两角差余弦公式教学设计（精选多篇）

推荐第1篇：两角差的余弦公式教学反思

两角差的余弦公式教学反思

两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

之前我在新旧教材中都讲过这个内容，经过这次培训，我又对这一内容进行了设计，重新备课。就之前与之后的教学，我进行了反思。

一、反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。

二、反思教学过程：

（一）创设问题情境：之前旧教材的教学，我们只关注公式的应用，而轻视公式的由来，这样符合公式的发生发展过程。这次的教学设计我从如何解决一个实际问题出发，调动学生的思维与学习积极性，抓住学生的兴趣。

（二）两角差的余弦公式的探究过程：之前旧教材的教学是用两点间的距离公式来推导两角和的余弦，再赋值得到两角差的余弦公式，这一过程中对学生的思维训练不是很多。而新教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。我采用了新教材的思路。

(三)两角差的余弦公式的简单应用。除了课本上的例题、习题，我补充了课堂练习、及课后作业，针对性较强。

推荐第2篇：两角和差的余弦公式

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、教学设计：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos4523，cos30，那么cos15呢？ 22我们能否利用已知余弦值的角度的来表示cos15呢？可知cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：

1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

（三）例题讲解

- 1

3.已知sin

23334.已知sin,(,),cos,(,2),求cos()的值。

3242 15,是第二象限角，求cos()的值。 1735.若0 2,13，求cos()的值 0,cos(),cos()22434236.已知cos

510,cos(),且0，求的值。

25107.已知coscos

24,sinsin，求cos()的值。 33变式：若上题中添加条件0，求的值。

- 3

推荐第3篇：3.1.1两角差的余弦公式教案

3.1.1两角差的余弦公式

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

三、教学重点难点

重点

两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点

探索过程的组织和引导。

四、学情分析

之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距

六、课前准备

1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)

0

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：cos45 ，cos30 ，cos15 （2）cos(4530)cos45cos30是否成立？

设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函数线法：

问：①怎样作出角、、的终边。 ②怎样作出角的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。

Yp1ACβαOBα-βMXP

（1） 设角终边与单位圆地交点为P1，POP1,则POx。 （2） 过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。

（3） 过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos，AP 表示sin，并且PACPOx.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos+APsin

=coscossinsin

最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

、、都是锐角，且

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。 设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。

如图,建立单位圆O 则OAcos,sin,OBcos,sin由向量数量积的概念,有A

由向量数量积的坐标表示,有

因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)，使得 coscos()。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法1：

cos150cos(450300)cos450cos300sin450sin300…=解法2：

B O x

于是对于任意角、都有

简记C

（）0y 624 cos150cos(600450)cos600cos450sin600sin450…=变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）cos(264

2)sin； （2）cos(2)cos

4π5例2.已知sinα= ，α（ ，π），cosβ= - ，β第三象限角，求cos（）的值5213 （让学生联系公式C和本题的条件，考虑清楚要计算cos，应作那些准备。）

3442解：由sin,,，得cos1sin1

555212552又由cos，是第三象限角，得sin1cos1

1313133541233所以coscoscossinsin()

51351365让学生结合公式cos()coscossinsin，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练：已知sin2215，是第二象限角，求cos（）的值 173

（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维

1.利用两角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos1050cos(1500450)，要学会灵活运用.

2) 2.求值 cos75cos30sin75sin30 (200003．化简cos()cossin()sin (cos)

115（）4.已知，为锐角，cos，sin（）3 ，求cos

2714提示：利用拆角思想coscos[()]的变换技巧

（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）

（四）发导学案、布置预习

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C()的推导，能熟练运用公式C()，注意公式C()的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本P137习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)

九、板书设计

两角差的余弦公式

1.三角函数线法 2.向量法

例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1.2.3.4.

十、教学反思

本节主要考察如何用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，回顾公式

C（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。

推荐第4篇：两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示

的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。

的三角函数。 因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为

, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示

,

和

, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与

, 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得

；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆

, 并作角

, 和

, 使

于点 B；角 始边为 , 终边交

,

于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,

。

。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2) 如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角

,

中作单位圆 终边交

。

, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得

。

由余弦定理得

。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。 因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上

的过程也可以用勾股定理来进行。

(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式 (一)

(方法3) 如图所示, , ,

为

的

边上的高 ,

为

边上的高。设

, 则。从而有 , ,

,

。

因此 ,

。

注意到 从而有

,

, 整理可得

。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示

, 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4) 如图所示, ,

, 则

为

的

。

边上的高 ,

为

边上的高。 设

注意到 , 则有,即。 从而有

。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5) 如图所示 , 则有

为

的

边上的高。 设

,

,

,。 由正弦定理可得

, 其中 d为 的外接圆直径。

由 得

, 从而有

。

2.和角正弦公式 ( 二 ) 方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。

(方法 6) 如图所示 , 作

,

, 则

于D, 交 ,

,

外接圆于 E, 连

。

和

。 设设 的外接,

圆直径,

为 d, 则有,

。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7) 如图所示 , ,

, 则

为

的

边上的高 ,

, 则

为

边上的高。设

。 设

, , ,。

, 又

从而。 整理可得

。

(方法 8) 如图所示 , 作 设 ,,

。

于D, 过 D作 , 则

,

于 F, ,设

于G。 , 从而

,所以。

注意到 , 则有

。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算

, 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得

,

, 从而有而可得

。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9 ) 如图所示 , 设

,,

为

的

边上的高。 设

,

, 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10) 如图所示 , 设

, 则

为 , 从而

的外接圆直径d, 长度为d。 设

,

注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和 。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11) 如图所示 , 则。 设

为 , 则

的

边上的高。 设

,

,

方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角

,

相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12) 如图所示 ,于 E, 则

,

。 设 ,

, 从而有

, 记 , 作

(方法 13) 如图所示 , , 则

,

为

的外接圆直径 , 长度为 d。设 。 从而

,

方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的公式是成立的。 下面证明 , 角 和 都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。 不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法

, 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1) 明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ； (3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或

的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 >( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。

推荐第5篇：43.1.1 两角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

二、编写意图与特色

1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式

约3课时 3.2简单的恒等变换

约3课时 复习

约2课时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.

二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.

