数学师范类毕业论文

闽南师范大学

毕业论文

特殊化在数学解题中的应用

The Application of Specialization in Mathematics

Problem Solving

姓

名：

笔芯君

学

号：

1104******

系

别：

数学与统计学院

专

业：数学与应用数学（师范专业） 年

级：

2011级

指导教师：

2014年6月22日

摘要

特殊化作为中学数学解题的重要思想方法，在讲究效率的现代解题模式中变得尤为重要。本文主要通过对特殊化思想方法在数学领域中具体表现的研究，初步汇总了特殊化在解各类数学问题的应用，并选取了各类型较有代表性的题目进行分析，以提高特殊化思维在数学解题中的应用水平。

关键词：数学解题；数学思想方法；特殊化

Abstract

As an important mathematical method in high school mathematical problem solving, the specialization is becoming especially important in modern problem solving model which focuses on efficiency.Base on the research of specialization’s concrete manifestations in mathematics,this paper has preliminarily collected the application of specialization in solving various mathematical problems preliminary and analyzed various kinds of the representative questions,so as to improve the application level of specialization in mathematical problem solving.

Key words: mathematical problem solving; mathematics method; specialization

I

目 录

中英文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„I 1.数学中的特殊化方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.特殊化方法的研究„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

12.1.特殊化方法的分类„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2.特殊化方法的使用技巧„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

2.2.1.能应用特殊化进行计算的题目类型„„„„„„„„„„„„„„„1

2.2.2.应用特殊化方法进行解题常用的思维方式„„„„„„„„„„„„2

2.2.3.应用特殊化方法解题应该遵循的原则„„„„„„„„„„„„„„2 3.特殊化在数学解题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.1.利用特殊化方法直接解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

3.1.1.能利用特殊化方法直接解题的题目类型„„„„„„„„„„„„„2

3.1.2.特殊化在解选择题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

3.1.2.1.特殊化在解代数类选择题中的应用„„„„„„„„„„„„„2

3.1.2.2.特殊化在解判断、条件、动点类选择题中的应用„„„„„„„„4

3.1.3.特殊化在解填空题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„5

3.1.4.特殊化在解判断题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 3.2.利用特殊化方法为解题提供思路„„„„„„„„„„„„„„„„„6

3.2.1.特殊化方法在解证明题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„6

3.2.2.特殊化方法在解应用题中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.在具体教学中特殊化思想方法的教与学„„„„„„„„„„„„„„„„7 4.1.教师如何教授特殊化方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7

4.2.学生如何学习使用特殊化方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10

II

引言

在数学解题过程中，常规解题方法常常显得复杂繁琐，在有限的作答时间里，方便快捷的解题技巧变得尤为重要。与此同时，了解特殊化方法在解题中的作用及使用技巧，学会合理使用特殊化方法进行解题也变得极为重要。应用特殊化方法，根据题目要求选取最合适的特殊值进行解题，达到省时省力、高效率解题和拓宽视野的目的。能有效的利用特殊化方法处理、解决不同类型的题目，提高解题效率，拓展解题思维，是现代教师应着重指导学生培养的能力。

1.数学中的特殊化方法

特殊化作为数学思想方法中的重要思想，在数学学习中占有举足轻重的地位。唯物主义的辩证法告诉我们“矛盾的普遍性即寓于矛盾的特殊性之中”。在解数学题的过程中，许多学生只注重于进行数值计算、论证,当出现陌生、新颖或不易解决的题目时却不知道怎样去寻找、探索、发现解决问题的途径与方法。此时，若运用特殊化方法，从问题的特殊情形进行考虑，很容易便能起到启发思维、简化解题、优化步骤、培养能力的效果。

