正交试验设计过程
对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因实验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
一、正交试验设计的概念及原理
1、正交试验设计的基本概念
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。
2、正交试验设计的基本原理
在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示（图10-1），3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点。若27个网格点都试验，就是全面试验。3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在科学试验中是有可能做不到的。正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点来进行试验。
3、正交表及其基本性质
3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用到正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计师选用（详见有关参考书）。正交表记号为La（bc），其中L代表正交表，a表示试验的次数即行数，b表示因素的水平数，c表示因素的个数即列数。
3.2 正交表的基本性质
3.2.1正交性
•任一列中，各水平都出现，且出项的次数相等；
• 任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等；
3.2.2代表性
•
• 一方面，任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。 另一方面，由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
3.2.3综合可比性
任一列的各水平出现的次数相等；任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 •所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。
所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的
5、试验结果分析
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• 分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素； 判断因素对试验指标影响的显著程度； 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好； 分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向； 了解各因素之间的交互作用情况； 估计试验误差的大小。
5.1直观分析法——极差分析法
计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。
Rj为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据Rj大小，可以判断因素的主次顺序。
Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和，kjm为Kjm平均值。由kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。
5.1.1确定试验因素的优水平和最优水平组合
分析A因素各水平对试验指标的影响。根据正交设计的特性，对A
1、A
2、A
3、A4来说，四组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么kA
1、kA
2、kA
3、kA4应该相等。如果kA
1、kA
2、kA
3、kA4不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因此，根据kA
1、kA
2、kA
3、kA4的大小可以判断A
1、A
2、A
3、A4对试验指标的影响大小。由于试验指标为产率，若kA2>kA3>kA1>kA4，所以可断定A2为A因素的优水平。
同理，可以计算并确定B、C、D因素的优水平。
5.1.1确定试验因素的优水平和最优水平组合
分析A因素各水平对试验指标的影响。根据正交设计的特性，对A
1、A
2、A
3、A4来说，四组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么kA
1、kA
2、kA
3、kA4应该相等。如果kA
1、kA
2、kA
3、kA4不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因此，根据kA
1、kA
2、kA
3、kA4的大小可以判断A
1、A
2、A
3、A4对试验指标的影响大小。由于试验指标为产率，若kA2>kA3>kA1>kA4，所以可断定A2为A因素的优水平。
同理，可以计算并确定B、C、D因素的优水平。
5.1.2确定因素的主次顺序
根据极差Rj的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。极差越大的，该因素对产率的影响越大，反之越小。
5.1.3绘制因素与指标趋势图
以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（kjm）为纵坐标，绘制因素与指标趋势图。由因素与指标趋势图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。
最后得出试验的最优组合和次优组合。
5.2方差分析
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量
估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著
5.2.1 偏差平方和
1616
nS总（y
n1
2y）2
j2n12jynCTIV2j2CTG21616,Gn1yn,f总16115S因素IjIIIII4CT
Ij、IIj、IIIj、IVj分别表示第j列中1,2,3,4水平对应的试验结果之和。
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和。
5.2.2自由度
f总=试验的次数-1；f因=因素的水平数-1。
5.2.3方差
A因素的方差=A因素的偏差平方和/A因素的自由度
误差的方差=误差的偏差平方和/误差的自由度
5.2.4构造F统计量
5.2.5列方差分析表，作F检验
•
•
• 当FA>F0.01(f1，f2)时，说明该因子水平的改变，对试验结果有高度显著地影响，记作**。 当F0.01(f1,f2)>FA>F0.05(f1,f2)时，说明该因子水平的改变，对试验结果有显著地影响，记作*。 当F0.05(f1,f2)>FA>F0.10(f1,f2)时，说明该因子水平的改变，对试验结果有一定的影响，记作*-。
查表可得F0.01(f1，f2)、F0.05(f1,f2)、F0.10(f1,f2)的值。
6、验证试验结果
经结果分析得出最优生产条件，进行最优试验条件的验证。
7、结论
通过了验证试验，最后可以得出结论。
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[作者简介] 孙百虎（1981-）男，陕西西安人，助教，天津大学在读硕士，研究方向：生物技术。
S因素
F因素f因素S误差
f误差