三、教学重点与难点

1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、学法与教学用具 1.学法：启发式教学 2.教学用具：多媒体

四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到22cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与cos、cos、

sin、

sin之间的关系，由此得到cos()coscossinsin，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：

1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出

coscoscoscossinsincoscossinsin

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos7

5、cos15的值.解：分析：把7

5、15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos4523216222224126

cos1530cos45cos30232sin45sin3022224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.例

2、已知sin45，,,cos,是第三象限角，求cos的值.51323442解：因为,，sin由此得cos1sin1

555212552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin223335412 51351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题.

（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

（五）作业：P150.T1T2

推荐第6篇：高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用单位圆法和向量方法建立两角差的余弦公式。通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

三、教学设想：

（一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到cos15cos4530?22大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

我们可以用计算器来算算: cos15°≈0.966, cos45°≈0.7, cos30°≈0.866,显然，我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

请同学们回忆下，在第一章三角函数的学习当中，我们构建过什么图形来帮助我们求解角的三角函数值的？对，我们是在坐标系中画单位圆，通过在单位圆里构建直角三角形来计算角的三角函数值的。那今天我们也用同样的方法来求解两角差的余弦值。

思考1：怎样在单位圆中构造角和角，进而求得cos?（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来。）

思考2：我们构造的角都是锐角，但它们为钝角的时候，这个公司是否也成立呢？

思考3：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式特点极似两向量的内积公式，我们能否用向量的知识来证明？

（1）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

（2）两向量之间的角是夹角〔0，〕，而为任意角，当角(,2)时，公式是否正确呢？

两角差的余弦公式：cos()coscossinsin

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos

15、sin75°的值.

解：分析：把15构造成两个特殊角的差。 

cos15cos4530cos45cos30232sin45sin302221264 2点评：把一个具体角构造成两个角差的形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用。

sin75°= sin(90°－15°) =cos15° 例

2、已知sin45，,,cos,是第三象限角，求cos的值。513223442解：因为,，sin由此得cos1sin1

555212552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin23335412 65513513点评：注意角、的象限，也就是符号问题。

思考：本题中没有,)，呢？ 

2（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20

13（2）cos15sin15

22cos80cos20sin80sin20 cos(8020)cos60解:（ 1）1 2

（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

（1）牢记公式C()CCSS．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：翻到教科书本节的课后练习题……

推荐第7篇：《两角差的余弦公式》参考教案1

§3.1.1 两角差的余弦公式

【三维目标】：

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力以及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。

2.通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值，化简和证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题、创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想的方法。【教学重点与难点】：

重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 难点：探索过程的组织和适当的引导。 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学过程】：

一、导入新课：

我们在初中的时候就已经知道cos45o22，cos3032，由此我们能否得到cos15cos(4530)？是不是等于cos45cos30呢？老师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的，那么究竟是什么关系呢？cos()？这时学生急于知道答案，由此展开新课：我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”。这是全章公式的基础。

二、推进新课：

1请学生猜想cos()? ○有的同学可能会首先想到cos()coscos，然后让学生由特殊角来

1 / 4

验证它的正确性，如60，30时,则cos()cos3012332,而coscos0,这一反例足以说明cos()coscos.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例说明即可.2既然cos()coscos,那么cos()究竟等于什么呢? ○鼓励学生思考.由于这里涉及到得是三角函数的问题,是这个角的余弦,能不能用这个角的三角函数线来探究呢? cos（）OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin

即 cos()coscossinsin

教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角，，是有条件限制的，即，，均为锐角，且，如果要说明此结果是否对任意角，都成立，还要做不少推广工作，这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后作为思考题尝试一下。

对于任意角，都有

cos()coscossinsin

此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C（）。有了公式C（）以后，我们只要知道cos、cos、sin、sin的值，就可以求得cos()的值了。

3细心观察C（）○公式的结构，它有哪些特征？

教师引导学生细心观察公式C（）的结构特征，让学生自己发现公式右

2 / 4

边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“—”右“+”。

下面，我们就来对公式进行运用。 例1 利用差角余弦公式求cos15的值 解：方法一

cos15=cos(4530)

cos45cos30sin45sin30

642

方法二

cos45cos(6045) cos60cos45sin60sin45

246

【举一反三】：

求值：cos1950

cos195cos(18015)cos15(cos45cos30sin45sin30)642



【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.

例2 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： （1）cos(2)sin； （2）sin(2)cos

【点评】：前面我们是要求学生利用三角函数线去掌握诱导公式，现在让他们从差角的余弦公式角度出发去证明，掌握数学间知识的联系。

例3 求下面三角函数式的值

3 / 4

cos54cos36sin54sin36

解：cos54cos36sin54sin36

cos(5436)0 【点评】：要求学生不仅能够直接利用公式求解，还要能够逆用公式，需要培养学生的逆向思维能力，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧。

如coscos(())cos()cossin()sin 变式训练： 已知cos(),cos231513,,均为锐角，求cos()

作业：

三、课后小结：

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C()的推导，能熟练运用C()公式，注意C()公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

4 / 4

推荐第8篇：两角和与差的正弦公式与余弦公式

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式

重点分析：

本节课的重点是两角和与差的正弦与余弦公式，二倍角公式．两角和与差的正弦与余弦公式是本章的重要内容，是后继内容二倍角公式，三角函数式化简等问题的解决有着重要的支持作用．通过本节课的学习，培养学生的观察能力，灵活运用公式的能力．

难点是余弦公式的推导和两角和与差的正弦与余弦公式的灵活运用．

突破难点的方法：

讲清公式的特点．比如cos()coscossinsin；引导学生观察时先整体后局部：余弦乘余弦+正弦乘正弦，先后，注意正负符号是相反的．可以让学生自己总结出相应的口诀来概括两角和与差的正弦与余弦公式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于学生记忆．

灵活运用公式方面主要是让学生从正反两个方面加深学生对公式的理解和认识．

余弦公式的推导过程中先复习单位圆和数量积的相关知识，通过几何画板动态演示．给学生以直观的认识．

推荐第9篇：两角差的余弦公式教案（小编推荐）

两角差的余弦公式

———数学092叶鹏程

【知识与技能目标】：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

【过程与方法】：培养自己严密而准确的数学表达能力；培养自己逆向思维和发【散思维能力】；培养自己的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

【情感态度价值观目标】：通过观察、培养良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度

【教学重点】：两角差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点】：两角差的余弦公式的推导。

【教材分析】：这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 而且，通过上节课的学习，学生已经掌握了两角和的余弦公式及推导方法。 【教学教法】： 独立思考，生生交流探究，小组合作

