排列组合教案模板（精选多篇）

发布时间：2020-04-18 13:21:31 来源：教案模板收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：排列组合教案

排列组合

教学内容：教学目标：

1、结合日常生活中熟悉的事例，能列举3个事物所有的排列组合结果。

2、通过独立思考，合作交流，逐步感悟数学思想，积累数学经验，了解简单的排列组合思想。

3、初步培养学生有顺序地、比较全面地思考问题的意识。教学重点：在学生已有生活经验下，有条理的列举出所有结果。教学难点：由列举具体结果抽象为数学模式。教学过程：

一、谈话导入

你们能猜到老师的年龄吗？指名猜一猜

提示：老师的年龄是由9和2两个数字组成的。引导学生说出一定是29岁。

目的：两个数排列，可能有两种结果，根据生活经验老师的年龄一定是29岁。培养学生要根据生活经验作出选择，同时为下面的的三个事物的排列组合做铺垫。

二、探究3个事物的排列组合结果

1、这节课我们要玩一个小游戏，不过在玩游戏之前要先把密码输入进去才能知道游戏的名字和规则。

2、出示课件。

密码是由

1、

2、3这三个数中的两个组成的，你们能猜到吗？

3、猜密码

（1）你认为密码一定是12吗？

多找几名同学猜密码，得到答案只猜到一个或一部分的密码是不一定正确的。

（2）怎么样才能保证密码一定正确呢？

把所有由这三个数组成的两位数全部找出来。

小组合作，用准备好的数字卡片摆一摆，并作好记录（结果可能有找到6个、5个7个……）一一进行比较，发现有漏掉的，有重复的。

（3）如何才能把所有的可能全部写出来，既不漏掉也不重复呢？

按照一定的顺序来写

学生自己整理答案，全班展示交流，学生说出自己的方法。可以先确定十位，也可以确定各位，还可以两个一组，调换两个数的位置。

（4）输入密码

在输入密码时保证不重复不漏掉，要按照一定的顺序输入。

三、由列举具体结果抽象为教学模式

1、出示游戏规则

密码找到了，我们来看看要玩什么游戏吧！（课件出示：石头、剪刀、布）每个小组三名同学玩一次石头剪刀布的游戏，分出第一名、第二名、第三名并做好记录。

汇报结果

2、提问：谁获得了第一名？假如第一名不变，比赛结果会不会有变化？再次游戏，第一名不变，分出第二名和第三名。结果有两种，第一名不变，第二名和第三名，调换位置。

3、小组讨论

其他人有没有可能获得第一名？（肯定有）

当1号2号3号同学分别获得第一名的时候，结果会有几种，并全部列举出来。

4、展示结果，并根据结果提问。

（1）你获得第一名的时候结果有几种？分别是什么？（2） 1号同学第一名时结果有几种？2号、3号呢？

5、建构模式

每个人获得第一名结果都可能有两种，三名同学一共可能有几种结果呢？结果是3个2--------（师板书：3×2=6（种））

小结：三人比赛，可能有六种结果。我们先确定一个名次，然后把另外的两

个名次调换位置，就会产生两种不同的结果，三个人就是六种结果。

6、比赛结束拍照

三个人拍照调换三人的位置可能照出出几种不同的照片？

7、将名次转换成数位，形成三个数的排列可以组成6个不同的三位数。说说方法：先确定百位，把每个数分别放在百位上，再调换另外两个数的位置。

也可以先确定十位，或个位。

四、列举现实生活中三个事物排列组合的例子

1、【读书好】本意是读书是一件很好的事。

【读好书】意为读一些有利于自己身心健康的书或值得自己读的书。【好读书】意指嗜好读书，爱读书。

板书设计：

不漏掉

不重复

3 × 2 = 6 （种）

推荐第2篇：《排列组合》教案

《排列组合》教学设计

上泉小学赵泽旻

一、教学目标

知识目标:通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。

能力目标:经历探索简单事物排列与组合规律的过程，培养学生有顺序地、全面思考问题的意识。

情感价值观目标:让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生学习数学的兴趣和用数学解决问题的意识。

二、教学重难点

教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。突破方法：通过创设情境，自主探究突破重点。教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。突破方法：通过合作交流、探讨突破难点。

三、教学准备

课件、数字卡片、数位表格

四、教学方法与手段

1.从生活情景出发，结合学生感兴趣的动画故事为学生创设探究学习的情境。

2.采用观察法、操作法、探究法、讲授法、演示法等教学方法，通过让学生动手操作、独立思考和开展小组合作交流活动，完善自己的想法，努力构建学生独特的学习方式。

3.通过灵活、有趣的练习，如：握手、拍照等游戏，提高学生解决问题的能力，同时寻求解决问题的多种办法。

五、教学过程

（一）创设情境，激发兴趣

1.故事导入：灰太狼抓走了美羊羊，为了阻止喜洋洋来救，设置了门锁密码，要想闯关成功，要了解一个知识—搭配，揭示课题。 2.猜一猜第一关的密码是由

1、2两个数字组成的两位数，个位上的数字比十位上的数字大，这个密码可能是多少？

（二）动手操作，探索新知 1.过渡谈话，引出例 1 灰太狼增加了难度，在第二关设置了超级密码锁，密码是

1、2 和 3 组成的两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？” （课件出示例 1） 2.尝试学习，自主探究

（1）引导理清题意：你都知道了什么

（2）指导学法：你有什么办法解决这个问题？

（3）动手操作：分发3张数字卡片，任意选取其中两张摆一摆，组成不同的两位数。鼓励学生动脑，找规律去摆，比一比谁摆的数多而不重复。

3.小组交流，展示成果

（1）小组交流：学生自主摆完后，小组交流讨论，探讨排列的方法。

（2）展示成果：指名上黑板展示。 4.交流摆法，总结规律

① 交换位置：有顺序的从这 3 个数字中选择 2 个数字，组成两位数，再把位置交换，又组成另外一个两位数

② 固定十位：先确定十位，再将个位变动。 ③ 固定个位：先确定个位，再将十位变动。小结：以上这些办法很有规律，他们的好处：不重复，不遗漏，有顺序。

5.区分排列和组合

握手游戏：每两个人握一次手，3个人握几次手？

这些与顺序有关的问题，我们叫排列。与顺序无关的问题，我们叫组合。

（三）应用拓展，深化方法 1.任务一：比一比谁最快。

2.任务二：购物小超市，买一个拼音本，可以怎样付钱？ 3.任务三：涂颜色（教材 97页“ 做一做”）

学生独立思考，动手完成涂色。 4.任务四：搭配衣服。

5.组词：“读、好、书”一共有几种读法？

（四）总结延伸，畅谈感受

今天这节课有趣吗？同学们在数学广角里学到了什么？你有什么收获？以后在解决这类问题时应注意什么？

（五）课后作业

拍照游戏，3个人站一起拍照有几种站法？4个人呢？

六、板书设计

排列与组合 1、2 —— 12 21

1、

2、3 ——12 21 23 32 13 31 12 13 21 23 31 32 21 31 12 32 13 23

推荐第3篇：排列组合教案

课题：数学广角—搭配

（二）第一课时简单的排列问题授课教师：魏亚楠

教学内容：教材101页例1及做一做第1题、第2题、104页练习二十二第1题教学目标：

1、通过观察、猜测、实验等活动，使学生找出简单事物的排列和组合方式。

2、经历探索简单事物排列组合的过程，培养初步的观察，分析和推理的能力以及有顺序地全面思考问题的意识。

3、在解决实际问题的过程中，体验成功的乐趣，激发学生学习数学的乐趣。教学重点：经历探索简单事物排列组合的过程，学会有序思考的方法。

教学难点：让学生初步感悟简单的排列组合的数学思想方法，用有序思考的方法解决实际问题。

教学过程：

一、探究新知

（一）创设问题情境

师：今天我们要学习的内容是数学广角中的简单排列组合问题。

（二）提出研讨问题

1、回忆下二年级的时候有没有学过两位数的排列组合呢？

要求：无重复、无遗漏

2、现在老师手里有三张卡片

1、

3、5 请同学们想想怎么将这三个数排列为没有重复的两位数呢？

3、现在老师手里又多了一张卡片“0”请结合刚学过的表示方法，看一看能排列出多少个无重复的两位数呢？

（三）提出研讨要求

师：请大家拿出笔和纸和老师一起验证一下。

（四）暴露学生资源

预设①：0

1、0

3、0

5、

10、

13、

15、30、

31、

35、50、

51、53 共12种预设②：

10、30、50、

13、

31、

15、

51、

35、53 共9种

预设③：十个（固定十位法）预设④：十个（固定个位法） 1 0 1 3 1 5 3 0 3 1 3 5 5 0 5 1 5 3 共9种

（五）组织互动研讨

1 3 5 3 5 1

0 0 0 1 1 3

5 3 1

3 5 共9种

同学们我们在上二年级的时候有没有学过两位数的排列组合呢，不记得也没关系，今天老师就带领大家，在回忆一下～

看老师手里有两张卡片，

3、5 同学们如果我将这两个数字用\"个十\"的表示方法进行排列的话，会有几种排列结果呢，在这里老师有一个要求:就是要做到无重复，无遗漏！首先我们可将3放在十位上，那么5就在各位上，这样的组合结果为35。接下来我们将5放在十位上，3放在个位上，那么这样的组合结果为53。通过交换两个数字的位置就可以得到不同的排列结果，这样的方法我们可以将它定义为:交换法。

同学们刚才老师是针对两个数字进行的排列，那同学们想一想如果是三位数字，怎么将他们进行排列，才能做到无重复，无遗漏呢？

现在老师手里有三张卡片

1、

3、5，接下来请同学们想想怎么将这三个数排列为没有重复的两位数呢？

我们可以先把其中一个数固定不变，剩下的两个数拿来分别组合。同样我们用\"个十\"的表示方法进行排列，首先我们可以先将1固定不变，放到十位上，那么就可以将剩下的

3、5分别和1进行组合，这样我们就找到了两个十位数13和15。接下来我们再将3固定不变放到十位上，就可以得到31和35两个十位数。最后我们将5固定不变放到十位上也可以得到两个十位数，51和53，这样我们就得到了6个无重复且无遗漏的两位数。分别是

13、

15、

31、

35、

51、53有没有细心的同学观察到，老师总是将固定不变的数放到十位上呀，那么放到个位上，是不是同样能够得到上面的数字，并且得到的结果是不是一样呢，下面我们就一起来验证一下。综合两种组合结果，我们又可以得到两种排列方法:固定十位法、固定个位。

接下来老师要考考你们了，现在老师手里又多出了一张卡片0 1 3 5 请结合咱们以上学过的三种方法将这四张卡片用“个十”的表示方法，看一看能排列出多少个无重复的两位数呢。

四、课堂小结

同学们，这节课大家一起发现排列组合问题的一些规律。我们在解决此类问题的时候一定要做到有序、全面思考，做到不重复不遗漏。排列的问题在生活中有着广泛的应用，还有更多的规律我们没有发现，老师相信你们，一定会动脑筋找到和解决这些数学问题的规律。

板书设计：

简单的排列问题

0不能作最高位

有序、全面

推荐第4篇：二年级排列组合教案

教学目标：

1．通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。

2．初步学会从数学的角度发现最简单的排列与组合的规律，培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，解决一些简单的实际问题。

3．感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣。使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。

教学准备：多媒体课件、数字卡片、1角、2角、5角的人民币（复印纸）。教学过程：

一、创设情境，引发探究

1、师：同学们喜欢去公园玩吗？生：喜欢。

师：今天黄老师带你们去一个很有趣的地方，哪儿呢？我们今天要到“数学广角”城堡里去走一走、看一看。板书：数学广角

2、师：在参观数学广角城堡之前，老师有个小小要求： ①、想一想（怎样搭配）

②、摆一摆（试一试不同的方法） ③、记一记（用简单的符号记录） ④、说一说（让同学一听就明白）

3、师：（课件出示）去“数学广角”城堡得买门票，儿童票5角钱一张，请大家将准备好的三种分别是５角、２角和１角的钱拿出来。如果你能用这些钱币说出组成5角钱的不种付法，就可免费到数学广角城堡去玩。