数学解题中的特殊化方法是一种“以退为进，以点破面”的策略，当常规的思路、方法在问题的解决上遇到了困难、阻碍时，合理的将问题进行弱化、简单化或具体化，将问题化为当前所能认识理解的层次进行分析，再由这一层次获得解决问题的方法，之后将问题解决或回到原来的层次将问题解决。即由“一般”得到“特殊”最后得到“结论”， 或由“一般”得到“特殊”再得到“一般”最后得到“结论”的思维模式。简言之，特殊化方法即由个别的、特殊的情形或现象着手，以此来获得方法或规律的提示，从而找出解决问题的方法。

2.特殊化方法的研究 2.1.特殊化方法的分类

根据特殊化方法的作用结果，可将其分为两类：能直接解题的特殊化方法和为解题提供帮助从而间接解题的特殊化方法；由特殊化方法的作用方式，可将其分为：简化所求问题和根据特殊对象观察所求问题两大类；由特殊化对象的不同，可分为：取特殊数值法、取特殊点（线、面）法、取特殊函数法、取特殊图形法、取特殊位置法、取特殊关系法等。

在解题过程中不同类型的特殊化方法和谐统一，虽然方法不同，但是目的一致，都是为解题提供服务。选择适当的特殊化方法才能更好的为解题服务，达到启发思维、精简过程、优化解题、节约时间、提高综合能力的效果。

2.2.特殊化方法的使用技巧

2.2.1.能应用特殊化进行计算的题目类型

当遇见下列类型的题目时，可以考虑使用特殊化方法：代数类问题、求最值问题、比较大小问题、数列问题、任意点问题、求定值问题等。

1 2.2.2.应用特殊化方法进行解题常用的思维方式

在数学问题的解决过程中，当问题的一般性不是十分明显时，即可考虑从特殊的数、形的数量关系和位置关系着手出发，尝试寻找解题的方法或构成解题的切入点。初步着手使用特殊化处理问题时，先尝试随机的特殊化处理问题，以此从不同方位了解问题；之后尝试系统的特殊化处理问题，为之后的一般化提供认识程度的基础；最后，由巧妙的特殊化处理问题，对所得的一般结论进行进一步检验。换句话说，即当问题较难入手解决时，将问题化到具体、简单的背景下进行观察，从特殊、简单或极端的情况进行探索、分析和认识原本复杂的问题，从不同的角度去发现解决问题的突破口，获得启发，最后得出解决问题的思路与途径。

2.2.3.应用特殊化方法解题应该遵循的原则

应用特殊化方法分析解决问题时，要有目的的进行特殊化。首先应该遵循利用特殊化往便于自身理解且自身掌握良好的方向进行处理的原则；之后，应遵循往令问题更清晰、更简单、更易于解答的方向处理的原则；最后，应遵循往不背离问题的原意、符合问题要求的方向进行处理的原则。

3.特殊化在数学解题中的应用 3.1.利用特殊化方法直接解题

3.1.1.能利用特殊化方法直接解题的题目类型

此类题型的特殊化解决是特殊化方法在解题中应用的最普遍形式，利用特殊化通常能极大地简化过程，减少此类题型的解题时间。能利用特殊化方法直接解题的题目的主要类型为：选择题、填空题以及判断题。

此类题型运用特殊化方法的优缺点：

优点：往往能高效快捷的得到问题的答案；缺点：容易导致学生不能很好的认识问题的本质。

要做到利用特殊化方法高效快捷地解此类题型，并从中很好地理解题目本质需要靠平时知识的积累和对题目条件的深刻理解和把握。

3.1.2.特殊化在解选择题中的应用

由于选择题的特殊性，在解选择题时，首要的不是按部就班地进行推理计算，而是合理根据题目的条件以及选项作出快速判断与合情推理。

3.1.2.1.特殊化在解代数类选择题中的应用

例1：已知 a1=l，an=n(an1-an),nN*，则数列{an}的通项公式为( )