【教学过程】：

一.自主探究，引发思考 层层深入，得出结论（8分钟） 1.独立思考以下问题

怎样利用单位圆中的三角函数线探究两角差的余弦（试画出图像加以说明）

（目的：回忆单位圆表示角，同时推导公式）

2.继续探究

怎样利用向量数量积概念的计算公式探究两角差的余弦。（试画出图像加以说明）

（目的：用向量的方式，推导公式） 两角差的余弦公式： cos()_____________________

公式特点 （记忆方法。）

二．互相交流 小组活动 公式应用闯关 （20分钟）

请用特殊角（可以使30,45,60等）分别代替、你有几种方法1.求cos15：

(1) cos150 (2) cos150

（目的：比较简单的分解问题，为了加深运用和理解）

2.若β固定，分别用 , 代替α，你将会发现什么结论呢？

2(1)cos()

(2)cos(2)

(3)cos(3) 2（目的：余弦诱导公式的推导，强化理解运用）

3.倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？ (1)cos（-4）

（-） (2)cos(3)cos）（cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

）cos(_____)(4)cos（（）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：难度逐渐加深，体会理解公式的变形。） 4.例题：如何应用两角差的余弦公式化简求值

（1） cos80cos20sin80sin20

13 (2)cos15sin1522(3)cos80cos35cos10cos55（目的：巩固练习，灵活运用公式）

三.师生共同活动 数学运用 （12分钟） 例1．已知sin的值.（目的：比较深入的公式运用，锻炼学生的数学思维。在讲题的过程中，强调“象限角”） 变式练习：

已知,都是锐角，cos45,cos(),求cos的值。 513(目的：例题1的变式，让学生体会此类题目的灵活性) 五．自我学习反思 （4分钟）

（首先教师回顾总结课堂内容，然后让学生自己来讲讲这节可学到什么。

主要目的是为了加深学生的记忆，同时，比较发散的讨论，能让学生真正参与到学习中来）

六．作业布置：

1.教材第142页，课后练习45，,,cos,是第三象限角，求cos51322．课后自主探究：知道了cos(-)，你觉得sin()也有类似的规律吗？（目的：给学有余力的同学做，一是预习，再是通过找规律，加深本节课的理解）

推荐第10篇：课题：两角差的余弦公式教案说明[全文]

《两角差的余弦公式》教案说明

湖南师大附中

吴菲

一、授课内容的数学本质与教学目标定位：

《两角差的余弦公式》这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域．针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：

1、知识与技能目标：

学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题．本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建．让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系． ２、过程与方法目标：

发展心理学的研究成果表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的．所以在情景引入时，以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用．在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，打开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．

3、情感、态度与价值观目标： 高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识． 通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感．

二、学习内容的基础及今后作用：

《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可以说是起着承上启下，串联全书的作用．在教学内容的设计上，与物理（功的定义）、哲学（透过表面寻求本质）等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围．

三、教学诊断分析：

学生最大的困惑在于如何得到公式．在之前的学习过程中, 课堂上已基本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习氛围．在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功! 教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用

教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.

四、教法特点及预期效果分析：

教法特点：

从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，达到提高认识，举一反三的作用．鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价的动机，实现预设与生成的和谐统一．

本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学）、隐性教学（情商培养），利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析部分学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念．

开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和同伴合作评价；将简单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，体现学生的主体意识，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础．

利用思维的多元性，引发师生、生生之间的讨论，实践证明用学生自己的语言、自己的理解、自己的表述方式更能引发学生之间的共鸣，更能达到对已有知识进行重组、自主构建新知识的教学目的。作为老师，要以更高的视角从学生的眼中看问题，和学生一起征服尚未被他们所知（甚至是尚未被老师所知）的领域，享受在征服过程中随时可能得到的意外惊喜。不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价。

设计探究报告，帮助学生整理、构建知识体系．在重、难点突破，作业布置、课后思考等环节，都给学生留出空间，既可以实现课堂知识的再生，又可以为下节课做预习准备；既符合学生探索思维的连续性，又培养学生的创新意识和实践探索能力．

现代信息技术在数学的教学过程中运用越来越广泛，能够利用计算机进行一些简单的数学实验也将成为将来数学教学的一个发展趋势，本节课利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径． 预期效果: 基于上述分析，我们希望通过这节课：

１、让学生在掌握《两角差的余弦公式》探究方法的基础上，能够自我总结形成公式探究的一般方法．

２、激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，形成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解．

３、培养学生的“问题意识”，在探索的过程中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的．

４、让学生在与同伴的合作探讨过程中，学会运用数学语言进行交流，学会辨证地看问题，学会倾听、学会发现同伴的优点，学会进行信息整合，能从同伴的发言中提出自己的观点．

第11篇：高观点下的两角和与差的正余弦公式教学设计

高观点下的两角和与差的正、余弦公式教学设计

438600 湖北省罗田县第一中学 陈清华

1.设计背景

三角函数和三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,三角函数是刻画周期现象的一种非常重要的初等函数模型，其中三角恒等变换在发展学生的推理能力和运算能力方面具有重要的教育价值.向量是近代数学中的基本概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通

[1]代数、几何与三角函数的一种工具.人教A版必修4教材在编排上，在三角函数和三角恒等变换两章之间刻意安排了平面向量的内容，充分体现了将近代数学中的的一个重要的模型——向量，作为一种工具在三角恒等变换中加以应用，这很符合《高中数学课程课标》（以下简称标准）的数学模型化理念，体现了数学模型观，着力于渗透数学建模的思想.数学是一种文化，数学的发展过程是一部人类探索数学的光辉历史。《标准》中提倡：在教学过程中融入丰富的数学史知识，寻求数学进步的历史轨迹，领会数学的美学价值，提高学生的文化素养.三角学的历史源远流长，起源于天文观测和历法推算，三角函数源于几何问题，它是几何问题代数化的典例。在教学过程中，如果融入三角学的历史知识，通过查阅文献资料，引领学生了解三角函数的发生发展历程，并融入现代化的向量工具，引导学生进行探究性学习，使学生在探究活动中不仅知其“源”，而且知其所原。

2.教学流程  三维目标 知识与技能

 初步了解三角学的历史渊源，感知三角函数的发展历程，体会数学文化的内涵. 从几何直观上初步理解两角差的余弦公式,并初步体会向量数量积在推导两角超的余弦公式中的工具性作用.过程与方法

 查阅数学史资料，认识帕普斯“弦图”并探索其中蕴含的数学奥秘. 观察“弦图”发现并构建“单位圆”，尝试在“单位圆”上探究两角差的余弦之间的关系. 借助几何直观化“单位圆”和向量的工具，尝试类比推导两角和与差的三角函数公式.情感、态度与价值观

1.感受数学文化，初步体会数学史的丰富内涵，体会向量将几何直观转化为代数运算的工具作用.