4、学生小组合作后，汇报：生①1张5角，

生②2张2角1张1角，生③1张2角3张1角，生④5张1角。）教师点评。

[设计意图]：激趣导入，让学生在游戏中产生兴趣，在活动中找到启示。

二、动手操作、探究新知

1、初步感知排列

①师：（课件出示）小朋友们，现在我们就可以免费进入“数学广角”城堡了。不过，要进去玩，我们又得经过一个小小的密码门，密码是用数字1和2组成的不同的两位数。同学们猜猜看。

学生猜想，操作，之后汇报。

师：你是怎么想的？

板书：１２２１交换位置

②（课件出示）密码门打开了，我们又顺利通过了一关，欢迎大家来到数字乐园。数字乐园里有个很好玩的小游戏：有

1、

2、3三张数字卡片，可以摆成几个不同的两位数呢？

师：同桌合作，一人摆数字卡片，一人把摆好的数记录下来，先商量一下谁摆放，谁记数，比比哪桌合作得又好又快。学生讨论，操作，记录。

师：谁愿意起来告诉大家，你摆了哪几个两位数？

2、合作探究排列师：为什么有的同学摆的数多，而有的同学却摆的少呢？有什么好办法能保证既不遗漏、又不重复呢？请每个小组进行讨论，看看有什么规律或方法？再按你们的方法，一边摆，一边记下来。

学生带着问题进行第二次操作。师：哪个小组愿意来汇报？（生汇报，师简要板书）

生①：先摆出12，再交换两个数的位置就是21；再摆23，交换后是32；最后摆13，交换后就是31，这样就不会漏也不会重复了。

生②：先把数字1放在十位，再把数字2和3分别放在个位，分别组成12和13；接着把数字2放在十位，数字1和3分别放在个位，又分别组成了21和23；最后把数字3放在十位，数字1和2分别放在个位，分别组成了31和32，这样也不会遗漏也不会重复了。

生③：先把数字1放在个位，再把数字2和3分别放在十个位，分别组成21和31；接着把数字2放在个位，数字1和3分别放在十位，又分别组成了12和32；最后把数字3放在个位，数字1和2分别放在十位，分别组成了13和23，这样也不会漏也不会重复了！根据学生回答。板书：先定位，再交换位置。方法

一、

二、三。

师：同学们采用了不同的方法都摆出了6个不同的两位数。真了不起啊！今后我们在排列数的时候，要想既不重复也不漏掉，就要这样按照一定的规律排列。

师小结规律：两个数字的排列，调换两个数字的位置；三个数字的排列，先拿这３个数字分别定位，再调换另外两个数字的位置。

[设计意图]：让学生在体验中感受，在操作活动中成功，在交流中找到方法，在学习中应用。初步培养学生有顺序地、全面的思考问题的意识。 3．了解感知组合

师：同学们，你们用自己的聪明才智赢来了免费游玩数学广角的门票，也在数字乐园里挑战了一个有趣的摆数字游戏，老师祝贺你们（教师不自主的一边走一边伸手和同学握手）。提到握手，老师又有一个问题想请大家帮忙，愿意吗？问题是：如果三个人在一起握手，每两个人握一次，一共要握多少次呢？

学生猜想。小组表演，并汇报。板书：每两人组合一次

师：老师现在有一个疑问，刚才握手时3个人在一起一共只要握3次，而排数字卡片时用3个数却可以摆出6个数，都是3，为什么出现的结果会不一样呢？板书：简单的排列与组合

规律小结：摆数是一种排列，与位置有关。握手是一种组合，与位置无关。摆数要交换两个数的位置，而握手交换位置就重复了。

三、应用拓展，深化探究

1、搭配衣服（应用练习）

师：在数字乐园里，我们一边玩，一边学到了简单的排列与组合，现在我们去哪里玩呢？我们一起来看看！

师（出示课件）：欢迎到时装乐园观看时装表演，这里有两件不同颜色的上衣，一条牛仔裤和一条裙子，有几种不同的搭配穿法呢? 学生在课本上连一连，画一画。之后汇报。教师点评。

2、乒乓球馆（变式练习）

师（出示课件）：同学们，欣赏完时装表演，我们到乒乓球馆里来锻炼一下。乒乓球台旁有三个人，每两个人打一场比赛，一共要打几场比赛？学生猜想，汇报。教师点评。

[设计意图]：用实践活动培养学生的实践意识和应用意识，同时使学生享受到学习的乐趣。并通过不同形式的练习，不但联系学生的生活实际，而且巩固了所学的知识。

四、总结延伸，畅谈感受

师：同学们，由于时间关系，我们该回家了！刚才，我们去哪里玩了？数学广角好玩吗，有趣吗，大家都看到了什么？有什么收获吗？

师：课后调查，生活中哪里用到了今天学到的知识？

推荐第5篇：排列组合教案.（整理）

数学广角

《课题一

排列组合》教学设计

吉林省抚松县外国语学校李乃香

教学内容：

《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。

教材分析：

课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标：

1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。

2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。

情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。教学重点：有序排列的思想和方法

过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排列与组合的思想方法。课时：1课时教学设计情景导入

师：同学们喜欢去广场吗？为什么？走进新课

师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？

在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。学生分组讨论汇报交流

同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。展开活动

1、开启大门

数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道门的密码可能是那些数？生；

12、21。

师：这两个数字有什么不同？生：这两个数字交换了位置。

师：密码到底是哪个两位数呢？我们来试试看（课件演示：密码跳动，跳到12时门不开）

师：数学广角里有这么多好玩的，数字乐园、生活乐园、运动乐园，我们先到哪玩呢？

2、数字乐园

小小魔术师，你们可以把

1、

2、

3、三个数变成不同的两位数吗？同学任意说一个，

师；到底能变成多少个呢？你能找到其中的规律吗？

请同学两人一组分工合作，一人拿出数学卡片摆，另一人就在纸上把摆的数字记录下来，看看哪个组写的最全。学生俩人一组，合作操作，一人边摆一人记。

学生汇报

师：有没有不同意见，要想排列的数不重复又不遗漏，你有什么好办法？

探讨排列方法（如果学生总结的不全，老师可以这样说：我有一种好办法，小朋友想听吗？）

3、生活乐园

我们来到了一家商店，你看到了什么商品？多少钱？你打算怎样付钱？

把你准备的钱举起来。

汇报，课件随同演示各种付钱方法。

4、运动乐园

师：我们要到盼望已久的运动乐园了，课件出示图，引导学生看图，图上的小朋友每两人握一次手能握几次？

小组三人试试看

汇报

三个小朋友演示给同学看

师：他们握手表达了快乐的心情，来到了打乒乓球室，他们为了决出胜负准备每两人打一场，你算算共几打场？三人共打几场？

师：咦！排数时3个数字能摆成6个两位数，比赛时3个人却只能之梦比3场？

比赛结束了运动员来到了食堂。食堂师傅特别注意运动员的营养搭配，要求从给出的三个三荤三素中选出一荤一素，你有几种选择？

课件出示：

青椒肉丝

小白菜红烧排骨

藕条红烧牛肉

豆芽

师：真聪明！这位同学按照一定的顺序和规律来排列，既不重复又不遗漏，有没有不同的排列方法？

同学们几天表现棒极了，希望同学在今后的饮食中注意营养搭配，做到不挑食比偏食，只有这样才能更有利于我们身体健康成长课堂小节

今天我们游玩了数学广角，你们玩的开心吗？除了开心之外，还有什么收获？

同学们收获可真大，老师真为你们高兴！希望同学们在今后的学习中，再接在励，争取学到更多的知识！教学反思：

课程标准确立了“为了每一位学生的发展”的理念，因此这节课我以学生自主观察、探究为基础，这样学生无论是心理上的自我激励，自信心的增强，还是遇到问题想办法去克服，都会得到体验。而以探究、理解、亲身实践、分享与合作为特征的新型学习方式，更容易引导学生理解知识的意义，发展创造性，形成积极的学习态度和正确的价值观。

《数学广角》中的里1与做一做，重在向学生渗透简单的排列组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

为使学生能轻松愉快的理解排列与组合的思想方法，我以游戏贯穿始终，我将数学广角作为游戏场所介绍给学生，在一项一项的游艺活动中把排列与组合的思想方法渗透进去，让学生在不知不觉中去感知如何排列，何谓组合，具体设计如下：

一:注重课堂与生活紧密联系

玩是大家共同的话题，在课的开始问学生喜欢去公园吗？为什么？教室里一下变的热闹起来，都想把去公园的经过告诉同学们，激起了学生说的欲望。

接下来我们去数学广角要打扮一下自己，学生异常的兴奋，拿出手中衣服细致的拼摆。由于是自己生活中感兴趣的问题，在汇报中大胆地说出了自己的理由。

二：多种活动，多种感受，达到不同的收获

进入数学广角中，等待学生的是一系列游戏活动，如数字乐园、生活乐园、运动乐园、记忆乐园……增强了学生的参与意识，提高学生积极性。在数学乐园中安排了摆数游戏，既例1，这里有小朋友的合作学习，有学生个体的表现在诸多不同想法与做法中评出最佳的排列方法，既先确定首位，再安排其他数位，再运动乐园中仍以游戏的形式呈现给大家，其中安排了握手游戏、大乒乓球比赛的活动，在这诸多的活动中加深理解组合的思想方法。生活乐园中安排了买本付钱的活动，让学生比看谁付钱的方法多，引导学生多方位、多角度考虑和解决实际问题将组合再一次提高难度。三：关注合作，促进交流

课堂上充分运用了分组合作，共同探究的学习模式，让学生互相交流，互相沟通，学生思维活跃，充满热情，有时也作为学习的伙伴投入到讨论之中，积极思考的主动权完全掌握在学生手重，师生，生生之间的信息交流和活动交，促进知识互补联系，使学生学会倾听，学会了异位思考，最大限度的发挥了他们的聪明才智，学生发现问题，探索问题，解决问题的能力得到提高。四：难度逐渐提升，让学生跳一跳能摘到桃子

在课的结尾设计了一道运动员比赛结束后来到食堂，师傅做了三荤三素，让学生只能选择一荤一素，看有几种搭配方法。这是一道排列组合的综合题，让学生先是独立思考，然后汇报，在诸多搭配中想共有几种，找到有顺序和规律的排列方法，学生找到了9中搭配方法，高兴极了。

教学设计中，主要是在玩中感受数学，在玩中体会排列、组合的涵义，在玩中不知不觉地尝试怎样才能有顺序地、全面地看问题。

总之，整节课注意创设良好的教学环境，激发学生学生自觉主动的学习情感通过师生的双边活动，学生合作交流和自主探究，使学生各方面素质获得进步和发展。

推荐第6篇：排列组合

排列组合

方法一：相邻元素捆绑法：所谓“捆绑法”就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素

例：6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须在一起的不同徘法共有（C ） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种

52 因甲，乙两人排在一起，故甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四个全排列A5种排法，但甲乙两人之间有A2种52排法，由分布计数原理可知：共有A5A2240种不同排法，故选C 方法二：相离问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”

例：要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？

64 先将6个歌唱节目排好，其不同的排法A6种,这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目有A746种排法,由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A7.A6方法三：定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序成为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便。

例：信号兵吧红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_________（10种）

5解法一：5面旗全排列有A5种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能做一次挂法，故共有不同的信号5A5总数是3=10种 2A3A22解法二：定序问题属组合。五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗其余位置则挂红旗。有C5=10种方法。

方法四：定位问题优限法：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。

例：计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的话必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ D ）

34324545145A.A4A4A5种

C.C3A4A5种 A5种

B.A3A4A5种

D.A22先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A2种方法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法为A2A4A5，故选D 方法五：至少问题间接法：含“至多”，“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题。可用间接法，即排除法（总体去杂），但仅适用于反面情况确且易于计算的情况。例：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法共有（C） A.140种