n1n1A.2n1 B.() C.n2 D.n

n分析：取特殊项来检验,先求a2，当n1时,a11(a2a1),即a22,根据选择支使a22只有D,故选D。

本例题恰好只有一个选项符合a22这个要求，一般做类似选择题时，可能

2 会有同时存在多个选项符合要求，此时只需学生继续选取特殊项，算出a3,a4,a5的值，利用排除法，很容易就能得到正确答案。

本题运用特殊化取值的方法，先算出数列前几项的值来检验选项的正确性，只需进行简单的运算，就能找到符合题目要求的选项，省去了繁琐的代数运算与推理变形，为学生考试节省了时间，但是在平时的练习中，应该重视常规解题的思路以及方法，提高学生对知识点的掌握程度以及运用的灵活性，将一般化与特殊化相结合，才能做到完整地掌握所学内容。

2x36x例2：不等式组32x的整数解是（ ）

2x121A.1、2 B.

1、

2、3 C.x3 D.0、

1、2

分析： 法一：（常规解法）

x33x9x3解该不等式组可得1

x4x232x2x1212 。故选A。 x3 ，由题目所要求，整数解为

1、2此题有一处陷阱，即用常规解法解题时，经过一系列运算最后终于计算出了最后解得

x3结果，从而选择了错误选1 ，此时学生极可能忘记题目中的限制“整数解”x21项C.x3

2但若运用特殊化方法来处理这道题，则有效地避开了这一陷阱。

法二：（特殊化解法）

观察题目选项，利用排除法。根据题目要求“整数解”，C选项不止含有整数解，直接排除C选项；

2，B项多了一个整数继续观察剩下的A、B、D选项，三项都含有整数解

1、解3，D项多了一个整数解0，所以将3和0作为特殊值分别带入x，即可发现：

当x3时，2x33，6x3，不满足2x36x，排除B项； 当x0时，2x33，6x6，满足2x36x；

32x332x，不满足2x1但

2x11，，排除D项； 222故本题选A。

小结：很明显，本题运用特殊化方法解题，大大减少了解题的运算量，提高

3 了解题速度以及正确率。将特殊化方法与排除法相结合，在解选择题中常常能起到事半功倍的效果。

3.1.2.2.特殊化在解判断、条件、动点类选择题中的应用

例3：若x(e1,1)，alnx，blnx2，cln2x 则（ ） A.abc B.cba C.bac D.bca

分析：此题为判断三个代数的大小关系，若能找到一个合适的特殊值代入即可找出正确选项。

由lnekk

在(e1,1)上取一特殊值xealne1212，代入可得：

1

2bln(e)21

cln(e)212121 4故bac，选C。

小结：特殊化方法在解决比较大小、判断位置关系的问题方面有着极大作用。学生利用特殊化能迅速将一系列复杂的代数式或算式转换成具体数值，之后便能很容易的进行比较和判断。可以说，特殊化方法极其适合解决该类问题。但应用的关键仍然是特殊值的选取，能快速寻找、选择出符合题意又对解题有显著作用的特殊值，是每一名学生学习、应用特殊化方法解题应该重点培养的能力。

P例4：如右图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，P是ADA上一个动点，PEBD于E，PFBD于F。则PEPF的值

E是（ ）

FDA.4.8 B.5 C.5.2 D.53 2BC

APDEOFBC分析：本题为动点求定值问题。由题目所给的“P是AD上一个动点”，即可取特殊点P为AD中点，如左图。

此时，易得PEPF，所以只需算出PF即可。 由题可得

BD10

ABPF3sinADB

BDDP5 4

33PFPD42.4

55 PEPF2.42.44.8

故选A。

小结：取特殊点、特殊位置等是利用特殊化方法解函数题、几何题的重要方法。在解决类似问题时，常取的点一般是中点，三分之一点等。在解题过程中，根据题目限制，选取适当符合题目要求的点或位置，以便达到有助于计算或观察相互关系的目的。在解图形类选择题时，学生应往对解题有利的方向将图形进行特殊化处理，一切以令自己易观察、易计算、易理解为原则，从而做到对问题的深入了解以及解决。