2.通过变式探究活动，经历类比推理过程，体会从一般到特殊的数学思想在数学中的应用. 教学重难点

 重点：探究两角差的余弦之间的关系，并利用单位圆和向量推导两角差的余弦公式. 难点：类比推导两角和与差的三角函数公式  教学流程 3.教学过程

3.1回溯三角学的历史，追本溯源认识三角变换

角学起源于航海、历法推理、和天文测量研究，最初主要是研究球面三角，由于间接测量、测绘工作的需要出现了平面三角学理论。 设计1：认识“弦图”：从平面几何中发现两角差的正、余弦关系

公元3世纪末，亚历山大的数学家帕普斯（Pappus）在其《数学汇编》第5卷第4部分中给出这样一个命题：如图1，设.和[2]

是以为

为直径的半圆上的一点，的垂线，

为垂足.则

是半圆在点处的切线，

图1 图2 证明：由于命题等价于又只需证：是梯形

的中位线，所以,即

.显然有

，试用

,所以

,试用线段（比）分别表示

.中，中，中，

与

知，且

知，

，故

；

,

,;

;

的关系.

; 表示

.

得证.

..

.,又因为

,所以原问题1：如图1所示，设解析：由知:问题2：如图2所示,不妨设以及解析：在在在，问题3：结合问题2的结论，试探究解析：由又在又由中，且

且所以问题4：结合问题3类似地，试探究解析：如图2可知，又因为又在中，且

且

与

知，

，故

的关系

所以

古埃及天文学家克罗狄斯·托勒密利用两角和差的三角关系绘制了现存最早的三角函数弦表，在天文学和测量计算中有很重要的应用.制作弦表的原理如以下“弦图”所示：

设计意图：根据苏和姆林斯基的“最近发展区”理论，寻找符合学生认知的切入点，以一个古老的平面几何命题为依托，引导学生从简洁的几何图形中发现其所蕴含的三角知识，给学生一个意外的“惊喜”，激发学生继续深入探究的兴趣。其实命题的本身并不难用三角形相似得以证明，学生很容易用初中所学的三角形相似得出结论，然而这个命题中所蕴含的三角函数线的内涵却需要我们细细品味.评注：从学生所熟悉的平面几何证明过程中重温旧知，从已认知的图式中发现新的图式，打破了学生原有的认知平衡，如一石激起千层浪般激发学生的思维，通过层层设问进行合理建构，引导学生领略新的知识的发生和发展过程，体验从平面几何图形中发现三角变换的奥秘，平中见奇.设计2：发现并构建“单位圆”：由三角形的内角通往任意角的桥梁

问题5：我们发现上述的弦图只能表示范围内的两角差的三角函数关系，结合任意角以及任意角的三角函数的定义，教材上是用旋转的方式产生任意角的终边，并利用单位圆定义任意角的三角函数的，如何将三角形内角向任意角推广，我们自然就会想到能否合理构建单位圆，运用单位圆周上点的任意旋转得到任意角，在上述探究过程中其实我们已经构建出了单位圆，你能发现它吗？ 解析：引导学生发现“弦图”蕴含的“单位圆”，为了方便运算，同时引导学生运用“坐标化”的思想，建立适当的坐标系如图3所示,为任意角的两角和与差的三角公式的推导架设桥梁，铺平道路.

图3 图4 设计意图：根据现代心理学理论，认知冲突中学习过程中起着很重要的作用，教师在教学过程中应该结合学生的实际巧妙地设置认知冲突，激发学生的思维，让学生萌生探明究竟的冲动和渴望，形成学习的内驱力，促进创造性思维的发展.评注：在人教A版必修4第3.1.1节的教材中提到：“由于这里涉及的三角函数的问题，是的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识.” 并且给出了如图4所示的图形对锐角的两角差的余弦公式进行了简单推导.推导的过程和设计1的推导过程类似，然而图4的直接给出却显得有些突兀，有些学生对于为什么构建这样的图形感觉无法理解，教材没有给学生的认知搭建帮助理解的“脚手架”，那么作为课堂的主导者的教师就应该为学生的认知搭建符合学生认知最近反展区的“脚手架”.在教学过程中，如果教师能够结合数学史的知识，追寻三角知识的发展历程，站在三角知识的产生的源头的高度上对教材进行适当的处理，构建符合学生认知图式和适应学生心理的数学情境，适度地重现知识的发生和发展的过程，让学生在探究活动中发现数学，体验殊途同归的奥妙，让数学的学习真正做到返璞归真,更加自然，往往会起到触动心弦的效果。

3.2 融入近代数学元素——向量，助推任意两角差的余弦公式

设计3：引进向量工具：让三角变换在代数运算中精彩演绎 问题6：任意角的三角函数是在单位圆上定义，对于任意的两个角上表示？

分为两种情况:

和

来考虑，如图5和6.

，如何在单位圆解析：对于任意的两个角

图5

图6 问题7：如图5所示，在单位圆中？

解析：由，以及根据向量的数量积

知：

，如何运用向量方法表示

，即

设计意图：向量是近代数学中重要的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具，体现数形结合的思想.问题6是为了渗透了分类讨论和数形结合的数学思想方法，引导学生合理构建任意两角的差，问题7结合向量的数量积运算和坐标化的思想，实现三角变换在代数运算中的精彩演绎,体现向量的工具性和模型化.例1 利用差角余弦公式求

的值

解析：由变式1 试求的值.