B.80种

C.70种

D.35种

在被取出的3台中，若不含甲型或乙型的抽取方式均不合题意，故符合题意的取法有C9C4C570种，故选C 方法六：选排问题先取后排法：对于排列组合的混合应用题，一般解法是先取（组合）后排（排列）

333245例：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒子的方法共有__________种（用数字作答）144

2先从四个小球中取两个放在一起，有C4种不同的取法,再把取出的两个小球与另外两个小球看做三堆，并分别放323入四个盒子中的三个盒子中，有A4种不同的放法，据分部计数原理，共有C4种不同的放法。 A4方法七：多元问题分类法：元素多，取出的情况也有多种情形，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

例：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有（

） A.210个

B.300个

C.464个

D.600个

511311313解法一：按题意个位数字只能是0，1，2，3，4共5中情况，符合题意的分别有A5,A4A3A3,A3A3A3,A3A3个，511311313合并总计，共有A5A4A3A3A3A3A3A3A3300（个）

解法二：排成的六位数中各位小于十位的和个位大于十位的数字一样多。

1，故选B 共有5A55300（个）2方法八：部分符合淘汰法：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。例:四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同取法共有（ D ） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种

410个点取4个点共有C10种取法,其中ABC内的6个点任取4个必共面，这样的面共有4个；又各棱中点共6个点中，有四点共面的平面有3个，一条棱上的三点与其对棱中点在一平面内，这样的面有6个，故符合条件不44共面的平面有C104C663141,故选D。

方法九：有序分配问题逐分法：有序分配问题是指元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解。

例：有甲，乙，丙三项任务，甲需要2人承担，乙，丙各需1人承担，从10人中选派四人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）

A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种

先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从另外7人中选1人承担丙项

211任务，根据分步计数原理可知不同的选法共有：C10C8C72520种，故选C.方法十：标号排位问题分步法：把元素排在指定号码的位置上称为排位问题，求解这类问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例：同室出人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ B ）

A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数且每个方格的标号与所

1填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有C3种填法，第二步把被填入方格的对应数字，1填入其他3个方格，又有C3种填法 ,第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有一种填法，故共有3319种填法，故选B.方法十一：插板法：对名额分配问题，可将代表名额的元素排成一列，然后再各元素的间隙中按要求插入隔板即可。

例：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配

2 方案共_______种（24310）

构成一个隔板模型，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隔中选取9个插入隔板。将18枚棋子分隔成10个区间，第i(1i10)个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此，名额分配方案

99的种数与隔板插入数相等，因隔板插入数为C17,故名额分配方案共有C1724310种

mnmmnmmnmnCC方法十二：平均分组问题：若将m个元素平均分成n组,则分法总数为：

mnCn!

例：北京《财富》全球论坛期间，其高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( A ) A.CCC121441248 B.

CAA121441248 C.

124C14C12C841243 D.C14 C12C84A33A3首先从14人中选中12人为C1214,然后将

1244124C14C8C4C14C12C8412人平均分为3组为，然后这两步相乘，得。将三33A3A3124组分配下去为C14C12C84，故选A.练习：

一．有6种不同的书. 1.甲，乙，丙3人每人2本，有多少种不同的分发？ 2．分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

3．分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法.4.分给甲，乙，丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？ 5.分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ 6.摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法.二.有3名男生，4名女生，排成一排

1.选其中5人排成一行；2.甲，乙二人必须在两头； 3.甲不在排头，乙不在排尾； 4.男，女各占一边； 5.男生必须排在一起； 6.男，女生各不相邻； 7.男生不能排在一起；

8.甲乙丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻；9.前排3人，后排4人； 10.甲，乙中间必须有3人；

11.甲，乙两人的两边必须有其他人各有多少种不同的排法？

推荐第7篇：排列组合

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为_______________

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______________

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有_______________

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有_______________

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有_______________

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共 7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为_______________

8．由

1、

2、

3、

4、

5、6组成没有重复数字且

1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是_______________

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_______________ 10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ___________________

15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有___________________

16.由

1、

2、

3、

4、

5、6组成没有重复数字且

1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ________________

17.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为___________________

18.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是___________________ 19.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有___________________

20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ___________________

21.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是___________________

22.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位___________________

23.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________________

24.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为___________________

25.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）

．

26.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______________

27.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种___________________（用数字作答）．

28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有___________________ 29.将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有___________________

30.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种

31.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个

32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

35.已知（1）试求（2）对于使是正整数，中的的

的系数的最小值的系数为最小的

，求出此时

的系数

的展开式中的系数为7，

（3）利用上述结果，求的近似值（精确到0.01）

推荐第8篇：《数学广角——排列组合》教案

《数学广角——排列组合》教案

一、教学内容

简单的排列组合

二、教学目标

1．使学生通过观察、猜测、实验、验证等活动，找出简单事件的排列数或组合数。

2．培养学生有序地、全面地思考问题的意识和习惯。

三、编排特点

1．借助操作活动或学生易于理解的事例来帮助学生找出排列数或组合数。

2．利用学生已有的知识让学生逐步建构新的知识。

衣服搭配、摆几位数、求比赛场次等例子在二年级上册都出现过。

3．利用直观图示帮助学生有序地、不重不漏地找出排列数或组合数。

四、具体编排

1．例1（简单的组合）

（1）隐含了分步计数的原理，但这儿不要求用分步计数的方法（乘法）来求组合数。只要能用图示的方法来求出组合数就可以了。

（2）教材上提供了两种图示表示法，引导学生用画简图的方式来表示抽象的数学知识。实际上还有其他的方法，例如每条裙子或裤子分别可以搭配两件上衣（分步时，可以把确定上衣作为第一步，也可以把确定裙子和裤子作为第一步），教学时要充分发挥学生的创造性。至于学生用哪种方法求出来，都没关系。但要引导学生思考如何才能不重不漏，发展学生有序地思考问题的意识和能力。

（3）学生自己用图示表示时，可以很开放，比如，可以用正方形表示衣服，圆形表示裙子和裤子，并分别在正方形和圆形里标上序号。实际这是发展学生用数学化的符号表示具体事件的能力的一个体现。

（4）如果学生用简图的方式来表示有困难，也可以让学生回忆一下二年级上册的例子或借助学具卡片摆一摆。

2．“做一做”

通过活动的方式让学生不重不漏地把所有两位数写出来。

3．例2（简单的排列）

学生已经有了拿三张数字卡片摆两位数的经验，摆三位数可以用类推的方式让学生自己解决。在这儿的重点是引导学生有序地思考，怎样摆才能不重不漏。学生一开始可能是无规律地摆，但经过一定的观察后，会逐渐走向有序。要让学生经历一个从无序到有序、从实际摆卡片到脱离卡片直接写出这些三位数的过程。

4．“做一做”

借助学生喜爱的西游记的故事情境让学生直观地找出排列数。

5．例3（简单的组合，两两组合）

（1）利用2002年世界杯足球赛的题材，除了教学组合知识以外，还可以适当进行爱国主义教育。

（2）用两种图示法表示两两组合的方式（比较简单的两种方式）。在教学中也要允许有的学生把所有的情况逐一罗列出来，只要他通过自己的方法探索出所有的组合数，都是应该鼓励的。（原来教材上是有的，但由于版面的原因，送审后删去了。）

6．练习二十五

设计丰富的情境让学生练习，巩固排列和组合的知识。

五、教学要求

1．要借助于操作活动帮助学生求排列数或组合数。

排列、组合是很抽象的数学知识，要用操作活动把这些抽象的知识直观化、具体化。

2．注意把握教学要求。

在这儿还只是用图示的方式把所有的排列或组合情况罗列出来（即有哪些排列或组合），不是抽象地计算一共有多少种排列数或组合数。要允许学生用自己喜欢的方式去求排列数、组合数。至于排列、组合等名词，排列与组合的区别，分类计数原理、分步计数原理等，都不要求学生掌握。

实践活动掷一掷

一、利用的数学知识

1．组合（两个骰子上的数字之和）

2．事件的确定性和不确定性、列举所有可能出现的结果（每个骰子上可能的结果是1至6六个数，组成的和可能是2至12的所有数，不可能是1或13等数。）

3．可能性大小（组成的和是2至12中任一个数，但发生的可能性大小是不同的。）

二、活动步骤

（一）示范游戏

1．体验确定现象与不确定现象，列举所有可能的结果。（运用组合的知识，判断哪些和不可能出现，哪些和可能出现。）

2．教师提出游戏规则，学生猜想结果。11个可能结果中教师选5个，学生选6个，学生错误地认为赢的可能性比教师大。

3．开始游戏。学生总是输，产生认知冲突，从而引起进一步探索的欲望。

（二）小组内游戏，探索结论。

通过小组内游戏的方式，进行实验，利用统计的方式呈现实验的结果，初步探索教师总能赢的原因。要引导学生在实验的结果中寻找统计学上的规律。

（三）理论验证

通过组合的理论来验证实验的结果。可以用不同的方式来进行组合，让学生探讨每个“和”所包含的组合情况的多少与这个“和”出现的次数之间的关系。

推荐第9篇：排列组合教案10.110.2.（全文）

10.2 排列学法导引

本节特别要注意在什么情况下是用排列的方式来解决问题,凡是有序的时候,就是排列问题,否则就不是排列问题.知识要点精讲知识点 1 排列的定义

从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素,按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.知识点 3 全排列公式

n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列.n 个不同元素的全排列数为

规定 0! =1.解题方法、技巧培养出题方向 1 优限法

在排列组合问题中,常有这样的元素存在,这些元素受到一些特殊的限制,或者说受到比较多的限制,它们的位置比较容易确定,因此我们一般先考虑安排它们,然后再安排其他元素.这种处理排列组合问题的方法,叫做优限法.出题方向 2 捆绑法

在一个排列问题中, 如果有的元素要排在一起, 通常把这些元素捆绑成一个元素, 参与排列, 在整体排列结束后, 再来排这几个被捆绑的相邻的元素,这种方法叫做捆绑法.由此可见捆绑法主要用于相邻问题的排列.

例 2 有 8本互不相同的书,其中数学书 3本,外文书 2本,其他书 3种,将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也排在一起的排法有多少种.[分析 ] 数学书要排在一起,外文书也要排在一起,这是典型的相邻问题,采用捆绑法.出题方向 3 插空法

在排列问题中,常常会遇到某些元素不能相邻的问题,这时我们总是用插空的方法来保证这些元素不相邻,只是我们在插空当中,首先是把相应的隔板安排好,再进行插空.例 3 3名学生与 3名教师排成一排照相, (1教师均不相邻,有多少种排法; (2学生均不相邻,有多少种排法; (3教师和学生均不相邻,有多少种排法.(2同 (1.出题方向 4 排除法

排列的问题有时比较复杂,特别是分类时,所以有时可以从所有的排列中,把不符合的排列剔除,这样的解题方法叫做排除法.例 4 从 1, 2, 3,…, 8, 9这九个数字中任取 2个作为对数的底数与真数,可以得到多少个不同的对数值? [分析 ] 这里的对数,它的底数与真数是有序的,所以是排列问题.2为底 3的对数与 4为底 9的对数相等; 3为底 2的对数与 9为底 4的对数相等; 这有 2个重复,要去掉; 2为底 4的对数与 3为底 9的对数相等; 4为底 2的对数与 9

为底 3的对数相等;这有 2个重复,要去掉; 1为真数的对数共有 8个,都等于 0,要去掉 7个.所以符合条件的对数共有 53个.出题方向 5 顺序一定的问题

例 5(1五人站成一排,甲必须在乙的前面 (不一定相邻的排法有多少种? (210人站成一排,其中甲、乙、丙三人,乙不能站在甲的前面,丙不能站在乙的前面的站法有多少种? 出题方向 6 排列数公式

证毕.易错易混点警示

例 8 为亮化美化城市,现在要把一条路上 7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄与蓝共三种颜色,在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有 2盏,有多少不同的安装方法? [错解 ] 从颜色考虑.三种颜色中任一种颜色最多安装 3盏,最少安装 2盏,分类讨论.不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯 (这有 3种选法来讨论.先排三盏蓝灯,只有一种排法,然后插空, 两盏红色的有 1种插空方式, 再把两盏黄色的插进去有 6×5×4=120种插空方式.所以共有 120×3=360种不同的安装方式.[错因分析 ] 错解把同色的灯看成了可以区分的.[正解 ] 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有 2盏,这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是

