裂项放缩证明数列不等式

策略

一、裂项放缩证明数列不等式

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1-

1、（全国I理-22压轴题）设数列an的前n项的和Sn项an；（Ⅱ）设Tn

2n

43an

13



2n

1

23

，n1,2,3,（Ⅰ）求首项a1与通

n

Sn

，n1,2,3,，证明：Ti

i1

32

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f\'(x)6x2，数列{an}的前n项



和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

3anan

1，Tn是

数列{bn}的前n项和，求使得Tn

m20

对所有nN都成立的最小正整数m；

例1-

3、（重庆理-22压轴题）设数列{a}满足a12,an1an

n

1an

(n1,2,).（Ⅰ）证明a

n

2n1对一切正整数n

成立；（Ⅱ）令bn

ann

(n1,2,)

，判定b与b

n

n

1的大小，并说明理由

例1-

4、已知nN*，求1

例1-

5、设an1

1

2a

12



1

3„

1n

＜2n



13

a



1n

a

,a2.求证：an2.策略

二、均值不等式放缩证明不等式 例2-

1、设Sn

例3-

2、已知函数f(x)

例3-

3、已知a,b为正数，且ab

1

1223n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)

22

.4x

x

1

4求证：f(1)f(2)f(n)n

12

n1



12

.

，试证：对每一个nN，(ab)n

ab2

nn2n

2

n1

.

策略

三、调整分式值放缩证明数列不等式（尾式或局部放缩）

一个分式若分母不变分子变大则分式值变大，若分子不变分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

babmam

(ba0,m0)和

babmam

(ab0,m0)

例3-

1、（福建理-22压轴题）已知数列｛an｝满足a1=1,an1=2an+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足4b1明:

例3-

2、证明： (11)(13)(15)(12n1)

即证：135(2n1)

例3-

3、证明:(11)(1)(1)(1

713n

2)

－1 b2－2

4„

4bn－

1=( a

n

+1)bn (n∈N*),证明:{bn}是等差数列;（Ⅲ）证

n2



1

3＜

a1a2



a2a3



anan1

＜

n2

(n∈N).*

111

2n1和(1



12

)(11

14

)(1

16

)(1

12n

)

12n1

2462n

2n1

和

135(2n1)2462n

2n1

3n1.

例3-

4、已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

例3-

5、求证:

13

1

1321



13

2n1

abc

＋＋＜2。 bcacab

1



47

策略

四、单调性放缩证明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足:0a11,an1f(an),n1,2,3,.证明: （I）．0an1an1; （II）．an1

例4-2（辽宁理-21）已知函数f(x)ax

0a1

1

2,an1f(an),nN



16

an.32

x的最大值不大于

.

16

，又当x[

11,]42

时

f(x)

18

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设

，证明an

1n

1x1例4-

3、（北京理-19）数列xn由下列条件确定：

xn1a0，

1a

xn,nN．（I）证明：对n2总有xn2xn

a

；

(II)证明：对n2总有xnxn

1例4-

4、设Sn2

例4-

5、求证：(11)(1)(1)(1

12n

1)

2n1.23n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.

策略五：二项式放缩证明不等式

nn01nn01

2(11)CnCnCn,2CnCnn1,2CCC例5-

1、已知a11,an1(1

例5-

2、证明2(1

n

例5-

3、设n1,nN，求证(3)

n

0n1n2n

n

n2

212

n

.证明a

n

n(n1)(n2)

e

1nn

)an

n

1n

)3.n



8(n1)(n2)

策略六：递推放缩证明数列不等式

例6-

1、（全国高考）设数列a满足an1annan1nN，当a13时证明对所有n1, 有(i)ann2；

n

(ii)

11a

1

11a

2

11an



12

例6-

2、(重庆理-22压轴题)数列{an}满足a11且an1(1

1nn

)an

1

2n

(n1).（Ⅰ）用数学归纳法证明：

an2(n2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1x)x对x0成立,证明:ane(n1)，其中无理数e2.71828

例6-

3、（湖北理-22压轴题）已知不等式

1213

1n12[log

n],nN,n2.[log



2

2n]表示不超过log2b

,n3.n 的最大

整数。设正项数列{an}满足：a1b(b0),an

nan1nan

1,n2,nN，证明：an

2b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20压轴题）已知函数f（x）=x3+x2，数列{xn}（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：

*

曲线y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点直线平行（如图）。求证：当n∈N时

2

2（Ⅰ）xnxn3xn12xn1（Ⅱ）()

n

11n2

xn()

策略七：分项讨论放缩证明数列不等式

例

7、（2004年全国3理-22压轴题）（14分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n,n1.（1）写出数列an的前三项a1,a2,a3；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

策略八： 数学归纳法证明数列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二题）（12分）已知数列{an}的各项都是正数（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.例8-

2、（江西理-22压轴题）已知数列｛an｝满足：a1＝

32

1a4



1a5



1am



78

.

,且满足:a01,an1

12

an,(4an),nN.

，且an＝

n2，nN）（1）求数列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1



的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2„„an2n！

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