或易得：

例2 已知是第三象限角，求的值

设计意图：根据桑代克的练习律理论，对新知进行强化和迁移应用，可以增进学生对新知的认知和理解，巩固新形成的图式

,体验只要知道

的值就可以求的值的过程.设计4：对称与变换：类比推导问题8：对于任意的两个角？

解析：如图7所示，作地可以得出：

的终边关于轴对称可得

的终边

，

，类似

公式

，如何在单位圆上表示

？试用向量方法表示

图7

，设计意图：通过对称变换在单位圆上构造，并引导学生运用向量方法推导出进一步地巩固向量推导两角差的余弦公式的过程.问题9：结合三角函数的诱导公式，能否用推导出？

解析：由

知：

用替换易得：

评注：运用以前所学的三角函数的诱导公式，引导学生进行正弦和余弦之间的互换，体验换元的思想方法在三角变换中的重要作用.4.小结反思

角差的余弦公式是所有三角变换的基础，有的教材上是用向量来处理的，这与传统教材的处理法大不一样，究竟哪种编排法更好，更符合学生的认知？向量法的实质是说这两个公式事实上是描述圆上的任意角的旋转变换。这样更加形式化了。新数学运动有过失败的经验，现代的、形式化的东西在数学科学的确很先进，但并不一定是适合学生的。作为教育，一方面要让学生领会数学思想的原初发生发展过程，另一方面又要引导学生能从各个方面欣赏已经得到的数学结果，提高认识能力。两角差的正弦、余弦公式既反映了三角的重要发展，又反映了三角变换的深刻本质，但是否要用本质的、深刻的东西取代最初本原的思想，对教师的教学观念，评鉴课程的能力提出了高的要求。

考文献

[1] 全日制普通高中数学新课程标准(实验).(2004).[2] 张小明,汪小勤.两角和差的三角公式推导——数学史融入数学教学的实例研究.数学教学，2007.02

第12篇：两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注.对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．

综上所述，

.

说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.

均为锐角的情况下进行的证明，因方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和

.

，它们的终边分别交单位圆于P

2、P3和

.P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、

∵，且

，

∴，∴

，

∴

，

∴

，

∴，

. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角

，

有关的四个点

建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于 三点在一条直线和

三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设

，

则

.在△OPQ中，∵，

∴，

∴

. 说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的.因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的.构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用.另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法

设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..

根据三角形面积公式，有，

∴.

∵，，，

∴，

∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.

根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.

(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα； (2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α) =cosαcosβ-sinαsinβ；

(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点.缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式

在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则

＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).

由向量数量积的概念，有由向量的数量积的坐标表示，有

.

.于是，有

. 说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.

综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.

第13篇：两角和与差的余弦教学设计

昌邑一中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

3.1.1 两角和与差的余弦教学设计

昌邑市第一中学

徐保国

教学目标：

1.经历向量的数量积的推导两角差的余弦公式过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数之间的联系；

2．掌握两角和与差的余弦公式；

3．能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值.

教学重点：

两角和与差的余弦公式.

教学难点：

两角差的余弦公式的推导.

教学过程：

一、情景创设、学生活动

问题1：1.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？

→→2.你能用哪几种方法计算OA·OB的数量积？

3.根据上面的计算可以得出什么结论？

学生讨论.（学生可以从几何层面进行证明）。

二、建构数学 问题3：

总结公式： 比较和差余弦公式；

四、简单运用

sin15°，例1：利用两角和（差）的余弦公式，求cos75°，cos15°，tan15°.例2：利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式.（1）；

（2）.

例3：给角求值

例4：给值求值（关键是寻求已知角与待求角之间的关系）。

五、回顾小结

昌邑一中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

两角差的余弦公式:(C())cos()coscossinsin两角和的余弦公式:(C())cos()coscossinsin

思考：如何用、的三角函数表示sin(),sin()?

六、作业

第14篇：1.1.1 两角和与差的余弦公式教案(高教版拓展模块)

1.1.1 两角和与差的余弦公式

一、教学目标

1．熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．了解差角公式产生的背景．

3．熟记两角和与差的余弦公式，并能灵活运用．

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等.

三、教学设想：

（一）导入：问题：

我们在初中时就知道cos3031,cos60，由此我们能否得到22cos30cos6030cos60cos30,大家猜想，是不是等于cos60cos30呢？

根据我们在前面所学的知识可知：我们的猜想是错误的！

那么，知道角与的三角函数值，如何计算cos的值呢？ 下面我们应用向量，来研究这个问题。

（二）探讨过程：



1、在单位圆中，设向量OA、OB与x轴正半轴的夹角分别为,，则点Acos,sin，点Bcos,si,n因此向量OA=cos,sin，向量OB=cos,sin，且OA1,OB1，于是

思考：

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

OAOBOAOBcoscos

OAOBcoscossinsin

coscoscossinsin

2、利用诱导公式求cos

coscoscoscossinsin

coscossinsin

两角差的余弦公式：coscoscossinsin 两角和的余弦公式：coscoscossinsin

公式反映了和的余弦函数值与,的三角函数值之间的关系。

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75和cos15的值.解：分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos15cos4530cos45cos30sin45sin3023216222224 23216222224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.34 ,cos，并且和都是锐角，求cos(),cos()的值。5534解：因为cos,cos，并且和都是锐角，所以

5543sin1cos2，sin1cos2

553443所以 coscoscossinsin0

5555344324 coscoscossinsin

555525例

2、已知cos点评：注意角和的象限，也就是三角函数值的符号问题.

（四）练习：

1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin1522

2．教材P3面练习1.1.1

1、

2、3题

（五）小结：

两角和与差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此

衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角和的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：

1、化简：

（1）cos24cos69sin240sin69

)cossin()sin （2）cos(

2、已知sin的值.

45求cos(),cos(),,，是第三象限角，cos，5213

第15篇：高一《两角和与差的三角函数》教学设计

高一《两角和与差的三角函数》教学设计

高一《两角和与差的三角函数》教学设计

【教材分析】

本节是北师大版高中必修四第三章2.1和2.2两角和与差的正弦、余弦函数（书第116页-118页内容），本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

【学情分析】

学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。

【课程资源】

高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪

【教学目标】

1、掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础；

2、让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生

的动手实践、探索、研究能力.

3、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.

