从“费米统计”到半导体技术
材料物理1303 蔡安棋 1309050308 摘要：
费米-狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
关键词：费米–狄拉克统计费米能级半导体技术
引言：
1926年发现费米–狄拉克统计之前，要理解电子的某些性质尚较为困难。直到费米–狄拉克统计的发现1926年，拉尔夫·福勒在描述恒星向白矮星的转变过程中，首次应用了费米–狄拉克统计的原理。1927年，阿诺·索末菲将费米–狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。1928年，福勒和L·W·诺德汉（Lothar Wolfgang Nordheim）在场致电子发射的研究中，也采用了这一统计规律。直至今日，费米–狄拉克统计仍然是物理学的一个重要部分。
正文：
一.费米–狄拉克统计
费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。 根据量子力学，费米子为自旋为半奇数的粒子，其本征波函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布为的能级上同时有
（“某一分布”指这样一种状态：即在能量
个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：
费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：
由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。此外，对于玻色子，也有对应的玻色-爱因斯坦统计予以处理。
1926年发现费米–狄拉克统计之前，要理解电子的某些性质尚较为困难。例如，在常温下，未施加电流的金属内部的热容比施加电流的金属少了大约100倍。此外，在常温下给金属施加一强电场，将造成场致电子发射（Field electron emiion）现象，从而产生电流流经金属。研究发现，这个电流与温度几乎无关。当时的理论难以解释这个现象。
当时，由于人们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如金属电子理论等方面遇到的困难，无法得到令人满意的解答。他们认为，金属中所有电子都是等效的。也就是说，金属中的每个电子都以相同的程度对金属的热量做出贡献（这个量是波尔兹曼常数的一次项）。上述问题一直困扰着科学家，直到费米–狄拉克统计的发现，才得到较好地解释。
1926年，恩里科·费米、保罗·狄拉克各自独立地在发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。另有来源显示，P·乔丹（Pascual Jordan）在1925年也对这项统计规律进行了研究，他称之为“泡利统计”，不过他并未及时地发表他的研究成果。狄拉克称此项研究是费米完成的，他称之为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。 1926年，拉尔夫·福勒在描述恒星向白矮星的转变过程中，首次应用了费米–狄拉克统计的原理。1927年，阿诺·索末菲将费米–狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。1928年，福勒和L·W·诺德汉（Lothar Wolfgang Nordheim）在场致电子发射的研究中，也采用了这一统计规律。直至今日，费米–狄拉克统计仍然是物理学的一个重要部分。
二.费米–狄拉克分布
根据费米–狄拉克分布，给定费米子组成的系统中处于量子态上的平均粒子数可以通过下面的式子计算。
其中是波尔兹曼常数，为绝对温度（热力学温标），为量子态上单个粒子的能量，是化学势。当时，化学势就是系统的费米能。半导体中电子的费米能，也被被称为费米能级。
要应用费米–狄拉克统计，系统必须满足一定的条件：系统的费米子数量必须足够大，以至于再加入一个费米子所引起化学势的变化可以忽略不计。由于费米–狄拉克统计的推导过程中利用了泡利不相容原理，即单个量子态上最多能有一个粒子，这样的结果就是某个量子态上的平均量子数满足
。
费米–狄拉克分布
平均粒子数和能量的关系，当温度较高时，平均粒子数的变化更加平缓。当，。不过，图中未能展现，当温度更高时，会下降。