2、

2、3盏的形式.先讨论颜色.在选择颜色时有 3种方法,选好了一种颜色后,安装时采用插空的方式.下面不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯来讨论.先排两盏红色、两盏黄色共四盏灯,如果两盏

红色、两盏黄色分别两两相邻,有 2种排法,则蓝色的有 3种排法,共 6种安装方法;如果两盏红色、两盏黄色分别两两不相邻,有 2种排法,再把蓝色的安排下去有 10种安装方法,所以有 20种不同的安装方法.如果恰有一种颜色的相邻, 则有 2×6=12种不同的方法.综上共有 3×38=114种不同的安装方法.综合应用创新【综合能力升级】

本节内容独立性强,综合题仅限于与方程的小综合及计数方面的综合,学习时,要注意化归思想,分类思想在解综合题中的作用.例 9 由四个不同的数字 1, 4, 5, x(x≠ 0 组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为 288,求 x 的值.即 24x +120+96+24=288, 解得:x =2.想一想从

2、

3、

4、

5、6这五个数中每次取出三个数组成三位数,求所有这些三位数的和

例 10 用 0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复数字的: (1五位数? (2六位偶数? (3能被 25整除的四位数? (4大于 201345的自然数? 10.3 组合学法导引

学习本节的一个最重要方面是一定要分清排列问题还是组合问题,区分方法是,你只要在你求得的一种情况中, 把元素的位置交换一下,如果是一个新的符合的情况,就是排列问题,否则就是组合问题.知识要点精讲知识点 1 组合的定义

从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.知识点 3 组合与排列的区别与联系 (1排列是有序的,组合是无序的.(2从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素的排列, 可以看成先从这 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素的组合后,再将这 m 个元素作全排列得到.即: 解题方法、技巧培养

排列组合问题,大部分都可以归结为某种模式,因此在排列组合的学习过程中,重视模式化思维方式的学习,一方面在于模式化思维方式在解决排列组合问题中的直接使用,能使我们尽快地、准确地把握问题的本质,形成良好的解决问题的思维习惯;另一方面在于对学生数学思维训练的价值和潜在的智力素质的发展与形成的重大影响.出题方向 1 分解与合成模式

分解与合成模式是排列组合问题中的一种最基本的解题思维模式.当我们把一个问题分解成几个过程 (或者是分解成几个子问题 ,逐一解决,然后再依据问题分解后的结构形式将问题合成,从而得到原问题的解,这样的思考问题的思维方式叫做分解与合成的解题模式.

例 1 30030能被多少个不同的偶数整除? [解 ] 先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5×7×11×13, 依题意就是要求所有偶数因数的个数, 而要得到偶数因数, 必须先取定 2, 再认其余五个质因数中任取若干个 (每个因数最多取一次组成乘积, 显然, 这样的乘积的个数,即 30030的偶数因数的个数为

点拨本题求因数的个数的方法仅适用于这个数的质因数互不相同,即质因数的次数都是 1的情况,其他的情况参见 10.1节相关例题.例 2 (1利用正方体的 8个顶点可构成多少个三棱锥? (2利用正方体的 8个顶点可以连成多少对异面直线? (2每一个三棱锥上有 3对异面直线,而正方体的 8个顶点可构成 58个三棱锥,∴ 正方体的 8个顶点可以连成 58×3=174对异面直线.点拨上述两例题解题过程均是利用分解与合成的模式进行处理.例 1中是对解题结构进行分解,利用分类计数原理,把两个过程合成;在例 2(2中我们是对解题过程进行分解,利用分步计数原理把两类合成.这种合成方式上的不同,在解题过程中要特别注意区分.出题方向 2 映射模式

对于一个排列组合问题 A ,如果能找到一个问题 B ,使问题 B 与问题 A 在解的个数上存在一个一一映射的关系, 我们就可以通过解决 B 而达到解决 A 的目的.这样的考虑问题的方式,我们把它叫做映射模式.例 3 用 1, 2, 3, 4, 5这五个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数有多少个 ? [分析 ] 根据题意,可知这种三位数的个位数字有五种情况,而这五种情况中,只有两种情况能使这个三位数是偶数.设问题 A :由 1, 2, 3, 4, 5中取三个排成的所有的三

位数,问题 B :由 1, 2, 3, 4, 5这五个数字中取三个排成的所有偶数.由于存在这样的一个一一映射,使 A 中 5个三位数与 B 中 2个符合条件的三位偶数对应.想一想用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数有多少个? 例 4 有两组平行线,第一组平行线有 5条,第二组平行线有 6条,第一组平行线与第二组平行线相交,问这两组平行线能构成多少个平行四边形? 想一想圆上有 12个点,过每两点连一条直线,这些直线在圆内的交点有多少个 ? 点拨映射模式在解排列组合问题中,是一种常见的思考问题的方式,例 3与例 4主要是在两类计数问题的结果上建立了一种对应关系,在其他问题中,我们有时也可从两个问题的关系与结构上找到对应关系,或者还可以从两个问题的已知条件上去找到某种对应关系,从而顺利解决问题.出题方向 3 叠加模式

设集合 A , B 均为集合 U 的子集,用 P(x表示集合中元素个数,根据容斥原理,可以得到: 我们可以用这个结论处理一些排列组合问题.例 5 甲、乙等五人站成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾的排法有多少种 ? [分析 ] 用集合 U 表示五个人的全排列的集合,集合 A 表示甲站排头的所有排列,集合 B 表示乙站排尾的所有排列,其中 A , B 均为 U 的子集,由容斥原理

即符合条件的排法数是 78.例 6 9名翻译中, 6名会英语, 5名会日语,现要安排 4名翻译英语, 3名翻译日语,共有多少不同的安排方法.点拨从以上三例我们可以发现,从集合的叠加原理出发,

可以解决一系列有关的排列组合问题,同时它能把一个复杂的问题变得特别的明朗、清晰.我们把这样的解决问题的思维方法叫做叠加模式.出题方向 4 化归模式

在处理复杂的排列组合问题时, 可以把一个问题退化成一个简要的问题, 通过解决这个简要的问题找到解题方法, 从而进一步解决原来的问题.例 7 25人排成 5×5方阵,现从中选 3人,要求 3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种.[分析 ] 把这样的一个问题:从 9人排成的 3×3的方阵中, 选出不在同一行也不在同一列的 3人, 有多少选法.这个问题相对原来的问题简单,只要选出一个人后把这个人所在的行所在的列划掉,然后再继续选就可以了.然后我们再从 5×5的方阵中选出 3行 3列,就可以得到一个 3×3的方阵,再在 3×3的方阵中选 3人,便可得答案.想一想把 25人排成 5×5方阵,其中甲、乙二人不相邻 (指甲、乙前后、左右、左前、右前、左后、右后均不相邻的排法有多少.例 8 如图 10-3-3是某一城市的街区图,由 12个全等的矩形街区构成,其中实线表示街道,问从 A 到 B 的最短路程有多少种.根据上述情况,我们可以找到原问题的关键所在,这就是:在图 1的每种最短路程的走法中,都必须包含走过 3条长为 a 的边, 4条长为 b 的边,即应该一共走过七条边.从这个角度来说,又可以把这个问题化归成由 3个 a , 4个 b 共 7个字母的排列有多少的问题.想一想如果某一城市的街区图如图 (10-3-4 ,从 A 到 B 的路程最短的走法有多少 ? 出题方向 5 整体模式与隔板模式

在排列组合问题中有较多的相邻与不相邻的问题, 或者同时也有那么一些可以通过化归的方法转化为相邻与不相邻的排列问题,可以通过整体模式与隔板模式的思维方式来处理问题,这类问题在考试中是比较常见的.例 9 已知方程 x +y +z +w =100,求: (1这个方程的正整数解的组数; (2这个方程的自然数解的组数.例 10 一条路有 12盏路灯,为节约用电,关掉其中的 3盏,如果不关相邻两盏,有多少不同的关灯的方案.[分析 ] 这也是一个不相邻问题.即被关掉的灯没有任何两盏是相邻的.这样我们可以用隔板模式来处理问题.把亮着 9盏灯看成隔板,这时要特别注意这里的隔板是无序的.出题方向 6 组合数与组合数的性质

推荐第10篇：简单的排列组合教案

二年级上册数学广角《简单的排列问题》教案

课时：第一课时

教材：人教版义务教育课程标准试验教科书二年级上册数学广角《排列和组合》，课本例1。

教学目标：

1、知识与能力：培养学生学习初步的观察、分析能力和有序全面思考问题的意识。

2、过程与方法：通过摆一摆、玩一玩等实践活动，了解有关简单的排列组合的知识。

3、情感、态度与价值观：培养学生大胆猜想、积极思维的学习方法，进一步激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：

1、了解简单的排列知识。

2、能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。

教学难点：掌握简单的逻辑推理。

教学准备：数字卡片、课件。

一、创设情境，导入新课

孩子们，你们喜欢看《喜羊羊与灰太狼》吗？

(边出示课件2和3边讲解故事内容）

师：在这一天，灰太狼抓住了美羊羊，把她关在了狼堡里。灰太狼为了阻止喜羊羊去救美羊羊，他设计一扇“超级密码门”，装在自己的狼堡里。喜羊羊

- 1师：那数字

1、

2、3一共可以摆出几个两位数啊？

生回答。

师：那同学们还有什么办法能够有顺序，不重复，不遗漏的摆出这些数呢？

如果学生不能及时的回答，进行下一步引入，

师：刚刚我们采用的是确定十位的方法，我们还可以怎么做呢？

师：真是不错，还想出了一种新方法啊。真是爱动脑筋的小朋友。那好，有哪位同学可以来讲解一下呢？师点名。

生：个位选1，十位可以选2或3（老师这是一定要听清楚学生的话语，纠正“和”“或”的概念）师引导

师：嗯，说的可真好。个位是1，十位是2，就组成了两位数21；个位是1，十位是3，就组成了两位数31。（板书：21,31）。不错，个位可以接着选几呢？

生：个位选2，十位可以选1或3；师：哪组成的两位数是什么呢？

生：12,32。（老师板书：12,32）师：那个位还可以选几啊？

生：个位选3，十位可以选1或2；组成了两位数13，或23（老师板书：13,23）

师：同学们的表现可真好，已经想出了两种可以有顺便，不重复，不遗漏的摆法啊？还有同学能想出别的摆法吗？（师引导。在黑板上，将卡片1,2，3依次摆好）

师：老师第一次选数字1和2，我们组成了两位数12，再把12的个位和十位交换就是21啦，（板书

12、21） 1还可以和数字3组成两位数，那就是13，交换一下就是31了（板书：

13、31）

师：那数字2和3组成的两位数是什么啊？生：23,32

师：通过刚才的学习，我们知道了数字

1、

2、3可以摆出几个数呢？

- 3

第11篇：排列组合应用

排列组合应用

郸城县才源高中

王玉建

一教材分析：关于排列组合题，需要较强的逻辑思维能力，是学生最头痛的问题之一，活用两个计数原理需要很强的技巧性，是锻炼学生思维提高分析问题解决问题能力的很好教材。

二教学目标;(1)让学生学会排列组合常见题型解法

（2）提高学生逻辑思维严密性，培养学生抗挫折能力

三教学重点与难点：本节重点是排队问题，均分问题，隔板法应用

本节难点是隔板法解题

四教学方法：学生自主探索与合作学习结合

五教具：多媒体

六教学过程：一，上节课我们学习了排列组合问题的基本概念，排列与顺序有关组合与顺序无关，本节我们学习典型排列组合问题的解法。例1排队问题，六个人排成一排，其中三个男生三个女生在下面各种情况下分别有多少种排法？（1）甲不站两端，（2）甲乙站在两端, (3)甲乙必须相邻，（4）甲乙不相邻