【教学重点和难点】 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用

教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用

（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课 “两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。）

【教学方法】

情景教学法；问题教学法；直观教学法；启发发现法。

【学法指导】、

1、注意任意角的终边与单位圆交点坐标、平面向量的坐标的表示以及平面向量的数量积的两种表示形式的复习为两角差的余弦的推导做必要的准备，并让学生体会感悟向量在解决数学问题中的工具作用(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)；

2、突出诱导公式在三角函数名称变换中的作用以及变角思想让学生进一步体会数学的化归思想。

3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察掌握公式的特点。

【教学过程】

教学流程为：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

（一）创设情境，揭示课题

问题1： 同学们都知道，，试问是否与相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

【设计意图】通过问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入新知学习。

（二）问题探究，新知构建

问题2：你能用与的三角函数值表示出这两个角的终边与单位圆的交点A和B的坐标吗？怎样表示？ 【师生活动】画单位圆在直角坐标系中画出单位圆并作出与角的终边与单位圆的交点，引导学生利用三角函数值表示出交点坐标。

【设计意图】通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。

问题3：如何计算向量的数量积？

【师生活动】引导学生观察是的夹角，引发学生对向量的思考，并及时启发学生复习向量的数量积的的两种表示。

【设计意图】平复习面内两向量的数量积的几何法与代数法两种表示，从而使“两角差的余弦公式”的推证水到渠成。

问题4：计算cos15°和cos75°的值。

分析：本题关键是将分成45°与30°的和或者分解成45°与15°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解。(学生板演)

【师生活动】引导学生初步应用公式

【设计意图】让学生熟练两角和与差的余弦公式，体会学生公式的实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。并引发学生对两角和的余弦公式的推证兴趣。

问题7：同学们都知道诱导公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你会推导出

cos（α+β）=？

【师生活动】学生在老师的引导下自主推证两角和的余弦公式。

【设计意图】让学生在学习中体会感受化归思想和类比思想在新知识发现中的作用。

问题8：同学们已学过sinα=cos(-α)，那么你会运用这个

公式推证出sin（α-β）和sin（α+β）吗？

【师生活动】教师引导学生推导公式。

【设计意图】新知构建并体会转化思想的应用。

问题9：勾画书中两角和与差的三角函数公式并观察它们有什么特点？

两角和与差的余弦：

同名之积相加减，运算符号左右反

cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

两角和与差的正弦：

异名之积相加减，运算符号两相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【师生活动】学生总结公式特点，学习小组交流，教师总结公式结构特征。

【设计意图】让学生熟悉并掌握公式特征，如：教的顺序、函数的顺序、符号的规律。

（三）知识应用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【设计意图】进一步熟悉诱导公式、两角和与差的三角函数公式的特点及正逆应用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思维点拨：观察公式本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．

【设计意图】训练学生思维的有序性，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。在教学过程中，对例3适当延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思维

变式训练1：如何计算？

【反思】本节学习的两角和与差的三角函数公式对任意角也成立吗？

变式训练2: 例3中如果去掉条件 ，对结果和求解过程会有什么影响？

变式训练3：下列等式成立吗？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【设计意图】通过变式训练与讨论进一步培养学生自主探究、合作学习交流的能力，以熟悉公式的变形运用并掌握两角和与差的正余弦公式的特征及应用。

（五）小结反思，评价反馈

1、本节学习的内容有哪些？

2、两角和与差的三角函数公式有什么特点？运用两角和与差的三角函数公式可以解决哪些问题？

3、你通过本节学习有哪些收获？

【设计意图】进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，培养学生的归纳总结能力和交流表达能力，让学生获得成功体验。

（六）作业布置，练习巩固

书面：课本第121页A组1中间两题；2（2）（3）（4）B组2（2）

课后研究：课本第118页练习5;

【设计意图】巩固和理解知识，掌握两角和与差的三角函数公式。并引发学生对新知学习与探求的欲望和兴趣。

【板书设计】

两角和与差的正、余弦函数

公式

推导 例1

例2 例3

【教后反思】

本节教学设计首先通过问题情景阐述了两角差的余弦公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中以原点为起点的两向量的数量积的两种表示，对α大于β使，cos(α－β)给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形。这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念。同时，例题

1、

2、3由浅入深，让学生在问题中探究，在探究中建构新知。使学生在已有基础上，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，加强了学生对新知的掌握和灵活运用。给学生思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。但课后发现小结仓促，如果能再引导学生自我小结、反思。可能会更好．

【关于教学设计的思考】

1、本节课授课内容为《普通高中课程标准实验教科书²数学（4）》（北师大版）第三章第一节，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节的一个难点。所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，例题、练习、作业应用绕这两方面设计。而平面内两向量的数量积的两种形式的应用又是推导两角差的余弦公式的关键；因此在复习近平面内两向量的数量积的两种形式是本节课必要的准备。

2、本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用问题教学，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在利用平面内两向量的数量积的几何形式、代数形式建立等式，而得到两角差的余弦公式后，利用代数思想推出两角和的余弦公式，使学生进一步体会数学思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。

3、数学的学习，主要是培养人的思维课程，强调思维构造，以问题解决为主的课程，既注重人的智慧获得，又注重人的情感发展，因而在教学中，应注意“完整的人”的数学教育，不搞“以智力开发为主的教育”，使学生成为真正的人。因此在课堂教学中，教学设计应从学生出发，给学生更多的自由，让他们真正参与，注重学习的过程，尤其重视以学生为主的数学活动，注重学生的自我完善，自我发展，不把学生当成接受知识的容器，要教会学生学会学习，尤其是有意义的接受学习和发现学习，“授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼祗救一时之及，授人以渔则可解一生之需”。在数学教育中，注重培养学生的自信，自重，自尊，使他们充满希望和成功，促进其健康人格的形成。只有这样，才能让数学课更有生机和人性，才能学生真正成为学习的主人。

第16篇：河北省容城县学年高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、教学设想：

（一）导入：问题1：

cos45我们在初中时就知道

23cos302，2，由此我们能否得到

cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

P1cos，等于

)coscossinsin 两角差的余弦公式：cos(

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos7

5、cos15的值.解：分析：把7

5、15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos15cos4530cos45cos30sin45sin3023216222224 23216222224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

cos15cos6045，要学会灵活运用.sin例

2、已知4,,cos5,13是第三象限角，求cos的值.25，

234cos1sin21,sin4552，5由此得解：因为 1255sin1cos1cos,131313又因为是第三象限角，所以

223335412cos()coscossinsin65 513513所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题.

