高中数学排列组合典型例题精讲

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成

1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素

2、排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 ．．．．．

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）

（2合作探究二排列数的定义及公式

3、排列数：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

4、排列数公式推导

探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数An是多少？An呢？An呢？ mnn(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn） 23m

说明：公式特征：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个

因数是nm1，共有m个因数；

（2）m,nN,mn

即学即练:

1.计算 (1）A10； (2）A5 ；(3)A5A3

2.已知A101095，那么mm4253

3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为()

50k293030A．A79kB．A79kC．A79kD．A50k

例1． 计算从a,b,c这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

5、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。

此时在排列数公式中， m = n

全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）.

即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）4A3（2）A4（3）n(n1)!

排列数公式的另一种形式：

mAn3n4 (nm)!

另外，我们规定 0! =1 .例2．求证：AnmAnmm1mAn1．

解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解：

左边=

n！mn！（n-m1）n！mn!(n1)!Am

n1右边 （nm）！（nm1)!(nm1）！(nm1）！

点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。

75AnAn89，求n的值。变式训练：已知（n=15） 5An

1．若xn!，则x（ ） 3!

3n3n3(B)An(C)A3(D)An3 (A)An

2．若Am2Am，则m的值为（ ） 53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3． 已知An56，那么n

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火车）？

1.计算 (1）A10； (2）A5 ；(3)A5A3

2.已知A101095，那么mm24253

3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为()

50k293030A．A79kB．A79kC．A79kD．A50k

例1． 计算从a,b,c这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

1．若xn!，则x（ ） 3!

3n3n3(B)An(C)A3(D)An3 (A)An

2．若Am2Am，则m的值为（ ） 53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3． 已知An56，那么n；

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火车）？

1．下列各式中与排列数An相等的是（） m

mnAnn!1m11（A） （B）n(n－1)(n－2)„„(n－m) （C） （D）AnAn1 nm1(nm1)!

2．若 n∈N且 n

（A）A27n（B）A34n（C）A34n（D）A34n

3．若S=A1A2A3A100，则S的个位数字是（）

（A）0（B）3（C）5（D）8

4.已知An6An-5，则。

542A87A8 5.计算5A8A89

1An

n16．解不等式：2＜n142 An122123100827n78

1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个

2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方

法共有（）

（A）12种（B）18种（C）24种（D）96种

3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不

同排法共有（）

（A）6种（B）9种（C）18种（D）24种

4．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种．

例

1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多

少场比赛？

解：

(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？

(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？

例

2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

例

3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方

案共有（）

（A）A8种（B）A8种（C）A4·A4种（D）A4种

例

4、三个女生和五个男生排成一排．

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

8444

4（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？

点评：

1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的

元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。

2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限

制元素插人到允许的位置上．

变式训练：

1、6个人站一排，甲不在排头，共有

2．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有

1．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为（）

（A）l：l （B）2：3（C） 12：13（D） 21：23

2．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （） （A）

42031 （B）42103（C）42130（D）43021

3．若直线方程AX十By=0的系数A、B可以从o， 1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表

示的直线条数是（）

（A）A5一2B）A5（C）A5+2（D）A5－2A522221

4．从a，b，c，d，e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有（）

A A4A5B A3A3CA5DA4A4

5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有种不

同的种植方法。

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种。

7、某产品的加工需要经过5道工序，

（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？

（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？

1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种B．10种C．12种D．16种

2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有

（）

A．3种B．6种C．1种D．27种

3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为

（）

50k293030A．A79kB．A79kC．A79kD．A50k 1312413

4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（）

A．24种B．72种C．96种D．120种

5.4·５·6·7·„·(n-1)·ｎ等于（）

A.An

2n4B.Ann3C.ｎ！－4！D.n!4!6.An1与An的大小关系是（）

A.An1AnB.An1AnC.An1An

7．给出下列问题：

2323233D.大小关系不定

①有10个车站，共需要准备多少种车票？

②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？

以上问题中，属于排列问题的是（填写问题的编号）。

8．若x{x|Z,|x|4} ，y{y|yZ,|y|5}，则以(x,y)为坐标的点共有

9.若x=n!m,则x用An的形式表示为x3!

mm1mm110.(1)AnAn1；（2）AnAn

m 711．（1）已知A101095，那么m；（2）已知9!362880，那么A9（3）已

知An56，那么n（4）已知An7An4，那么n．

12．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不

同的方法？

13．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

32123414．计算：（1）5A54A4（2）A4A4A4A

416．求证： AnmAnmm1mAn1；222

565A7A62A93A9617.计算：①6② 659!A10A6A5

18．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？

排列与排列数作业(2)

1．与A10A7不等的是（）

98910(B)81A8(C)10A9(D)A10 (A)A1037

2．若Am2Am，则m的值为（） 53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3.100×99×98ׄ×89等于（）

A.A100B.A100C.A100

2101112 D.A100 134.已知An＝132，则n等于（）

A.11B.12C.13D.以上都不对

5．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的

数字均不相同的填法多少种？（）

A． 6B． 9C． 11D． 23

6．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能停在第一条

轨道上，则五列火车的停车方法有多少种 （）

A．78B．72C．120D．96

7．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍的共有多少个

（）

A．9B．21C． 24D．42

8．从9,5,0,1,2,3,7七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程axbyc0的系数，则倾斜角

为钝角的直线共有多少条？（）

A．14B．30C． 70D．60

9.把3张电影票分给10人中的3人，分法种数为（）

A.2160B.240C.720D.120

10.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数（）

A.A44 B.14A42 C.A5 5D.15A5 2

11．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进

行实验，有种不同的种植方法。

12．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种。

13．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成.

（2）由数字1，2，3，4，5可以组成个无重复数字，并且比13000大的正整数？

14．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐

节目要求排在第

2、

5、

7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第

3、

6、9的位置，2个曲艺节目要求排在

第4、8的位置，共有种不同的排法？

15．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有序的方法.（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有种排列加顺序的方法.

16．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，

要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有种不同的排法？

17.求证：A12A23A3nAnAn11

123nn1

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