3.1.3.特殊化在解填空题中的应用

例5：无论a为何值，函数yx2(a4)xa的图像都经过的点是

分析： 法一：（常规解法）

由题可知，图像必经过的点的坐标与a无关，所以可以考虑消去a。 将函数进行变形

 yx24xaxa

提取公因式a，则函数可化为

 yx24xa(x1)

即当x1时，可以消去a，函数与a无关； 且当x1时，函数值y5

所以，所求点的坐标为（1，5）

法二：（特殊化法）

由于a的任意性，可以对a取两个特殊值列出方程组，计算方程组的解即所需答案。观察函数，为了计算简便， 可令a4消去一次项得到yx24； 再令a0得到yx24x； 解关于x,y的方程组

2x1yx4  得

2y5yx4x即经过的点为（1,5）

小结：很明显，本题利用特殊化法进行计算并没有达到简便快捷的效果，常规解法反而更加容易解出答案。这便说明特殊化方法并不一直都是解题的简便方法，但是可以作为常规解法之外的备用解题途径，在帮助学生保证得分率方面起到重要作用；也说明了特殊化方法是需要学生去寻找最合适的特殊值或特殊情况进行讨论，才能够很好地做到简便快捷地解题。

本例题也说明了一条应用特殊化方法进行解题的途径：先尝试使用常规解法解题，当常规解法较为复杂繁琐时，再考虑特殊化解法。

5 3.1.4.特殊化在解判断题中的应用

特殊化在判断题中的应用与选择、填空题类似。在解判断题时，要证明题目是错误的，只需利用举反例的方法直接进行判断，这即是特殊化方法在判断题中的最为普遍也最为有效的应用；但是，当要判断题目是正确的时，就需要进行严密的证明，此时就有了特殊化方法的另一种应用：提供解题思路。

在做解答题、证明题等题目时，学生不能直接使用根据题目限制取特殊值、特殊点等常规特殊化解题方法进行答题，只能使用特殊化方法的另外一种应用,即为解题提供思路。

3.2.利用特殊化方法为问题解决提供思路 3.2.1.特殊化方法在解证明题中的应用

在求定值问题时，可利用特殊情形求出定值，然后进行证明

例6：已知：axbyc，bxayd，且a2b21，c,d为常数，求证：x2y2为定值。[11]

分析：取a0，b1符合a2b21 代入axbyc和bxayd中，

解得yc,xd

故：x2y2c2d2(由于c,d为常数，所以c2d2也为定值)。 由此可获得思路，即凑出c2d2

即将已知条件的axbyc以及bxayd分别两边同时平方后两式相加即可得到c2d2

证明：由题目所给等式axbyc，bxayd分别进行两边同时平方后可得：

a2x22abxyb2y2c2 „„（1） b2x22abxya2y2d2 „„（2）

（1）+（2）得：

x2(a2b2)y2(a2b2)c2d2„„（3） a2b21 代入（3）

x2y2c2d2 又c,d为常数 c2d2为定值 即得证原命题

本例题很好的阐述了特殊化方法在为解题提供思路上起到的突破性作用，通过特殊化处理，原本难以看出证明切入点的题目，在经过了特殊值带入后，便能很明显的看出证明的思路以及方向，能迅速的找到解题突破口，也能令学生更容易的理解题目的本意。

3.2.2.特殊化方法在解应用题中的应用

例7：在一个箱子中盛有2014个珠子，甲、乙两人轮流从盆中取球，每人每次最多取7个，最少取1个，如此循环，取到最后一个珠子者胜，现在由甲先取，问甲怎样才能一定获胜？

6

分析：本题通过常规化思路进行时，对甲、乙进行分情况讨论。由于珠子总数有2014个，数量较多。甲每轮每次有取1，2，3，„，7个珠子，7种取法；乙每轮每次也有取1，2，3，„，7个珠子，7种取法；则甲乙两人每轮每次就会有49种取法，如此考虑该问题将变得十分复杂。此时，即可考虑使用特殊化方法进行辅助解题。