（5）甲乙之间恰好间隔两人，（6）甲不站左端乙不站右端，（7）甲在乙左侧，

（8）前排三人后排三人，（9）男女生间隔排列，

（10）若最中间站一名老师

（11）六人中三男生三女生顺序均一定, (12)六人围圆桌而坐，

（13）六人中选出三人去坐排在一排的八个空位，每个人两侧均有空位

本题结果（1）A421A2554803(2) A2A4=4（3）A2A5240（4）A4A5480

65242542 (5)A4A2A3144 (6)A62A5

A44504(7)A62360

61页

(8)A6720 (11)A6(A3636(9)2

AA33335

(10)C620

333A3)203(12)A5120(13)C6C5200

以上问题先由学生自主探索，然后合作交流展示成果，最后老师点评总结：排列问题解题原则：特殊优先，正难则反，相邻捆绑，不相邻插空，定序排列消序，或逐项插排，分排问题直排化，小集体内外排，环形排列选一个做参照

二，例2分书问题，六本不同的书，采取如下方法分配各有多少种分法？（！）分给甲，乙，丙三人每人两本

（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本

（3）甲乙丙有一人得一本，一人得两本，一人得三本

（4）若平均分成三堆

（5）若有一堆一本，一堆两本，一堆三本

（6）若有一堆四本，另两堆各一本

学生自主探索，小组讨论，展示成果，老师点评

解析：（1）分到位每人2本C6C4

22C22=90

123（2）甲一本，乙2本，丙3本C6C5C3=60

123

（3）分成1,2,3三堆，再分给甲，乙，丙三人C6C5C3 （4）平均分成三堆，每堆2本C6C422A33360

C2 再除以A3结果为15(种)

12323（5）有一堆一本，一堆2本，一堆3本，只是分堆，没有分到位C6C5C390

（6）一堆4本，另两堆各一本

C4615（种）

注意：分配问题一定要注意看分配是否到位，如果存在均分，均分为几组要除以几的阶乘，而且还要注意部分均分三，利用隔板法解决问题

（1）分名额问题，

例3，有10个三好学生名额，分给4个班，每班至少一人，有多少种不同的分法？解析：名额无差别，10个名额看成10个小棍竖起来，之间用三个板分成四部分每一部分对应一个班，一种放板方法对应一种分法，一共有C9=84（种）

变式拓展：若是取消每班至少一人的限制，增加四个虚名额，分到一个相当于为零，

则分法一共有C13=2860(种)

2页

（2）方程的正整数解问题

例4，方程x+y+z=100的正整数解有多少个？

类似分名额结果为C99=4851 若变为自然数解有多少个？

利用增加虚名额思想，可得结果为C1025151

四，总结，

由学生总结本节课学到了哪些解决排列组合问题的分法和技巧

相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序排列问题消序或者逐项插排，特殊优先原则，分排问题直排化，环形排列问题去掉一个元素作参照物

分配是否到位问题，均分问题，隔板法的应用，解决分名额及方程正整数解问题和自然数解问题

五，作业，课本后面习题1,2,3

七，课后反思

在本节课教学中运用了自主探究，合作交流的方法，增强了学生的参与意识，提高了学习兴趣，体验了数学结论探究过程，有助于提高学生思维能力！

3页

六，板书设计

例1排队

例2分书

例3隔板

例4 解方程

第12篇：教案01绪论计数原理排列组合.

教学对象计划学时 2

管理系505-

13、

14、15；经济系205-

1、2 授课时间

2006年2月28日；星期二；1—2节

一、概率绪论（用自制的教学软件进行随机游戏演示）

教学内容

二、计数原理——加法原理与乘法原理的复习

三、排列与组合

通过教学，使学生能够：

1、了解概率统计的发展史，学习内容

2、培养对概率的学习兴趣

3、利用计数原理与排列组合计算完成某件事的方法数；。

教学目的

知识：

1、了解概率的发展简史与研究内容；

2、掌握排列与排列数公式；

3、掌握组合与组合数公式；

4、排列与组合的应用；

教学重点排列与组合的概念

教学难点解决实际问题时排列与组合的区别

教学资源自编软件（用于多媒体演示），多种颜色的玻璃球若干个（以备实验）

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见

技能与态度

1、对随机现象有正确的认识；

2、用科学态度对待随机现象；

3、科学计算的认真态度。

《概率与数理统计》教案01 教学资源及学时调整意见其他教研室主任：

系部主任：

绪论（15分钟）

《概率与数理统计》是研究随机现象数量规律性的数学学科，其特点是理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,在全国的各种高等学校中，无论是本科院校还是高职高专，很多专业都开设了这门课程。它也是很多专业的本科生报考研究生的必考内容之一，希望大家能认真学好这门重要课程。

概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，它是数学的一个分支。概率(或几率)——是随机事件出现的可能性的量度，它起源于对赌博等博弈问题的研究

一、概率的起源

在欧洲文艺复兴时代，15世纪末的法国和意大利盛行赌博，不仅赌法复杂，而且赌注量大，一些职业赌徒迫切需要计算取胜的机会。

比如：一位意大利贵族向天文学家伽利略请教的问题是：“掷3颗骰子，出现9点与出现10点均有6种组合，但经验发现出现10点的机会要多些，是否符合数学规律？”，伽利略从组合数的角度对问题进行了解释，被认为是概率研究的首次成果。

九点（126，135，144，225，234，333）十点（136，145，226，235，244，334）

法国的赌徒麦尔（梅耳）(Mere)向法国的数学家帕斯卡(Pascal)提出两个问题——（1）将一颗骰子掷4次至少出现一个6点的机会是否比将两颗骰子掷4次至少出现一

《概率与数理统计》教案01 对6点的机会大？（著名的梅耳猜想），帕斯卡与费马经过通信讨论，最终解决了这一问题；（2）“一个赌徒用一颗骰子要在八次投掷中掷出一个六点，他开始三次都未成功，如果放弃第四次，那么赌注中有多大部分应归还给他?”

16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题。意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

17世纪中叶,法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段。每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分。反之，乙得1分，甲不得分。谁先得到规定分数就赢得全部赌注。当进行到甲还差2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注？)。1657年，荷兰著名的天文、物理、数学家惠更斯在解决合理分配赌注问题的后，写成了《论随机游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

概率的概念是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：

甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注d。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。

帕斯卡：如果再掷一次，若甲胜：甲获全部赌注d；

若乙胜：甲、乙平分赌注d,

12《概率与数理统计》教案01

d上面这两种情况出现的可能性相同，所以，甲应得的赌金为的赌金为d。

费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况：１

２

３

４胜者：甲甲

甲乙

乙甲

乙乙 141d23d，乙应得24前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的，乙得赌金的。

帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确地定义概率的概念，但是，他们定义了使赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。

二、概率论在实践中曲折发展：

对客观世界中随机现象的分析产生了概率论，使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。在概率问题的早期研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要的概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题（如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等）的提出，都促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。其中最值得一提的是法国数学家拉普拉斯，他发表了《概率的分析理论》和《概率的哲学探讨》，对概率的发展方向，当时他作出的预言是：“从考虑赌博问题而引起的一门学科，将会成为人类知识宝库里最重要的主题”，但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定

《概率与数理统计》教案01

3414义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

三、概率论理论基础的建立：

经过二十多年的艰难研究，雅各·贝努利在1713年出版了概率论的第一本专著《推测术》，书中表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化的结构，明确了概率论的基本框架。这是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

四、概率论的应用：

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验、公用事业、保险业、航海业等随机风险性问题等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

五、软件演示：演示摸球游戏和社会福利彩票双色球的仿真过程

教学活动流程

教学步骤、教学内容、时间分配

教学目标

教学方法

《概率与数理统计》教案01

一、复习导入新课复习内容：（10分钟）

实例说明

中学阶段的计数原理是以后学习概率的基础，统

理解用途

计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。在

日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的选择问

题，都可以应用它们来解决。

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，

明确加法原理的讲解

在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法

具体内容

中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn

种不同的方法．那么，完成这件事共有N= m1+ m2+…

+mn种不同的方法．

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘

汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽

车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这

些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，

明确乘法原理的

做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同的

具体内容

方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，

完成这件事共有

N= m1×m2×…×mn种不同的方法．

问题2：从甲地到乙地，可以骑自行车，也可以

骑摩托车，还可以乘汽车。从乙地到丙地，可以乘座

学生回答

《概率与数理统计》教案01 飞机，也可以乘轮船。从甲地到丙地，共有多少种不同的走法？

教师归纳：（3分钟）

在学生对问题的分进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥使学生在应用两析不很清的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成个基本原理时，楚时，教这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，思路进一步清晰师及时地否则不可以．

和明确．从而深进行归纳如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不入理解两个基本和小结可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而原理中分类、分各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，步的真正含义和下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事实质的方法数时，就可以直接应用乘法原理．导入新课：（2分钟）

计数原理能在很多情况下，求得完成某件事的方引出学习排列与法总数。但对有些问题来说，如果都用计数原理来求组合的目的解，则显得过于烦琐，为了简化求解方法，我们还要学习排列与组合的概念及方法——这是今天要学习的内容。

1．正确理解排列、组合的意义．

2．掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论

二、明确学习目标

方法的理解．

3．培养学生的概括能力和逻辑思维能力。

三、知识学习

1、排列（8分钟）

《概率与数理统计》教案01

例．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？

生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能否用乘法原理来设计方案呢？

生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成的一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

找学生用加法原理求解

逐步引导

找学生用乘法原理求解

老师点评，得出结论：乙的方法更

理解并掌握排列简洁。由的概念

掌握计算公式

明确相同排列的含义

此引出排列概念

逐步推导

排列数计算公式（由乘法原理求得）

Amn=n(n-1)…(n-m+1) 排列说明：取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列．如飞机票、通信封数、减法

《概率与数理统计》教案01 与除法运算的结果都属于这一类。

2、组合（10分钟）

下面考虑另一类问题：取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机的票价，打电话的次数、加法与乘法的运算结果都属于这一类．

定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

说明：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径．

和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个数，而是具体的一件事

理解并掌握组合的概念

明确相同组合的含义

掌握计算公式

组合数公式（将排列数的计算分成两步）：

mm由Amn= CnAm得

mAnn(n1)(nm1)C=m=

m !Ammn

四、技能学习（20分钟）

排列与组合的应用

1、有条件限制的排列问题

例

1、5个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列．（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？

《概率与数理统计》教案01 （2）a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？（3）a，e排在一起有多少种排法？（4）a，e不相邻有多少种排法？

（5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？

掌握有关排列组合问题的基本解（教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，法，提高分析问畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法）

教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计．调动相关的知识和方法是合理设计的基础．例1是排列的典型问题，解题方法可借鉴．排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法．

例

2、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）．

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法．

（二）有条件限制的组合问题

例

3、已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数．

（三）排列组合混合问题

例

4、从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E这五项工作，一共有多少种分配方案．

题与解决问题的能力．

通过对典型错误的剖析，使学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．

培养思维的深刻错误分析

五、态度养成

性与批判性品质

六、实际解题训练（10分钟）

通过实际训练，学生练习1．设有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，使得总分不大于5分的取球方法数为

2．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有[

] A．60个

B．48个

C．36个

C．24个

使学生掌握解排老师巡列组合问题基本视，解答思想和基本方法问题

《概率与数理统计》教案01

七、课堂小结（2分钟）

解排列组合应用问题，首先要抓典型问题．如例1是排列常见的典型问题，例3是组合问题，例4是排列组合混合问题．通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的．

排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象．“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一．“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因．有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的．