平均粒子数和温度的关系（当）
前面的章节叙述了给定费米子系统在不同量子态上的分布，一个量子态上最多只能具有一个费米子。利用费米–狄拉克统计，还可以获得费米子系统不同能量值上的分布情况，这与分析量子态的原理略有不同，因为可能出现多个定态具有同一能量值，即出现所谓的简并能量态情况。
将费米–狄拉克统计中某个量子态上的平均粒子数与简并度（即能量值为的量子态数）相乘，就可以得到能量为的平均费米子数。
当时，可能出现
。导致这个现象的原因前面提到过，即具有同一个能量值的粒子可能处于不同的定态，也就是说完全可能出现多个粒子处于同一能量值。
当一个系统的能量是准连续（quasi-continuum）的，定义其单位体积内单位能量域的量子态数为状态密度。单位能量域的平均费米子数为
这里被称为费米函数，它与前面用来表达量子态
上粒子数分布的函数具有相同的形式。
故
量子范畴和经典范畴
如果经典范畴中涉及的位移、动量之间的关系还远未达到不确定性原理所设定的极限，通常可以采用麦克斯韦-玻尔兹曼统计来代替费米–狄拉克统计，这样做可以简化数学计算的难度。如果粒子平均间距长，就可以采用上述经典范畴的处理方式。
远大于粒子的平均物质波波
这里，为普朗克常数，
为粒子的质量。
，因此该系对于常温（约300开尔文）下金属中的电子，由于统远离经典范畴。这是因为电子质量较小，并且在金属中聚集程度较高。这样，为了分析金属中的传导电子，必须采用费米–狄拉克统计。
由恒星演变而来的白矮星，是另一个不属于经典范畴、必须采用费米–狄拉克统计的例子。尽管白矮星的温度很高（其表面温度通常能达到10,000开尔文），但是它内部高度聚集的电子和每个电子的低质量，使得处理这问题必须采用费米–狄拉克统计，而不能用经典的波尔兹曼统计近似处理。
三.半导体的能带结构
半导体中的电子所具有的能量被限制在基态与自由电子之间的几个能带里，在能带内部电子能量处于准连续状态，而能带之间则有带隙相隔开，电子不能处于带隙内。当电子在基态时，相当于此电子被束缚在原子核附近；而相反地，如果电子具备了自由电子所需要的能量，那么就能完全离开此材料。每个能带都有数个相对应的量子态，而这些量子态中，能量较低的都已经被电子所填满。这些已经被电子填满的量子态中，能量最高的就被称为价电带。半导体和绝缘体在正常情况下，几乎所有电子都在价电带或是其下的量子态里，因此没有自由电子可供导电。
半导体和绝缘体之间的差异在于两者之间能带间隙宽度不同，亦即电子欲从价带跳入导电带时所必须获得的最低能量不一样。通常能带间隙宽度小于3电子伏特（eV）者为半导体，以上为绝缘体。
在绝对零度时，固体材料中的所有电子都在价带中，而导电带为完全空置。当温度开始上升，高于绝对零度时，有些电子可能会获得能量而进入导电带中。导电带是所有能够让电子在获得外加电场的能量后，移动穿过晶体、形成电流的最低能带，所以导电带的位置就紧邻价电带之上，而导电带和价电带之间的差距即是能带间隙。通常对半导体而言，能带间隙的大小约为1电子伏特上下。在导电带中，和电流形成相关的电子通常称为自由电子。根据包利不相容原理，同一个量子态内不能有两个电子，所以绝对零度时，费米能级以下的能带包括价电带全部被填满。由于在填满的能带内，具有相反方向动量的电子数目相等，所以宏观上不能载流。在有限温度，由热激发产生的导电带电子和价电带空穴使得导电带和价电带都未被填满，因而在外电场下可以观测到宏观净电流。
在价电带内的电子获得能量后便可跃升到导电带，而这便会在价带内留下一个空缺，也就是所谓的空穴。导电带中的电子和价电带中的空穴都对电流传递有贡献，空穴本身不会移动，但是其它电子可以移动到这个空穴上面，等效于空穴本身往反方向移动。相对于带负电的电子，空穴的电性为正电。 由化学键结的观点来看，获得足够能量、进入导电带的电子也等于有足够能量可以打破电子与固体原子间的共价键，而变成自由电子，进而对电流传导做出贡献。
半导体和导体之间有个显著的不同是半导体的电流传导同时来自电流与空穴的贡献，而导体的费米能阶则已经在导带内，因此电子不需要很大的能量即可找到空缺的量子态供其跳跃、造成电流传导。
固体材料内的电子能量分布遵循费米-狄拉克分布。在绝对零度时，材料内电子的最高能量即为费米能阶，当温度高于绝对零度时，费米能阶为所有能阶中，被电子占据概率等于0.5的能阶。半导体材料内电子能量分布为温度的函数也使其导电特性受到温度很大的影响，当温度很低时，可以跳到导电带的电子较少，因此导电性也会变得较差。
