放缩法证明数列不等式
基础知识回顾:
放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）
② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数） ③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。 。
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:
类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．
（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；
（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．
例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。
（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 （2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 （3）设，求证：.
类型
二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。． （1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。； （2）求证:错误！未找到引用源。 （错误！未找到引用源。）； （3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）．
例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时， ①求数列错误！未找到引用源。的通项；
②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。， ① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；
②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.
方法、规律归纳: 常见的放缩变形：
（1）错误！未找到引用源。， （2）错误！未找到引用源。
注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。 （3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 可推广为：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。
（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；
（2）求错误！未找到引用源。；
（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.
2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．
⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；
⑵ 设错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时， 错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；
⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。
3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列
的前项和为，满足
，
．数列
满足（1）求数列（2）若和，，且．
的通项公式； ，数列的前项和为，对任意的
，（
，都有
，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，，使，请说明理由．
）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中， 错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．
（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；
（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；
（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．
5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。为常数．
（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．
（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。．
6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列
分别满足，其中（1）若数列（2）若数列①若数列②若数列
，设数列的前项和分别为的通项公式； ，使得
，称数列
.都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列
为“坠点数列”.
为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；
（2）求证： 错误！未找到引用源。 ；
（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.
8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；
（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；
（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2) cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。．
（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值； （2）若错误！未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误！未找到引用源。的通项公式；
②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．
放缩法证明数列不等式
基础知识回顾:
放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）
② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数） ③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:
类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．
（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；
（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．
【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。
（2）由（1）知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。， 若数列错误！未找到引用源。为等比数列，则有错误！未找到引用源。， 而错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。， 故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，
再将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，
例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。
（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 （2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 （3）设，求证：.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。因此由错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）得错误！未找到引用源。.试题解析：（1）由已知得错误！未找到引用源。.于是当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.所以数列错误！未找到引用源。的通项公式为错误！未找到引用源。.（2）因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。， 所以错误！未找到引用源。.因此，错误！未找到引用源。.
综合①②③得，错误！未找到引用源。. 类型
二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。． （1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。； （2）求证:错误！未找到引用源。 （错误！未找到引用源。）； （3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
故错误！未找到引用源。， 则有：错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时， ①求数列错误！未找到引用源。的通项；
②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。， ① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；
②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.【答案】（1）①错误！未找到引用源。；②不存在；（2）①当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不是等比数列；②错误！未找到引用源。．
方法、规律归纳: 常见的放缩变形：
（1）错误！未找到引用源。， （2）错误！未找到引用源。
注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。 （3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 可推广为：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。
（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；
（2）求错误！未找到引用源。；
（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.【答案】（1）错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 （3）当错误！未找到引用源。为偶数时， 错误！未找到引用源。 都成立，（3）详见解析
（3）假设存在正整数错误！未找到引用源。 ，使得错误！未找到引用源。 成立， 因为错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ， 所以只要错误！未找到引用源。
即只要满足 ①：错误！未找到引用源。 ，和②：错误！未找到引用源。 ， 对于①只要错误！未找到引用源。 就可以； 对于②，
当错误！未找到引用源。 为奇数时，满足错误！未找到引用源。 ，不成立，
当错误！未找到引用源。 为偶数时，满足错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。 令错误！未找到引用源。 ， 因为错误！未找到引用源。
即错误！未找到引用源。 ，且当错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 ，
所以当错误！未找到引用源。 为偶数时，②式成立，即当错误！未找到引用源。 为偶数时， 错误！未找到引用源。成立 .2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．
⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；
⑵ 设错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时， 错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；
⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。
要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立， 只要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立， 即使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。为正偶数恒成立，
错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。； ⑶由⑴得错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 设错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。， 当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，
因此数列错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。．
【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系式．
3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，
，且
．
的前项和为，满足
，
．数列（1）求数列（2）若和的通项公式； ，数列的前项和为，对任意的
，（
，都有
，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，，使，请说明理由．
【答案】（1）（2）
）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，
（3）不存在
（2）由（1）得于是所以
，
，
两式相减得所以由（1）得因为对 即所以恒成立， ，都有，
，
， 恒成立，
， 记所以因为从而数列于是， ，
为递增数列，所以当．
（
），使
成等差数列，则
，
时取最小值
，
，
（3）假设存在正整数即 ，
若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立.，则
，
，
与
矛盾； ，即，此时
4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中， 错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．
（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；
（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；
（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．
【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）存在， 错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。． 【解析】试题分析：
（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出错误！未找到引用源。，将问题转化成错误！未找到引用源。可求得错误！未找到引用源。的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。
试题解析： （1）由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。． 又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，上式成立，
因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列， 故错误！未找到引用源。.
（3）当错误！未找到引用源。为奇数时， 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。； 当错误！未找到引用源。为偶数时，
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。．
点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。
5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。为常数．
（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．
（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，两式相减得错误！未找到引用源。，
即错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，
当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，综上， 错误！未找到引用源。．
6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为（1）若数列.
分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式； （2）若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列
，使得，称数列为“坠点数列”.
为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）
.（2）①
，② 6.
7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；
（2）求证： 错误！未找到引用源。 ；
（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）错误！未找到引用源。.
（2）因为集合错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，所以对错误！未找到引用源。而言，存在错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.（3）由（2）可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，
所以错误！未找到引用源。，构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。即可获证错误！未找到引用源。；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。，因此构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，进而求出错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；
（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；
（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.【答案】（1）见解析（2）错误！未找到引用源。（3）见解析
解：（1）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是等差数列.（2）因为的任意的错误！未找到引用源。都是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，所以错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，显然， 错误！未找到引用源。满足条件，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误！未找到引用源。的取值集合为错误！未找到引用源。.（3）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是公比大于错误！未找到引用源。，首项大于错误！未找到引用源。的等比数列，记公比为错误！未找到引用源。.以下证明： 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为正整数，且错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。为减函数， 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，综上， 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2) cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.
10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。．
（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值； （2）若错误！未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．
【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，故有错误！未找到引用源。，
即错误！未找到引用源。，
