大学毕业论文数学

素数

张佳俊08数学2班200803012036

摘要：数学具有简单美、对称美、统一美、以及奇异美。在长期的数学学习中，也不难发现它的组合美。比如，最基础的数论组合112.这种美体现在数学的各个方面，现在我们就来讨论它的组合美在素数中的应用。而且，在不同的范围中将会有不同的结论，在这里，我们将提出并验证这些构想。

关键词：整数；素数 ；组合

我们先给这里所说的素数组合一个简单定义：一个整数（0除外）可以写成两部分，一部分可以被素数a整除，另一部分可以被素数b整除。即：manbN (其中，a、b是素数，m、n、N都是整数（0除外）)。

我们先看一下初等数论中的一个基本概念。

正整数分为三类：

一类是单位数1。

一类是素数（也称质数），是指除了1和本身之外没有其他因数的正整数，如2,3,5,7,11,13,17,19等。

一类是复合数，简称合数，是指大于1的不是素数的正整数，如2,4,6,8,10,12等[1]。 所以，我们先从正整数开始讨论。

一、素数组合在正整数中

在正整数中讨论manbN，规定a、b是素数，m、n、NZ。

构想一：2m3n可以组合为大于等于5(235)的任意正整数（正整数6(236)除外）。

求证：2m3nN，且m、n、NZ，有(N5,N6)。

证 (2,3)1,N(NZ),2m3nN方程有整数解。当n1时，2m3n2m3.则2m3可以组合为大于等于5的一切奇数.则2m3on（on表示任意1个正的奇数oddnumbers）（奇数：）可以组合为大于等于23on的一切奇数.当n2时，2m3n2m6则2m6可以组合为大于等于8的一切偶数.则2m3en（en表示任意1个正的偶数（偶数：evennumbers））可以组合为大于等于23en的一切偶数。证完。

综上所述，2m3nN(N5,N6,且Nz)，即构想一成立。

构想二：3m5n是否有与2m3n同样的一般性质？

解：3m是3的正倍数，5n是5的正倍数，3m5可以组合为一切3的正倍数加5，同理35n可以组合为一切5的正倍数加3，3m5n又可以组合为3的正倍数与5的正倍数之和。

综上所述，在3m5nN3中，N3m5或N35n或N3m5n，其中m,nZ）.3m5n的组合范围相对2m3n的组合来说范围缩小。

构想三：2m5n有与2m3n同样的一般性性质。

求证：2m5nN(N7,(257),N8,10,(2510,)大于7小于10的另一个偶数是8)且m,nZ）。

证(2,5)1,N,(NZ)方程2m5nN有整数解。当n1时，2m5n2m5，则2m5可以组合为大于等于7的一切奇数。则2m5on（on表示任意1个正的奇数）可以组合为大于等于(25on)的一切奇数。当n2时，2m5n2m10，则2m10可以组合为大于等于12的一切偶数。则2m5en（en表示任意1个正的偶数）可以组合为大于等于(25en)的一切偶数。证完。

综上所述，2m5nN(N7,(257),N8,10,(2510,)成立，即构想三成立。 构想四：组合manb（其中，a,b是素数m,nZ且a,b2）具有与3m5n同样的性质。

求证：组合manb（其中，a,b是素数m,nZ且a,b2）具有与3m5n组合同样的性质。

证ma是a的正倍数，nb是b的正倍数。mab可以组合为一切a的正倍数加b，同理anb可以组合为一切b的正倍数加a，manb可以组合为a的正倍数与b的正倍数之和。证完。

综上所述，manbN（其中Nmab或Nanb或Nmanb，其中a,b是素数m,nZ）.即组合manb（其中，a,b是素数m,nZ且a,b2）具有与3m5n组合同样的性质。

结论一：在正整数中，组合manb(a,b是素数，且有1个等于2,(m,nZ))可以组合为一切大于等于(ab)且不等于(ab)以及大于(ab)小于(ab)的一切偶数（由构想

一、三得）；组合manb（其中，a,b是素数且a,b2，m,nZ）可以组合为一切以(mab)、(anb)、(manb)为值的正整数（m,nZ）（由构想

二、四得）。

二、素数组合在整数中（一切不考虑0）

0乘任何数都为0，0不可以做除数。所以在这里的讨论中任何数都不等于0。 构想五：manb可以组合为任何整数（除0以外）。

求证：manbN(a,b是素数，m,n,NZ,N0)，N为0以外任意整数。

证(a,b)1,N,(N0)在manbN(a,b是素数，m,n,NZ,N0)中，则总存在整数解m、n为这个方程的解。证完。

结论二：在整数数域中，素数组合具有一般性质，即：任意一个整数（0外）可以

写成两部分，一部分可以被素数a整除，另一部分可以被素数b整除。即：manbN (其中，a,b是素数，m,n,N都是整数（0除外）)。

以上就是这篇论文所讨论的素数组合在整数中两两组合或者两两的倍数的组合，从中我们可以充分看到组合美在数学中的存在和体现，尤其是在素数组合的构想中完全体现了这种美。

参考文献

[1]胡作玄，数学上未解的难题[M]，福建科学技术出版社，2000.1.

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论[M]，高等教育出版社，2003.12.

[3]章士藻，段志贵，陈汉平，数学方法论简明教程[M]，南京大学出版社，2008.12.

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