根据已知题目，甲、乙每次最少拿1个，最多拿7个，如果刚好只有8个珠子，那么先拿的人必输。

“第一个人拿的珠子数”“剩下的珠子数”因为若设 x，u

则 1x7

18x7

1u7

即剩下的珠子数都是后一个人能一次性全部拿走的。

所以，此时若想让先拿的甲获胜，甲就应该在他倒数第二次拿珠子时，让剩下的珠子只有8个。即甲每一次取完珠子，只需要保证剩下的珠子数量是8的倍数即可。

由此，便可以得出让甲一定获胜的方法： 根据 201482516

则，甲第一次只需取出6个珠子，剩下的珠子总数便是8的倍数。 之后，若每一轮乙取了k个珠子（1k7），那么甲只需要取出8k个珠子，便能一直保持取完后剩下珠子数量是8的倍数。

如此经过251轮，甲便一定能获胜。

小结：特殊化方法在解应用题中的应用与证明题类似，都是以特殊化为解题突破口，从题目所给的一般现象中找到特殊情况，之后优先从特殊情况入手，在特殊中深入了解题目所给的信息，找到解决问题的方向或途径，最后从特殊回到一般，将题目解答出来。由本例题可以看出，能否取到一个合适的特殊值是应用特殊化方法解应用题的的重中之重。

4.在具体教学中特殊化思想方法的教与学 4.1.教师如何教授特殊化方法

教师在平时的上课教学中，应有意识地加深特殊化方法在学生脑中的印象；在习题讲解中强调发散思维，介绍特殊化解法的具体应用与注意事项；引导学生另辟新径，敢于尝试特殊化方法，激发学习兴趣，调动学生内在的思维能力。

具体实施时应注重因材施教： 对于优秀学生：在掌握基本知识的基础上，要求其平时解题时在常规解法的基础上，再次尝试特殊化方法进行解题，以便于在考试时能迅速选取出最适合实际题目的解题方法，提高考场解题效率。

对于后进生：由于后进生一般是对基础知识的掌握不扎实，难以发现问题的本质，则可要求其尝试利用特殊化去了解问题本质，获得解题途径最后得出答案，提高其在考试时的得分率。教师还应重视培养其从“特殊”回到“一般”的思维方式，利用特殊化方法了解问题的一般化解法，巩固基础知识，最后做到向优秀生的转变。

7 4.2.学生如何学习使用特殊化方法

首先，学生在平时的学习过程中应主动了解特殊化方法，学习特殊化的思想方法，转变思维方式。养成从一般现象中发现特殊个例的习惯，学会从特殊对象着手去解决问题。

其次，在做习题时考虑多种方法，分析常规方法以及特殊化方法在解不同题目时的优缺点，以积累解题经验，以便能在考试有限的时间内，以最快的速度选取最合适的解题方法。

最后，在遇见难题时养成尝试特殊化方法解题的习惯，从多方面、多角度去观察和分析问题，培养由“一般”到“特殊”再到“一般”的思维模式。不被题目所限制，利用特殊化方法“以点破面”地解决难题。

8 参考文献：

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致谢

经过几个月的撰写，在老师的悉心指导下，完成了此次毕业论文。由于经验的匮乏，论文有许多考虑不周全的地方，在林老师的督促指导下，才逐渐完善。并且在论文选题、问题讨论和论文撰写过程中，林老师都倾注了大量心血，为我提供参考文献，指导我优化排版，给予了我极大的关心和帮助，感激之情难于言表。

值此论文完成之际，谨向敬爱的林老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！祝愿林老师工作顺利，身体健康，万事如意。在此也感谢大学中为我打下专业知识基础的所有老师们，感谢数学与统计学院同学们的陪伴，感谢闽南师范大学的培养，我将铭记在心。

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