解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用．

概括总结，帮助学生构建知识体

简要概括

系、明确排列组

本节内容

合的解题目标和对态度的要求。

八、布置作业

1．空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？（5个）

2．用0，2，3，5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数？（10个）

3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9种）

4．3个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_____种．

5．将5名学生分配到4个不同的科技小组、每组至少1人的分配方案有_____种．

6．预习第一章第一节

要求：

1、了解随机现象的规律性

2、了解随机试验与随机事件的概念

3、了解基本事件与样本空间的概念

4、了解随机事件发生的含义

巩固所学的知识和方法，培养锻炼分析问题、解决问题的能力，

书面作业说明：

1、纸张要求：16K白纸

2、写清题号，并抄题，解题步骤全面

3、写清班级、姓名、学号

4、时间要求：下次上课前交到办公室，

以便课上订正讲解

5、作业要清楚工整，仔细认真。

6、作业质量，占平时成绩的50%

预习新课，培养提出要求学生的自学能力适当引导

《概率与数理统计》教案01

培养做事认真的态度和习惯

《概率与数理统计》教案01

第13篇：排列组合教学设计

2017-2018学年度第一学期一年级数学知识能力竞赛试题 1.按规律填数。（1）

1、

3、

5、

7、（）、（）。

2.1个西瓜的重量=3个菠萝的重量。一个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（

）个梨的重量。 3.最小的一位数与最大的一位数的和是（

）。

4.7比（

）少1，10比（

）多2。 5.与9相邻的两个数是（

）、（

）。

6.哥哥给了弟弟6支铅笔后，还剩下13支，这时两人铅笔就同样多，原来弟弟有铅笔（

）支。

7.今年姐姐比妹妹大３岁，2年后，姐姐比妹妹大（

）岁。

8.一次排队，从左边开始报数，小亮报了“8”，小军报了“10”，从右边开始报数，小亮报了“5”，小军应报（

）。

9.5个小朋友玩捉迷藏游戏，已经捉住了2个小朋友，还藏着（

）个小朋友。

10.把一根木头锯成２段要2分钟，那么锯成3段要（

）分钟。

16.△+○＝3 △+○+○＝5 △＝（

） ○＝（

）

二、我会填。

1．从

6、

2、

3、9中选三个数写出四道不同的算式。

□ ○ □ = □

□○□=□

第14篇：排列组合常见问题答案

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排列组合问题常见解法

排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。

一、元素分析法

在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有

种（用数字作答）

解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有A52种方法，再安排其余5人，有A55种方法，故共有A55A52=2400种

二、位置分析法

在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。例2 题同例1 解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有A52种方法，再安排其余5天，有A55种方法，故共有A52A55=2400种

三、间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。例3 题同例1

725解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有A7种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有A2A511257251125种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有C2C5A2A5种。不同的安排方法共有A7-A2A5-C2C5A2A5=2400种

四、树图法

又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。

例4 已知集合M={a，b，c} ，N={1，0,-1},在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？

解：满足条件的映

所以满足条件的映射有7个。

五、逐一插入法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有A4种方法，再在这4项工程之间和两端

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111的5个空档安排其余1项工程，有A5种方法，所以共有A4A5=20种方法。

六、消序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）

解：先将9个球排成一排有A99种不同的方法，其中，2个红球有A22排法， 3个黄球有A33排法， 4个白球有A4排法，因同色球不加以区分，所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这94个球排成一列有A922944AAA33=1260种

七、优序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有C53种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有A22种方法，所以共有A22C5=20种方法。

3八、捆绑法

若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

例8 （05辽宁）用

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5与6相邻， 7与8不相邻，这样的八位数共有

个。（用数字作答）

解：先将1与

2、3与

4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有A3种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有

A4种方法，再排1与

2、3与

4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有A3A423=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。332

2九、插空法

若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有A4=24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。

十、查字典法

对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。

例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（

）

A.56

B.57

C.58

D.60

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12解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有A2A2

13134=4个；首位为2第二大于3的数A2A3=12个；首位为3的数有A424个；首位为4第二位比3小的数有A2A3=12

12个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有A2A2=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。

十一、分组问题

（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。

（2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。

例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，则a为（

）

A.105

B.105

C.210

D.210

解：先在7人选3人作为1组，有C73种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有C42种方法，再把余下2人作为1组有C22种方法，因后2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以A22。

∴不同的分组有C7C4C2A22322=105种

十二、隔板法

又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。

若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有Cn1种分法。

若允许有人分不到物品，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有Cnm1种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有Cnm

1 种分法。

例12 9个颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法？

解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有C8=56种方法。

（法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有C8=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法， 5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有C8=56种方法。

十三、排列组合综合问题

排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。

例14 （06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种。

解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有C5种方法；若不选甲，则必不

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3555m1m1m1学大教育科技（北京）有限公司

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选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有C64种方法，再将选出的4人分到4个地区，有A44方法，所以不同的选派方案共有(C53+C64)A44=600种。

例14 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：（法1）我们可以分成3类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C42C32；

1②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C43C3；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C43C32；

1∴由分类计数原理，总的方法一共有C42C32+C43C3+C43C32=42 十

四、一一映射转化法

例15 一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法？

解：11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步走1阶为A每步走2阶为B，则原问题相当于在8个格子选个格子填A，其余填B，这是一个组合问题，所以一共有C7=35种不同的走法。

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第15篇：有趣的排列组合

三年级上册《数学广角》

有趣的排列组合

教学内容：人教版三年级上册数学广角

教学目标：

1、结合具体情景，通过观察、猜测、实验等数学活动，能有序地找

出简单的组合数。

2、在数学活动中增强学生的合作意识和合作能力。

3、在解决问题的过程中，渗透符号化思想，以及有序地、全面地思

考问题的意识。

教学准备：教学课件，早餐实物图，练习纸，学生实验实物。教学过程：

一、创设情景，揭示课题

师：能到这么漂亮的学校，和这么多可爱的小朋友一起上课，老师觉得非常高兴。今天除了和大家一起学习新本领外，我还特别想和大家交朋友。你们愿意和我成为朋友吗？

生：愿意。

媒体演示：握手。

（老师随即和若干个学生边握手边说：“握握手，好朋友。”）

师：如果我要和全班同学都成朋友的话，一共要握几次手？为什么？生：因为我们班有()人。

师：这样的话，你们对我刚才的握手顺序有什么看法或者建议呢？生：要是每个同学都握就好了。

生：应该有顺序地握，象老师刚才这样握的话容易遗漏，也可能会重复。生：可以一排一排地握，也可以一列一列地握，这样就不会重复和遗漏了。

（充分发表意见。。。。。。）

（板书：不遗漏、不重复、有序）

师：同学们的意见和建议都很好。其实刚才的握手问题就是我们今天要研究的搭配问题。（板书：搭配）

二、创设情景，探究搭配方法

师：明天佛山红旗小学的三位小朋友即将进行“金嗓子”歌唱比赛的决赛，他们是4号阳阳，7号玲玲和9号丁丁。

（媒体显示）

师：阳阳，玲玲和丁丁，这三位选手可以说是过五关、斩六将，终于迎来了最后的决赛。为了让自己在最后的比赛中表现更出色，他们都在做着精心准备呢！我们来看一下，他们都为决赛做了什么准备？

（一）探究搭配方法

1、早餐搭配――摆一摆。

师:阳阳准备在早餐的搭配上下功夫，吃得好一点，比赛时精神一点。看，妈妈已经为他准备了几种饮料？（牛奶、豆浆）几种主食？（蛋糕、油条、饼干）如果一种饮料搭配一种主食，一共有几种不同的搭配方法？

生：2种6种8种。。。。。。

师：别急。请你先拿出学具在桌面上试着摆一摆，然后在小组内交流自己的摆法，看看谁的搭配过程做到了有序。（学生动手摆一摆交流，教师巡视。）

师：谁来交流一下自己的摆法。

（生用大号实物图演示搭配方法，教师引导学生观察得出：先选好饮料再分别搭配主食并辅以媒体演示。）

师：刚才这位同学采用先选饮料在配主食的方法，谁有不同的摆法？（引出第二种方法：先选主食再配饮料并辅以媒体演示，同时把两种方法都演示在媒体上。）

师：通过交流，我们发现不管先选饮料再配主食还是先选主食再配饮料，结果都是有6种不同的搭配方法。说明在解决同一问题时，我们可以从不同的角度去思考。

师：那么，是不是每次搭配都需要这样摆一摆呢？请同学们想一想，能不能用一种简单的记录方法，把我们刚才不同的搭配方法表示出来？（学生在小练习纸上尝试创造简单的记录方法，教师巡视、收集典型作品。）

师：老师收集了几份作品，请你观察一下，你喜欢谁的记录方法？为什么？

（展示的作品，有用文字表达的，有用简单的几何图形表达的，有用字母表达的，有用数字表达的。教师引导学生以“简单、有序”的标准进行对比、评价。）

2、衣服搭配――画一画。

师：看完了阳阳，来看看玲玲。她在准备什么呢？

（媒体出示：3件上装 3件下装）

生：玲玲在准备搭配衣服。

师：玲玲准备把自己打扮得漂亮一点。如果一件上装和一件下装搭配，一共有几种不同的搭配方法？请你用自己喜欢的记录方法把它记录下来，并在小组内交流自己的方法。

（学生自己尝试、小组交流，教师巡视收集学生作品，然后展示，交流、互评。）

3、帽子、丝巾――想一想

师：看完玲玲的，我们再来看看丁丁在准备什么。

（媒体演示）

蓝帽子黄帽子

红丝巾白丝巾蓝丝巾花丝巾

师：是啊，如果一顶帽子与一条丝巾搭配，那么2顶帽子与4条丝巾，一共有几种不同的搭配方法呢？这次我们不摆图片，也不记录，动脑筋想一想，你能知道结果吗？

生：8种。

师：能说说为什么吗？

生：因为。。。。。

师：妈妈又拿来了一顶红帽子，现在有几种不同的搭配方法呢？为什么？

生：12种。因为。。。。。。

师：妈妈又拿出了条绿丝巾，现在一共有几种不同的搭配方法？生：15种。因为。。。。。。

（二）拓展延伸

1、三类物体间的搭配――顺序。

师：三位选手都做好了决赛的准备工作，现在让我们先来个赛前预测吧。这场歌唱赛的冠军、亚军、季军又分别会是谁呢？（若干个学生进行猜测）

师：可能出现的比赛结果一共有几种？小组合作，把结果写在练习纸上。（生交流，师巡视、收集学生作品）

师：这里有几个小组的作品，请你评一评

1、结果是否正确？

2、你比较喜欢哪一份作品？为什么？

（在学生交流时，继续强化有序的思想。）

2、路线的搭配。

师：获得冠军的选手将要代表红旗小学到两所手拉手学校进行汇报演出，从佛山出发，先到广州的手拉手学校，再到香港的手拉手学校。从佛山到广州可选择的交通工具有地铁、火车、汽车；从广州到香港可选择的交通工具有汽车、火车、船。表演结束后，就直接坐汽车回佛山。这样一个来回，所用的交通工具一共有几种不同的搭配方法？

三、全课总结，内化升华

师：在这节课中你有什么收获？有什么经验？

生1：

生2。。。才能做到不重复，不遗漏。生3：要做到有序。

生4：用“符号”表达搭配的方法简洁明了。生5：也可以用计算的方法。

。。。。。。

第16篇：高中数学第十章排列组合

高三数学总复习................................................................高考复习科目：数学

高中数学总复习

（九）

复习内容：高中数学第十章-排列组合复习范围：第十章编写时间：2004-7 修订时间：总计第三次 2005-4

一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重复元素的排列.．．．．．．．从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第

一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？

（解：m种）

二、排列.1.⑪对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m．．．．．．个元素的一个排列.⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n

m个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

n⑭排列数公式：

Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!注意：nn!(n1)!n!

规定0! = 1

mmmm1mm1mm10

规定CnCnAnnAnn1 1AnAmCnAnmAn12.含有可重元素的排列问题.．．．．．．对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n

1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.

n1!n2!...nk!例如：已知数字

3、

2、2，求其排列个数n数n3!1.

三、组合.

(12)!3又例如：数字

5、

5、求其排列个数？其排列个1!2!1.⑪组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.高中数学高考总复习

高三数学总复习九—排列组合 — 1 —

m⑫组合数公式：CmAnn(n1)(nm1)nmAmm!Cmnn!

m!(nm)!nmm1mm⑬两个公式：①CmnCn;

②CnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是1m1m含红球选法有CmnC11Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑮①几个常用组合数公式

012n CnCnCnnn2m1n，如果不取这

mn1m种，依分类原理有CmnCmnCn1.

