2﹣4x， ∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上， ∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，
∵n，k为正整数，且n≤12， ∴n1=5，n2=10． 当n=5时，k=4，n+k=9；
当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去）， ∴D5（﹣15，10）， ∴正方形的边长是10．
7．（2017•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
第34页（共118页）
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
，解得
，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点， ∵C（0，﹣4）， ∴D（0，﹣2）， ∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在满足条件的P点，其坐标为（（3）∵点P在抛物线上， ∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
，﹣2）；
（小于0，舍去）或x=
，
第35页（共118页）
∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴直线BC解析式为y=x﹣4， ∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6， ∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
8．（2017•西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第36页（共118页）
【解答】解：
（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3， ∴A（4，0），C（0，3）， ∵抛物线经过O、A两点， ∴抛物线顶点坐标为（2，3），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x； （2）△EDB为等腰直角三角形． 证明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20， ∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD， ∴△EDB为等腰直角三角形； （3）存在．理由如下： 设直线BE解析式为y=kx+b， 把B、E坐标代入可得
，解得
，
∴直线BE解析式为y=x+1， 当x=2时，y=2， ∴F（2，2），
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的
第37页（共118页）
距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴x=，
，2）；
， ，
∴M点坐标为（在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴x=，
，﹣2）； ∴M点坐标为（②当AF为平行四边形的对角线时， ∵A（4，0），F（2，2），
∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1）， 设M（t，﹣t2+3t），N（x，0）， 则﹣t2+3t=2，解得t=∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴t=，
，2）；
，2）或（
，﹣2）．
，
∴M点坐标为（综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（9．（2017•盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式；
第38页（共118页）
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴，
∴，
∴y=﹣x2﹣x+2； （2）①如图，令y=0， ∴﹣x2﹣x+2=0， ∴x1=﹣4，x2=1， ∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴==，
第39页（共118页）
设D（a，﹣a2﹣a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1，0）， ∴N（1，），
∴==
（a+2）2+；
∴当a=﹣2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P， ∴P（﹣，0）， ∴PA=PC=PB=， ∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG， ∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=， 即，
令D（a，﹣a2﹣a+2）， ∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，
∴，
∴a1=0（舍去），a2=﹣2，
第40页（共118页）
∴xD=﹣2，
情况二，∴∠FDC=2∠BAC， ∴tan∠FDC=， 设FC=4k， ∴DF=3k，DC=5k， ∵tan∠DGC==，
∴FG=6k， ∴CG=2k，DG=3k，
∴RC=k，RG=k， DR=3k﹣k=k，
∴==，∴a1=0（舍去），a2=﹣， 点D的横坐标为﹣2或﹣
．
第41页（共118页）
10．（2017•株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1， ①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
=，求二次函数的表达式．
【解答】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=， 当b=1时，=，
∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=． ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b，
），
∴，解得：b=，
∴b为，二次函数的图象与x轴相切． ③∵AB是半圆的直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠OAM+∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°， ∴∠OAM+∠OMA=90°， ∴∠OMA=∠OBM，
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∴△OAM∽△OMB， ∴，
∴OM2=OA•OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）， ∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1）， ∵OM=c+1， ∴（c+1）2=c+1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去）， ∴c=0，OM=1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足∴AD=BD，DF=4DE， DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF， ∴∴DE=∴，，DF=×4， ， ，
=，
∴OB=4OA，即x2=﹣4x1， ∵x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，
∴，解得：，
∴b=﹣+2=，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．
11．（2017•枣庄）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
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（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
，解得
，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|， ∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°， ∴△FBG∽△BDE， ∴=，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6， ∴BG=6﹣x，
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∴=，
当点F在x轴上方时，有（﹣1，）；
=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为当点F在x轴下方时，有为（﹣3，﹣）；
=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形， ∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上， 设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n）， ∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上， ∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+
或n=﹣1﹣
，
）． ∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣212．（2017•海南）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求
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出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣
x+3；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方， ∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N， ∴M（t，0），N（t，t+3）， ∴PN=t+3﹣（t2﹣
t+3）=﹣（t﹣）2+
联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，
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则CE=t，DF=7﹣t， ∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=2PN•CE+PN•DF=PN=[﹣（t﹣
）2+
]=﹣（t﹣）+，
； ∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°， ∴当△CNQ与△PBM相似时，有∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3）， ∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t， ∴=，
t+3），M（t，0），B（5，0），
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或=两种情况，
∵P（t，t2﹣
∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣当
t+3）=﹣t2+
t﹣3，
时，则PM=BM，即﹣t2+
t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，﹣）； 当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+，﹣）；
，﹣
）．
t﹣3），解得t=
或t=5（舍去），此时P（综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（
13．（2017•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． ∴A（﹣2，0），
把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得
，
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解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）． 在Rt△BOC中，BC=
=5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H． ∴NH∥CO， ∴△BHN∽△BOC， ∴，即=，
∴HN=t．
∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t=﹣当△PBQ存在时，0＜t＜2， ∴当t=1时， S△PBQ最大=．
；
t2+t=﹣
（t﹣1）2+
，
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）如图2， 在Rt△OBC中，cos∠B=
=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．
当∠MNB=90°时，cos∠B=化简，得17t=24，解得t=
=，即，
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=，
当∠BMN=90°时，cos∠B=化简，得19t=30，解得t=综上所述：t=或t=
=， ，
时，△MBN为直角三角形．
14．（2017•广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
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