,) 思考：本题中没有

2，呢？

（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin1522

（1）cos80cos20sin80sin20 解:

cos(8020)cos6012

2．教材P127面

1、

2、

3、4题

（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式C()CCSS．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：《习案》作业二十九

第17篇：两角和与差的余弦函数、正弦函数教学设计（材料）

数 学 学 案

两角和与差的 余弦函数、正弦函数

【问题情境】

1.求cos150=＿＿＿,cos750=＿＿＿。（提示：150=450-300，750=450+300）

思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？ 【新知探究】

1.已知0

①平面向量的数量积公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 2②平面向量的数量积的坐标表示公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 应用：求cos150=＿＿＿。

2.当角，为任意角时，求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 【合作探究】 试根据cos(-)，求

① cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ (提示：cos(+)=cos[-(-)]) ② sin(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ （提示：sin(-)=cos[-(+)]） ③ sin(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

说明：cos(-)常记作C，cos(+)常记作C sin(+)常记作S，sin(-)常记作S 【知识应用】

1.求cos750，sin750，cos150的值。

变式练习： 求值：（1）cos 530 cos230+ sin 530 sin 230；

（2）cos(+)cos+ sin (+)sin。

2442.已知sin=，(,), cos=-的值。

4525，求cos(-)，cos(+)133.已知sin=-，是第四象限的角，求sin(-)，cos(+)的值。 3544

第18篇：《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计

三角函数式的化简

化简要求：

1）能求出值应求值?

2）使三角函数种类最少

3）项数尽量少

4）尽量使分母中不含三角函数

5）尽量不带有根号

常用化简方法：

线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、

三角函数式给值求值：

给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，

给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。

例

2、

三角函数给值求角

此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是选择适当的三角函数。

解决此类题的一般步骤是：

1）求角的某一三角函数值

2）确定角的范围

3）求角的值

例3.总结：

解决三角函数式求值化简问题，要遵循“三看”原则：

①看角，通过角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，尽量向特殊? 角和可计算角转化，从而正确使用公式。

②看函数名，找出函数名称之间的差异，把不同名称的等式尽量化成 同名或相近名称的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子结构特征，分析式子的结构特征，看是否满足三角函数公式， 若有分式，应通分，可部分项通分，也可全部项通分。

“一看角，二看名，三是根据结构特征去变形”

第19篇：案例《两角和与差的余弦》

浅谈数学概念教学中的“核心问题”

——从《两角和与差的余弦》教学说起

运用问题组织课堂教学是教师经常使用的方式，优秀的教师都很善于运用问题去激发和聚合学生的学习活动。当然，问题的设计成为教学成败的关键，在许多课堂中，有大量无效问题而使学生思维活动受助，严重地影响着教学质量的提高。这就需要我们着力研究解决。

在数学概念教学中，反映概念本质属性、贯彻主题、明确任务的问题，我们一般称为“核心问题”。它属于课堂教学的问题，但赋予了新的含义。具体来讲，所谓概念教学“核心问题”是指在概念的认知过程中，既反映知识的发生发展过程、知识本质，又整合学习的重点内容，激发学生自主活动，还能贯穿整节课的主要问题或任务。课堂教学前，教师应该根据课程要求、结合学生实际，认真分析教材内容，积极设计有效的“核心问题”，一般应该形成“核心问题串”；课堂教学中，注意以“核心问题”组织课堂活动：（1）概念的引入。学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。（2）概念的形成。教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。（3）概念的概括。概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念括概念这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。（4）概念的验证。结论的正确性需要科学的论证。（5）明确概念。明确概念即明确概念的内涵和外延。明确概念，就是要明确包含在定义中的关键词语。（6）应用概念 。在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。（7）形成良好的数学认知结构。学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学。下面以《两角和与差的余弦》一课为例来谈谈。

《两角和与差的余弦》这节概念课的核心问题是已知两个角的正、余弦值，如何求他们和与差的余弦值的问题。

如何设计这节课的核心问题？我是从这几点进行设计的。

1、概念引入中，核心问题的情境创设要具有真实性与仿真性（设计指向）

情境的真实性，首先是外部问题情境的真实性：核心问题的背景尽可能与学生身边真实的或仿真的生活情境、社会情境等相联系。其次是内部问题情境的真实性：问题是学生个体的真问题，而且是学生没见过、没想过、没参与过、没体验过的，或者能促进学生内心真实地形成一种悬而未决、又力图解决的认知冲突状态。

所以在引入部分我是这样提出问题的：(物理问题)2牛顿的力将一物体沿着光滑水平面位移了0.5米，力和位移所成角为15，试求该力所做的功。

学生会疑惑的看着老师，并报出答案：cos15。 00

老师再问：准确值是多少呢？为什么等于620呢？如何求cos15？ 4

2、概念形成中，核心问题的解决活动要构成旧知与新知的桥梁（设计指向）

核心问题的解决活动应该构成一个旧知与新知的桥梁，当我们所设计的核心问题进而解决要求将已有的知识应用于新的实际问题解决中时，学生的内部问题情境就能顺利地产生。这样的情境可以帮助学生意识到自己原有知识不足以解决新的问题，从而激发学生对新知识的兴趣，激发学生对新知识的探索欲望。

上面的问题一抛出大部分学生提出用计算器，教师追问计算器是根据什么原理把一些非特殊角的三角比值算出的呢？

教室里立刻安静下来。

当学生束手无策时，教师适时提醒到，当我们遇到一个新问题无法解决时，可以想一想能否将问题转化问已解决的问题。15的三角比值我们不知道，但我们知道30,45,60等特殊角的三角比值。于是学生很自然的想到cos15cos(4530)cos(6045)，这

已知两个确定角的三角比值，如何求它们和与差的三角时老师提出我们这节课的教学目标：

比值呢？这节课来探究余弦值。

3、概念概括中，核心问题设计要具有层次性、可操作性和恰当的开放性 （设计指向） 力和知识水平参差不齐，在解决核心问题过程中，不同层次水平的学生解决问题的能力也不同。因此核心问题的设计要照顾到各种层次的学生。同时，核心问题也要具有可操作性，既不能太简单也不能太难。核心问题的提出既能使学生产生认知冲突，又能让学生觉得自己通过努力能解决，这样就会产生主动解决问题的愿望和调动积极地思维活动。核心问题的结构应具有开放性特征，不但一个问题之中多处呈现开放状态，而且解决路径和解决评价标准也往往是开放性的，给学生以足够的活动空间。

问题的设计太难学生会受阻失去信心，所以在探究公式过程中设计方案是：由特殊到一般。介于学生已知道cos15的值，所以教师提出两个问题

问题1：cos(4530)cos45cos30成立吗？ 00000000000000

30的三角比值，观察比照，试想它们是否有关系，如问题2：根据cos15的值及

45、

果有，又是怎样的关系呢？

把核心问题特殊化启发学生思考，降低思维难度，调动学生的思维积极性。

学生猜想的结果有：

1、cos15cos4530000000

cos450cos45cos30 200

2、cos15cos4530000sin450

cos45cos30 200

3、cos15cos4530000

cos450 sin45cos30200

4、cos15cos4530000sin450

sin45cos30200

0000

5、cos15cos(4530)sin45cos30cos45sin30 000

6、cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30 0000000

7、cos15cos(6045)