024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1kCnCknk1n1

111CkCknn1k1n1②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：123n1n1111）（利用2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!ii.导数法. iii.数学归纳法.

iv.倒序求和法.m1m3333v.递推法（即用CmCnCn4nCnCn1递推）如：C3C4C51.02122nvi.构造二项式.如：(Cn

)(Cn)(Cnn)C2n证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中x的系数，左边为

01n12n2n00212n2，而右边C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)nn

四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.

②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有Anm1Am个.其中Anm1是一个“整体排列”，而Am则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An.

An11A2nm1mnm1m高中数学高考总复习

高三数学总复习九—排列组合 — 2 —

12.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann1A221.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有AnAnn1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不2确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插空法），当n nmAnm1– m+1≥m, 即m≤n1时有意义.2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）

mAnn/Am.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCknC(k1)nnCnAkk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有43（平均分组就用不着管组

2!与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（P82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？mmm有An，当n – m+1 ≥m, 即m≤n1时有意义.nmAnm1/Am2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的

3解的组数等于插隔板的方法数C11.

x1x2x3x4注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为CAn .⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r高中数学高考总复习

高三数学总复习九—排列组合 — 3 —

n1r个指定位置则有ArrAknr.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

m1m1m1或m，1；固定在某一位置上：不在某一位置上：（一类是不取出特殊元素a，有AnAnAmAm1Am1An1nAn11n1一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i.从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后Akrkrkr策略，排列CrrCnrAk；组合CrCnr.

ii.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后Akk策略，排列CnrAk；组合Cnkr.iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个

ksksks元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCnrAk；组合CrCnr.

II.排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak.rk244例：10人分成三组，各组元素个数为

2、

4、4，其分法种数为C10.若分成六组，各组人C8C4/A2215751122224数分别为

1、

2、

2、2，其分法种数为C10 C9C8C6C4C2/A22A4②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAm m233例：10人分成三组，各组人数分别为

2、

3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10种.C8C55A3234若从10人中选9人分成三组，人数分别为

2、

3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C10种 C8C5A33③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m.A/ArrAm例：10人分成三组，人数分别为

2、

4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4A3

32244A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，

k不管是否分尽，其分法种数为ACn1Cn-2m1…Cn-(m1m2...mk-1)

mmm235例：10人分成三组，每组人数分别为

2、

3、5，其分法种数为C10C8C52520若从10人中选出6人分成三

123组，各组人数分别为

1、

2、3，其分法种数为C10C9C712600.高中数学高考总复习

高三数学总复习九—排列组合 — 4 —

五、二项式定理.

0n01n1rnrrn0n1.⑪二项式定理：(ab)nCnabCnabCnabCnab.展开式具有以下特点： ① 项数：共有n1项；

012r② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑫二项展开式的通项.

rnrr（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnab(0rn,rZ).⑬二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．

nI.当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大；

2n1n1II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第1项，它们的二项式系数C22③系数和：

01nCnCnCnn202413CnCnCnCnCn2n1n1n12C2最大.nnn

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1或(Ak为Tk1的系数或系数的绝对值）的a1或b1时，一般采用解不等式组AAAAkk1kk1办法来求解.

pqr⑭如何来求(abc)n展开式中含abc的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在(ab)nr中qpqrrqpqrqnrqqqpq含有b的项为Cnr故在(abc)n中含abc的项为CnCnrabc.其系数为abCnrab，rCnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!2.近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)1na，因为这时展开式的后面部分2233nnCnaCnaCna很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个公式时应注意a

n的条件，以及对计算精确度的要求.

高中数学高考总复习

高三数学总复习九—排列组合 — 5 —

高中数学高考总复习— 6 —

高三数学总复习九—排列组合

第17篇：排列组合说课稿.[优秀]

排列组合说课稿

(王学广)

一、说理念

设计理念：《数学课程标准》提出了重视学生学习过程的全新理念，要充分发挥学生的主观能动性，让学生参与知识发生发展的全过程。教师在课堂教学中应尝试采取多种教学手段引导每一个学生积极主动地参与学习过程，注重生活与数学的结合。学生是学习的主人，新课程要求遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历知识的形成过程。未来的社会既需要学生具有获取知识的能力，也需要学生具有应用知识的能力，而知识也只有在能够应用时才具有生命力，才是活的知识。

二、说教材：

1、教学内容：《中等职业教育国家规划教材数学》（基础版）第二册，第10章第3节“排列与组合”

2、教材分析：

排列和组合的思想方法应用广泛，本节课是基于两类基本记数原理之后,而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透数学思想方法方面做了一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，例1给出了一幅学生用数字卡片摆两位数的情境图，我在设计本课时，我把排列

1、2两个数组成不同的两位数，改成了学生喜欢的摆一摆游戏。游戏后直接进行三个数组成两位数的排列，学生进行小组合作学习，然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复不遗漏。从而找到排数的方法。为巩固排数的方法，我设计了以下几个教学活动：握手，搭配衣服，比赛场次等学生熟悉而又感兴趣的生活场景，向学生渗透这些数学思想方法，将学习活动置于模拟情景中，给学生提供操作和活动的机会，初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，为学生今后学习概率统计奠定基础。

3、教学目标：

（1）知识目标：

通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。

（2）能力目标：

① 初步培养有序地全面地思考问题的能力。

②培养初步的观察、分析及推理能力。

（3）情感目标：

① 感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣

② 使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

4、教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程，掌握有序排列组合的方法并用所学方法解决实际生活的问题。

5、教学难点：怎样排列可以不重复不遗漏。

三、说教法

本节课教法上最大的特点是让学生动手操作，合作学习，把静态知识转化成动态，把抽象数学知识变为具体可操作的规律性知识。同时也注重动静结合，让学生经历：“猜想—独立思考—讨论—合作探究—验证”等一系列思维过程。

四、说学法

１、联系生活实际解决身边问题，体验学数学、用数学的乐趣。２、在具体的生活情景中让学生亲身经历发现问题，提出问题、解决问题的过程，体验探索成功的快乐。

３、通过动手操作、独立思考和开展小组合作交流活动，完善自己的想法，构建自己独特的学习方法。

４、通过灵活、有趣的练习，提高学生解决问题的能力，同时寻求解决问题的多种办法。

五、说教学流程：

（一）、创设情境，激发兴趣

开课伊始，我用小聪聪作为学习的引路人，带领大家去数学广角乐园玩，从学生感兴趣的买票入手，激发学生的学习兴趣，符合学生的年龄特点，抓住了“童心”，让学生在游戏中产生兴趣，在活动中找到启示。同时为新课的进行作好了铺垫。

（二）、合作学习，探索新知

活动一：摆一摆。（学生用数字卡片１、２排数，然后用１、２、３排数）

学生用屏幕出示的１、２两个数字组成两位数，学生在原有的认知基础上非常快的找到答案。接下来我增加难度用１、２、３三个数字，让学生从中任选两个组合成两位数有几种组合方法？接着我进一步质疑：怎样才能使摆出来的两位数既不重复又不遗漏呢，你有什么好的方法吗？小组再次合作，用你的方法再摆一摆，边摆边记录。小组汇报，这次的汇报主要是汇报你用什么方法摆的，组成了哪些两位数。活动二：握一握。

承接上一个活动，同学们你们真是勤于思考的孩子，我要向表现好的同学握手表示祝贺。提出疑问：我和他，我们两个人握了几次手？学生会说一次？接着我问如果每两个人握一次手，三个人握几次手呢？猜猜看？猜测过后，小组同学合作，组长做裁判，握一握。学生汇报３次。接着我提出问题：为什么三个数字能排成六个两位数，而三个人每两个人握一次手，却只握了三次呢？小组同学讨论讨论。通过讨论交流，再汇报，使学生明白两个数字交换位置变成了两个数，而握手时两个人即使换位置还是这两个人，所以就是一次。

（三）、分层练习，巩固新知 1．乒乓球赛如果每两个人打一场乒乓球比赛，他们三人一共要打多少场比赛呢？谁能很快说出来！大家怎么能这么快就知道是打三场呢？刚才进行握手的次数，现在进行打球比赛的练习可以巩固这个部分排列组合的知识。

2、服装搭配：

课件出示四件衣服。你有几种搭配方法？学生商量后汇报。

五、说效果

通过本节课的学习，我预期学生达到如下的效果：

1、培养学生的全面地思考问题和观察、分析及推理能力。

通过摆数字卡片、握手、服装搭配等活动，培养学生多渠道获取信息的能力，从中培养学生的全面地思考问题和观察、分析及推理等实践能力。

2、培养师生的合作意识和合作能力。

通过师生、生生的交流和交往，开展各种灵活多样的研究活动，有利于提高学生的交际能力和表达能力。有利于培养学生的合作意识和合作能力。

3、激励参与，培养学生的主动性。

在摆数字、握一握、搭配服装的时候，几个学生一个小组围在一起，小声讨论研究。每个题目都先由学生分析、讨论，教师不失时机地追问，鼓励学生积极参与，激发学生的创新思维。鼓励学生充分表现自己，增强自信，发挥创造性思维，培养初步培养有序地、全面地思考问题的能力和初步的观察、分析、及推理能力，激发了学生的参与意识。

（一）说教材

数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人们的推理能力和抽象能力。本课时的内容是有关排列和组合的第一课时，它的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑能力的好素材，要求二年级小朋友了解日常生活中最简单的事例，能进行简单的、有条理的思考，既培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。

（二）说教学目标

1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数；

2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程；

3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识；

4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。

教学难点：按照一定的顺序进行排列、组合，体验简单事物排列与组合的规律。

（三）说教学过程、学法和教法

一、创设情境，引入课题

今天老师给小朋友们带来了三位好朋友，分别叫红红、黄黄和蓝蓝，他们将带我们一起去数学王国学习，你们想去吗？那我们一起出发吧！

[用学生感兴趣的数学王国这一情景引入，易于激发起学生探究的兴趣！

二、展开活动：

我们要进数学王国，首先要进这扇门，要想打开这扇门必须猜对门上的密码，请听：

（一）猜密码

1、用

1、2能摆成几个两位数？（1）猜一猜（2）说一说

2、用

1、

2、3能摆成几个两位数？（1）猜一猜

（2）摆一摆（要求：能想出来的可以自己直接写一写，如果你想借助

1、

2、3数字卡片摆一摆也行）

（3）写一写（作业纸上）（4）说一说

（5）你喜欢哪一种摆法？为什么？

[引导学生发现写数过程中出现的问题，并就此展开讨论、交流，遵循了学生的认知特点。学生在交流的过程中体验到解决问题方法的多样性，并根据自己的实际选择不同的方法，尊重学生的主体地位。

（二）3位小朋友想用握手表示“祝贺”，那红红、黄黄和蓝蓝每两人握一次手，三人一共握几次手？

要求：4人为一小组，三个人表演，组长记录，想一想用什么方法记录比较方便？

1、演一演

2、记一记

3、交流反馈

4、总结比较

为什么用

1、

2、3这三个数能摆成几个两位数？有6种答案，而握手的三个人只有3种答案呢？你知道他们有什么不同吗？

[通过比较明确两种问题的同与不同，便于建立起清晰的知识结构，进一步深化学生的认识。

（三）3位小朋友进入了数学王国，碰到的第一个智力问题是：给小熊拍照，有几种穿法？

1、在练习纸上连一连

2、反馈（找出两种例子进行比较，突出有顺序地连）

（四）闯过了第一关，接着他们又碰到了第二个问题：如果你们每两人进行一场比赛，一共要比几场？

1、猜一猜

2、写一写

3、交流反馈

4、问和刚才的什么一样？

（五）第三关：红红想买5元一个的文具盒，有5元、2元、2元、1元、1元、1元、1元、1元、红红有几种不同的付钱方法？

1、想一想

2、写一写

3、反馈交流

小结：付钱时也要有顺序地，一般先付刚刚好的，这样方便。

[在儿童的生活经验里积累了一些搭配衣服，购物花钱的知识经验，学生乐于参与。动：

（六）拍照排队

3位小朋友到了数学王国游了一回，回家前想拍照留个纪念，那他们有几种不同的方法排队，想一想，怎样才能不重复，不遗漏，有没有简便的方法记录？

本课设计了5个学习活动，每个环节基本上通过猜一猜、摆一摆、演一演、说一说等小组合作活动加深对这一知识的落实，又通过记一记、连一连让学生懂得去探索用不同的方法记录一件事，同时还要让学生明白有些是组合、有些是排列，并能比较这两种不同情况：既组合与顺序无关，排列与顺序有关。

