利用放缩法证明不等式举例

利用放缩法证明不等式举例

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、放缩后转化为等比数列。

例1.{bn}满足：b11,bn1bn(n2)bn

3（1） 用数学归纳法证明：bnn

（2） Tn

解：(1)略

(2) bn13bn(bnn)2(bn3)

又bnn

bn132(bn3) ， nN

迭乘得：bn3

2n1211111...，求证：Tn 3b13b23b33bn2*(b13)2n1 11n1,nN* bn32

Tn1111111 ...234n1n12222222

2点评：把握“bn3”这一特征对“bn1bn(n2)bn3”进行变形，然后去

掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

二、放缩后裂项迭加

例2．数列{an}，an(1)

求证：s2nn11，其前n项和为sn

n

2解：s2n1

令bn11111 ...2342n12n1，{bn}的前n项和为Tn 2n(2n1)

1111() 2n(2n2)4n1n当n2时，bn

s2nTn

111111111111()()...()

212304344564n1n71 104n2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数f(x)axbc(a0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 x

yx

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)lnx在[1,)上恒成立，求a的取值范围

（3）证明：1

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：当a111n ...ln(n1)23n2(n1)1时,有f(x)lnx(x1) 2

111令a,有f(x)(x)lnx(x1).22x

11且当x1时,(x)lnx.2x

k111k1k111令x,有ln[][(1)(1)], kk2kk12kk1

111即ln(k1)lnk(),k1,2,3,,n.2kk1

将上述n个不等式依次相加得

ln(n1)

整理得 11111(), 223n2(n1)

1111nln(n1).23n2(n1)

点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

三、放缩后迭乘

例4

．a11,an11(14annN*).16

（1） 求a2,a3

（2）

令bn{bn}的通项公式

（3） 已知f(n)6an13an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)

解：（1）（2）略 1 2

21n1n1()() 3423

13231f(n)nn2nn11n 42424

111211(1n)(1n1)1nn2n11n11n11141n11n11n1444

11nf(n)1n14

11111121n1n...1f(1)f(2)...f(n)11111122

n144由（2）得an

点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。

放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式证明 之 放缩法

用放缩法证明不等式

放缩法证明不等式例证

放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘”

如何灵活利用放缩法等方法证明不等式

《利用放缩法证明不等式举例.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档