四.半导体技术
半导体技术就是以半导体为材料，制作成组件及集成电路的技术。在周期表里的元素，依照导电性大致可以分成导体、半导体与绝缘体三大类。最常见的半导体是硅（Si），当然半导体也可以是两种元素形成的化合物，例如砷化镓（GaAs），但化合物半导体大多应用在光电方面。
绝大多数的电子组件都是以硅为基材做成的，因此电子产业又称为半导体产业。半导体技术最大的应用是集成电路（IC），举凡计算机、手机、各种电器与信息产品中，一定有 IC 存在，它们被用来发挥各式各样的控制功能，有如人体中的大脑与神经。
如果把计算机打开，除了一些线路外，还会看到好几个线路板，每个板子上都有一些大小与形状不同的黑色小方块，周围是金属接脚，这就是封装好的 IC。如果把包覆的黑色封装除去，可以看到里面有个灰色的小薄片，这就是 IC。 如果再放大来看，这些 IC 里面布满了密密麻麻的小组件，彼此由金属导线连接起来。除了少数是电容或电阻等被动组件外，大都是晶体管，这些晶体管由硅或其氧化物、氮化物与其它相关材料所组成。整颗 IC 的功能决定于这些晶体管的特性与彼此间连结的方式。
半导体技术的演进，除了改善性能如速度、能量的消耗与可靠性外，另一重点就是降低制作成本。降低成本的方式，除了改良制作方法，包括制作流程与采用的设备外，如果能在硅芯片的单位面积内产出更多的 IC，成本也会下降。所以半导体技术的一个非常重要的发展趋势，就是把晶体管微小化。当然组件的微小化会伴随着性能的改变，但很幸运的，这种演进会使 IC 大部分的特性变好，只有少数变差，而这些就需要利用其它技术来弥补了。
半导体制程有点像是盖房子，分成很多层，由下而上逐层依蓝图布局迭积而成，每一层各有不同的材料与功能。随
着功能的复杂，不只结构变得更繁复，技术要求也越来越高。与建筑物最不一样的地方，除了尺寸外，就是建筑物是一栋一栋地盖，半导体技术则是在同一片芯片或同一批生产过程中，同时制作数百万个到数亿个组件，而且要求一模一样。因此大量生产可说是半导体工业的最大特色 。
把组件做得越小，芯片上能制造出来的 IC 数也就越多。尽管每片芯片的制作成本会因技术复杂度增加而上升，但是每颗 IC 的成本却会下降。所以价格不但不会因性能变好或功能变强而上涨，反而是越来越便宜。正因如此，综观其它科技的发展，从来没有哪一种产业能够像半导体这样，持续维持三十多年的快速发展。
半导体制程是一项复杂的制作流程，先进的 IC 所需要的制作程序达一千个以上的步骤。这些步骤先依不同的功能组合成小的单元，称为单元制程，如蚀刻、微影与薄膜制程；几个单元制程组成具有特定功能的模块制程，如隔绝制程模块、接触窗制程模块或平坦化制程模块等；最后再组合这些模块制程成为某种特定 IC 的整合制程。
尽管有种种挑战，半导体技术还是不断地往前进步。分析其主要原因，总括来说有下列几项。
先天上，硅这个元素和相关的化合物性质非常好，包括物理、化学及电方面的特性。利用硅及相关材料组成的所谓金属氧化物半导体场效晶体管，做为开关组件非常好用。此外，因为性能优异，轻、薄、短、小，加上便宜，所以应用范围很广，可以用来做各种控制。换言之，市场需求很大，除了各种产业都有需要外，新兴的所谓 3C 产业，更是以 IC 为主角。
因为需求量大，自然吸引大量的人才与资源投入新技术与产品的研发。产业庞大，分工也越来越细。半导体产业可分成几个次领域，每个次领域也都非常庞大，譬如 IC 设计、光罩制作、半导体制造、封装与测试等。其它配合产业还包括半导体设备、半导体原料等，可说是一个火车头工业。
因为投入者众，竞争也剧烈，进展迅速，造成良性循环。一个普遍现象是各大学电机、电子方面的课程越来越多，分组越细，并且陆续从工学院中独立成电机电子与信息方面的学院。其它产业也纷纷寻求在半导体产业中的应用，这在全世界已经变成一种普遍的趋势。
总而言之，半导体技术已经从微米进步到纳米尺度，微电子已经被纳米电子所取代。半导体的纳米技术可以代表以下几层意义：它是唯一由上而下，采用微缩方式的纳米技术；虽然没有革命性或戏剧性的突破，但整个过程可以说就是一个不断进步的历程，这种动力预期还会持续
一、二十年。
参考文献：
穆勒·理查德。;西奥多·朱利安。设备电子集成电路1986。ISBN 0-471-88758-7。 恩里科·费米。单原子理想气体的量子化。1926年,3:145 - 9(意大利)。 量子力学教程 周世勋 北京高等教育出版社2009.6