三、小结

这节课你学到了什么？有什么收获？

（四）反思

本节课我创设了一个去数学王国学习的情景，由三位小朋友红红、蓝蓝和黄黄带着大家一起去学习，让学生感觉我们好像在游玩一样，在玩中不断闯关体验成功。在猜密码游戏中，设计让学生猜一猜、摆一摆、写一写和说一说等各种形式帮助学生初步感知如何排列。从用

1、2能摆成几个两位数到用

1、

2、3能摆成几个两位数，在分析过程中，让学生自己来演示如何采用交换位置、固定十位或固定个位来摆，让学生亲身体验感知如何排列，问他们喜欢哪一种方法，发现有顺序地摆可以避免重复和遗漏，为本节课打好基础。但在填密码时，因为每个人猜测不同，忽略了“有顺序”这一点。在握手这一环节时，学生表演的挺到位的，也能知道是3次，但对“用什么方法记录”，开始学生很茫然，有些小朋友更加不肯定，还好有些“爱插嘴”的小朋友问：“我们可以用名字来记录吗？”我回答：“可以！”在这个方法的启发下，有些小朋友想到用符号、字母、图形和数字来记录，应该说这是我所感到庆幸的。在总结比较排列与组合两种不同情况时，有些小朋友已经感知到，但表达欠合理，这让我想到在平时的数学语言训练时也欠规范，训练面欠广，学生都喜欢用自己的语言说。整体感觉本节课学生的思维比较活跃，课堂气氛比较好，学生通过观察、猜测和操作等活动，能找出最简单的事物的排列数和组合数，初步培养他们的分析思维能力，基本能有顺序地全面地思考问题，学生的兴趣比较浓

简单的排列组合对学生来说都早有不同层次的接触，如用

1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一年级时就已经掌握了。而对

1、

2、3三个数字排列成几个两位数，不少学生通过平时的练习能基本做到不重复、不遗漏地排列。再如组合题中用钱买物品等，学生基本上都能准确地回答出结果。针对这些实际情况，在设计本节课时，教学的重点偏重于让学生说一说有序排列、巧妙组合的理由，体会到有顺序、全面思考问题的好处。同时，根据学生的年龄特点在设计教案时也要做到设计学生感兴趣的环节，灵活处理教材。

一、创设情境，激发兴趣

考虑到这部分内容对于低年级学生来说比较抽象，因此我以学生的参与游戏来贯穿始终，选择学生们喜爱的活动，将数学广角作为一个游戏场所介绍给学生，在一项一项的游艺活动中把排列给合的思想方法渗透给学生，让学生在不知不觉中去感知何谓排列、何谓组合。

二、结合学生实际，灵活处理教材

本人把整个教材的内容进行了有机的整合，并进行了行当的调整，让整堂课从易到难，进进提升，让学生在学得过得中既有挑战，又能体会到成功的喜悦。

三、多种活动，多重感受，达到不同的收获

进入数学广角中，等待学生参与的是一系列的活动。关注学生的学习过程，在过程中知识、能力、情感都得到一定的发展、进步。即例题，让学生在体验中感受\\\'在活动操作中成功；在交流中找到方法；在学习中得到应用。这里有小朋友的合作学习，有学生个体的表现，在诸多不同的想法与做法中评出最佳的排列方法。

后面的练习是在相互切磋中回味知识的形成与区别，在区别中强化知识，体现以学生为主体。

总之，这节课是以游玩数学广角乐园为主线，在自主参与、探索研究、合作交流中，去初步感知排列与组合的数学思想与内涵.

第18篇：排列组合1（优秀）

排列组合

1、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(

) A.8种

B.12种

C.16种

D.20种

2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（

）

A.280种 B.240种C.180种 D.96种

3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为.（

）

A.6

B.12

C.15

D.30

4、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（

）

A.42

B.30

C.20

D.12

5、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值.不同的种植方法共有（

）

A.24种

B.18种

C.12种

D.6种

6、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有.（

）

A.210种

B.420种

C.630种

D.840种

7、在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有.（

）

A.56个

B.57个

C.58个

D.60个

8、直角坐标xOy平面上,平行直线x＝n(n＝0,1,2,„,5)与平行直线y＝n (n＝0,1,2,„,5)组成的图形中,矩形共有

(

)

A.25个

B.36个

C.100个

D.225个

9、从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（

）

A.56

B.52

C.48

D.40

10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有.（

）

A.12种

B.24种

C.36种

D.48种

11、将标号1,2，„，10的10个球放入标号为1,2，„，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为.( ) (A)120

(B)240

(D)720

12、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位.现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

A.234

B.346

C.350

D.363

13、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有.( )

A.140种

B.120种

C.35种

D.34种

14、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有

A．300种

B．240种

C．144种 D．96种

15、把一同排5张座位编号为1，2，3，4，5，的电影票分给3个人每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（

）

A.12

B.18

C.24

D.36

16、将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（

）

A.70

B.140

C.280

D.840

17、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分。若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分的种数是

A、48

B、36

C、24

D、18

18、设直线的方程是y=Ax+B，从1,2,3,4,5这五个数中每次选出两个作为A,B的值，则确定的直线有多少条（）

A.20

B.19

C.18

D.16

19、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为

（A）96

（B）48

（C）24

（D）12

20、在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有

(A)36个

(B)24个

(D)6个

21、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有

A.16种

B.36种

C.42种

D.60种

22、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有

（A）30种

（B）90种

（C）180种

（D）270种

23．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是

A．6

B．12

C．18

D．24

24、从集合{1,2,3,4,5,6}中选择两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大的数，则不同的选择方法共有

（A）32种

（B）48种

（C）64种

（D）80种

25、高三

（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

（A）1800

（B）3600

（C）4320

（D）5040

26、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 (A)10种

(B)20种

(D)52种

27、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有

（A）150种

(B)180种

(D)280种

28、从5位同学中选派4位同学在星期

五、星期

六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期

六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有

(A)40种

(B)

60种

(D) 120种

29、5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有

(A)10种

(B)

20种

(D) 32种

30、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有

（A）288个

（B）240个（C）144个

（D）126个

31、.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为

A.2000

B.4096

C.5904

D.8320

32、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，排法共有

（A）1440种（B）960种（C）720种（D）480种

33、如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（

）

A．96

B．84

C．60

D．44

34、一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,方案共有

A.24种

B.36种

C.48种

D.72种

35、某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，方案种数为

A.14

B.24

C.28

D.48

36、有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有(

) A.1 344种

B.1 248种

C.1 056种

D.960种

37、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则挑选方法共有

（A）70种（B）112种（C）140种

（D）168种

38、某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是

A.15

B.45

C.60

D.75

39、从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为

A.100

B.110

C.120

D.180

40，甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（

）

A.20种

B.30

C.40种

D.60种答案：

1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.C 10.C 11.B 12.B 13.D 14.B 15.A 16.A 17.C 18.A 19.B 20.A 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.A 27.A 28.B 29.D 30.B 31.C 32.B 33.D 34.B 35.A 36.B 37.C 38.C 39.B 40.A

第19篇：排列组合教学反思

《数学广角----排列组合》教学反思

根据学生认知特点和规律，在本节课的设计中，我遵照《课标》的要求和低年级学生学习数学的实际，着眼于学生的发展，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、动手操作、游戏活动等方式组织教学。

1、创设情境活用教材

我对教材进行了灵活的处理，课一开始，老师就创设了和三只小动物参观数学乐园，充分地调动了学生的学习兴趣，同时也将学生知识很好地融合到生活中去。整堂课教师就是围绕这个大情景来教学的。在一个又一个的活动情境中渗透排列和组合的思想方法，让学生亲身经历探索简单事物排列和组合规律的过程，在活动中主动参与，在活动中发现规律。课的设计比较适合低年级学生的年龄特点。

2、关注合作促进交流

以同桌或小组合作的形式贯穿全课，充分应用同桌,分组合作、共同探究的学习模式，在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会了知识，体验了学习的乐趣，思维活动也更加活跃。

3、练习题的设计力求游戏化，使学生在快乐愉悦的氛围中愉快的学习知识，如抽奖游戏从而大大提高了学习的兴趣。

教后反思：

1、教师对学生的小组合作学习指导不够，有个别学生还不能有效参与。

2、对教材的理解不够透彻,对学生的指导不够细致，不够具体，如在抽奖游戏过程中，由于时间关系，没有让学生板演，或说出自己的想法，草草收场。

3、教师语言不够精练,放手不够到位。如排列教学中，没有留给学生更多的思维空间，让学生自己找出不同摆法。

4、今后应加强理论学习，不断改进课堂教学，提高教学效率。

第20篇：排列组合综合问题.

[文件] sxgdja0017.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节]

[关键词] 排列/组合/综合 [标题] 排列组合综合问题 [内容]

北京市东直门中学吴卫教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法．难点：正确的分类、分步．教学用具投影仪．教学过程设计

（一）引入

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法．先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧! 生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法

（二）举例

师：我下面我们来分析和解决一些例题．（打出片子——例1）

例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；

（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；

52 （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．

（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解．这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．

7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8） C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是CCP312552（5）是2；

6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教师在学生回答时板书各题答案）

师：回答的正确，请说出具体的分析．生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组，

66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有C12种不同分法，但是（5）只要求平均分C62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组合题时要特别注意的．例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人．题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘! 如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办? 53 生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分

5555C10C5C10C52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有C12种不同的分法． 22P2P2师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均

分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底解决了．请看例题2．

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案．

872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8P7P2

师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为P77，女生组内排列为P2，得2女相邻排法数N1＝P77P22；（2）是用捆绑法结合排除法来解得，从总体排列P88中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝

2P88P77P22

（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝P66P72种不同排法．（板书（1），（2）算式）

师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“P88P66P33与P55P63一样吗?大家动手计算一下．

生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题．师：P66P33是什么? 生：3女相邻．

师：3女相邻的反面是什么? 生：P8P6P3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．

师：这一例题说明什么? 生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．

师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题． 863 54 N3＝P33P44P44； N4＝2P44P44．（板书（3），（4）的算式）

834444师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用P8P3P4P4，并且没有简单的用P4P5

插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．（板书）

（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调．

（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）师：我们再来看一个例题．（打出片子——例3）

例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法? （教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案．

224生：N＝C8． C7P4（板书此式）师：怎么分析的呢?

22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有C8C7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以P44

师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗? 生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢? 师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢? （板书）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗? 生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．

22师：这就对了．N=2C8C7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有P82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有C7种方法，一共有N=P8C7种搭配方法．（板书）

22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7

55 师：最后看例4 （打出片子——例4）

例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种? （教师读题，引导分析）

师：从7人中选4人分别安排第

一、

二、

三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的选择有几类情况呢?

53生：三类，第一类，没有甲乙，有C4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2C5种选

2法；第三类，既有甲也有乙，有C5种选法．

师：如果把上述三类选法数相加再乘以P44行不行? 生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中

44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：N=C5P42C5P2P3C5P2P2．

师：第二项中的P21P33是什么意思呢? 生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是P21，其他三人的排法数是P33．

师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和方法．

（三）小结

我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法．

解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则．解题时一定要注意不重复、不遗漏．

（四）作业

1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是种．（

23C4P336）

2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数?（6P或2C4P2P22C4P3C4P2P2P4152） 5P4C1C4P2152课堂教学设计说明

关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是学生学习中的难点．为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．例

3、例4是典型的排列、组合综合题，分别侧重了分步和分类两个难点．

教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问题和解决问题的能力．操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式．学生配合的好，就以学生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方式等方面多做文章，或以教师的讲授为主．

《排列组合教案模板.doc》

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