再从特殊到一般把学生的思维层次提高。你猜想的结论对任意角都成立吗？ 000

30，请写出它们对应的一般式，并判断这些等式对于任意角都成即设45，

立吗？

合作交流，最终发现cos()coscossinsin ，没有找到反例。

所以猜想：cos()coscossinsin。 00

)coscossinsin中学生初步的体会、的任意性。（在举例论证cos(）

4、概念的验证，核心问题的解决应具有科学性，准确性。

猜想并不是论证，举不出反例并不能说明它没有反例。要想说明结论的正确性必须给出科学的证明。

在上海版采取的是“坐标法”证明，这对于学生而言是陌生的，为了让学生能联系到建立直角坐标系，教师引导到：在初中我们学习了锐角三角比，到高中角的范围得到推广，推广到任意角，即任意角的三角比。锐角三角比的求解离不开直角三角形，那任意角的三角比的求解呢？离不开直角坐标系。同时复习任意角的三角比的定义„„。根据定义由角的终边上除原点外一点坐标可得这个角的三角比值，反之由角的三角比值及点到原

ysinxrcosr22点的距离r得点的坐标，即（其中rxy0）。即点Ayrsincosx

r

的坐标为rcos,rsin。即角终边上到原点距离为r的点的坐标为rcos,rsin。特别注意角的始边位于x轴的正半轴。由此就想能否把代数证明转化为几何证明（数形结合）呢？大家先试试能否证到cos(4530)cos45cos30sin45sin30。观察等000000

式的特点，这是一个三角等式，一看角二看名。角有哪些？名有哪些？在直角坐标系中它们分别代表着什么？有着怎样的关系呢？

这时可进行小组合作交流方式探究学习。由于问题设计比较具体化学生便于探究，所以学生的积极性被调动起来了，每个学生都在积极的参与，效果很好。由于特殊情况的公式论证已攻破，有特殊到一般学生的学习方便了很多。

5、明确概念中，核心问题应能揭示问题的本质。

两角差的余弦公式的本质为：1）从内涵上说，它揭示了两角差的余弦等于这两个角的余弦之积与这两个角的正弦之积的和。2)从外延上说，由于角的任意性，我们可推断得两角和的余弦公式。当然还有后面即将学的两角和与差的正弦公式。

6、应用概念中，核心问题应具有实践性

理论来自于实践，最后还需回到实践中去，所以问题的解决不是结束，而是新的开始。 在实践中我举出了这样一个典型例题：“若0

2，0

2，且

cos()41”这个题目一般有两种解法。一种是 2，sin，求cos的值。93

4cos()coscossinsin29解方程组2，但计算量大且可能会产生增 2sincos1

根。还有一种就是“拼凑角”，即

coscos[()]cos()cossin()sin。由于整节课的核心问题是如果我们已知两个角的各一个的三角比值及它们的终边位置，那我们能否求出它的和与差的余弦值。所以分析这道题目的特点，学生很快的想到的了第二种解法。

7、形成良好的数学认知结构。核心问题应使学生的知识网络更完善。

在课堂小结时除了知识和方法的小结，还引导学生分析公式的特点，要求cos()只要求、的正弦或余弦值，而根据同角三角比的关系，只要知道、的一个三角比值即可。再有同角三角比的关系研究的是同一个角的不同三角比之间的关系，而两角和与差的三角比研究的是由两个已知角派生出一个新的角，这个角的三角比与原来这两个角的三角比之间的关系。从研究的对象来看，角的研究范围更宽了等等。

通过这节课的教学实践，我进一步认识到数学是以问题为灵魂，数学的“核心问题”教学是以数学核心问题来调动学生的学习活动，以核心问题激发学生认知冲突，求知欲望，从而调动学生的独立思考和主动探究，进行“核心问题”的解决。师生围绕着共同的“核心问题”，齐心协力共同探究解决问题。其中运用“建构主义的思想”和“缄默知识的理论”。而核心问题是根据教学的主要内容精心设计和挑选的一个中心问题或中心任务，核心问题既要兼顾到各种层次的学生的学习活动，又要能调动学生各种层次上的思维活动，其解决活动几乎贯穿整节课。这节课中的其他问题都是与之存在逻辑联系的派生问题，派生问题也是经过精心挑选并按一定序列整合起来的，其解决是围绕着核心问题的解决而进行的。这样就使得教学活动有了明确的主线，学生的思维活动也有了连贯性和层次性。

第20篇：两角和与差的正弦教学案

高一数学教学案

材料编号：

两角和与差的正弦

班级

姓名

学号

设计人：李绍京 审查人：郭栋 使用时间：

一、教学目标：

1.掌握两角和与差的正弦公式 2.能借助辅助角解决三角问题

二、学习重、难点：

1.学习重点：三角的化简

2.学习难点：正确借助辅助角解题

三、课前自学：

两角和与差的正弦公式：

sinsincoscossin,S sinsincoscossin,S

（一） 自学检测：

1．sin7

5sin15

sin105

sin165

2．sin()coscossin

sin512

四、典例分析： 题型一：转角问题：

\'\'\'例1：已知向量OP3,4，逆时针旋转45到OP\'的位置。求点px,y的坐标。（如图）



\'\'\'例2．已知点px,y，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角到点px,y（如图），求证：

x\'xcosysinyxsinycos\'

题型二：散点图及应用

例3：求函数yasinxbcosx的最大值，最小值和周期，其中a,b均不同时为零的实数。

2 例4．已知三个电流瞬时值的函数式分别是

I12sint,I22sint45,I34sint45

求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相。

五、重难点突破：

1.牢记公式并能熟练进行左右互化。2.上述公式对,取任意角都成立。

六、当堂检测：

1.使fx3sin2x3cos(2x)为奇函数且在区间0,值为

。



上为减函数的的一个4A.

542

B. C.

D.

33332．已知：60x105，cos2x60

 求：sin2xsin60 12133 3．已知：sin

1,sin

1求：sin2 34．若sinsin1

则：cos()1

5．已知：043353，cos ，sin 求：sin 441345

七、课堂小结：

1.牢记公式并能熟练进行左右互化。

2.公式特点：右边有两项，中间的符号与左边角间符号一致。

《两角差余弦公式教学设计.doc》

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