余弦定理教学设计（精选多篇）

推荐第1篇：余弦定理教学设计

1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的

（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。 变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 ,

, cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充） 变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=( ) A 2 B 4 C 7 D 9

6:(

3+1),求A、B、C。

、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（ ）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

3,2） D（0，）

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题

（七）教学反思：

本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

推荐第2篇：余弦定理教学设计

教学设计

一、内容及其解析

1.内容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角” ，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等” 。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。

二、目标及其解析

目标：

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。解析：

1、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同 方法，从而培养学生的发散思维。

2、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

三、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而

本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

五、教学过程

（一）教学基本流程

教学过程：

一、创设情境，引入课题

问题1：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。 【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。 师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生1：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB

，垂足为D。 在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2; c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD

= ab2abcos1cos22absin1sin2=ab2abcos(12)ab2abcosC

A

D图

4学生2：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

A

图

5则：cADBD

22

2bCD(aCD)ab2aCDab2abcosC

学生3：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC， ∴c2 =（bsinC）2+（a- bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生4：如图6，

记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab2

2（c）（ab）

22

ab2ab222

即cab2abcosCcab2abcosC

A

图6

【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。

学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a .且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），

则 cAB

(acosCb)(asinC)

22

ab2abcosC

【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空

间的深度和广度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2bc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC

余弦定理推论： cosA

bca

2bc

， cosB

acb

2ac

222

，cosC

abc

2ab

222

解决类型：（1）已知三角形的三边，可求出三角；

（2）已知三角形的任意两边与两边的夹角，可求出另外一边和两角。

三、例题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

四、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为

3、

4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。

【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以

兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

学案

1．2 余弦定理

班级学号

一、学习目标

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

二、例题与问题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为

3、

4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作业

一、基础题(A组)

1.在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（） A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（）

A.

4B.

3C.

23

D.



14

3.在△ABC中，已知a2，b3，C=120°，则sinA的值为（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a5，则此三角形的最大边长为。5.△ABC中，如果a6，b63，A=30°，边c。

二、巩固题(B组)

6.在△ABC中，化简bcosCccosB（）

bc

ac

ab

A.a

B.C.

D.

7.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是（） A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x7x60的根，则另一边长为（）

A.

52B.16

C.

4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则∠B的大小是。

三、提高题(C组

tanB

2acc

10.在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且tanCabc

，

2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2ac

11.在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b



，ac4，求a的值；

推荐第3篇：1.1.2余弦定理教学设计

人教版数学必修5§1.1.2余弦定理的教学设计

一、教学目标解析

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

二、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；

②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

三、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果

按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

四、教学过程设计

1、教学基本流程：

①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。

②余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。

③应用余弦定理解斜三角形。

2、教学情景：

①创设情境，提出问题

问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设

计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最

大距离（如图1所示，图中AB的长度）。

【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学

生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体

会到数学来源于生活，数学服务于生活。

师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝

试解决。

学生1—方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取

C一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用

测角仪测出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就

可以确定了。感觉似乎在△ABC中已知AC、BC

的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。

其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？

学生2—方案2：在岛对岸可以取C、D 两点

（如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出

图中∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC

，同理在△

BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、

BC及∠ACB，似乎可以求AB的长了。

教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？

【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。 ②求异探新，证明定理

问题2：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。

【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。 师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生3：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。

在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD

= ab2abcos1cos22absin1sin

2=ab2abcos(12)

ab2abcosC2222222222

AD图

4学生4：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

则：cADBD

22222bCD(aCD)

ab2aCD

ab2abcosC22222A图

5学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，

∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分∠C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点—余弦定理。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有

2 2 22 2 22 22 2

2其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生6：如图6，

记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab22（c）（ab）

22ab2ab

222即cab2abcosC

cab2abcosC222A

图6

教师：以上的证明避免了讨论∠C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？

【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。 学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC =

b，BC = a .且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），

则 cAB22(acosCb)(asinC)

2222 ab2abcosC

【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。

③运用定理，解决问题

让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

④小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。

【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

⑤作业

第1题：用正弦定理证明余弦定理。

【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。

第2题：在△ABC

中，已知abB45，求角A和C和边c。

【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。

推荐第4篇：1.2 余弦定理教学设计

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

1.2 余弦定理

南京师范大学附属中学张跃红

教学目标：

1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

教学重点：

重点是余弦定理及其证明过程．

教学难点：

难点是余弦定理的推导和证明．

教学过程：

1.创设情景，提出问题．

问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一

段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，

即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（如图

1）．请想办法解决这个问题．

设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．

2.构建模型，解决问题．

学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．

法1：（构造直角三角形）

如图2，过点A作垂线交BC于点D，则

｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，

｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，

所以， |AB||AD|2|BD|2|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

C

法2：（向量方法）

如图3，因为ABACCB，

22 所以，AB(ACCB)

22ACCB2ACCBcos(C),

即 |AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

法3：（建立直角坐标系） C建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），

B （｜BC｜, 0），

根据两点间的距离公式，可得

|AB|(|AC|cosC|BC|)2(|AC|sinC0)2， 所以，|AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

活动评价：师生共同评价板演．

3.追踪成果，提出猜想．

师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2a2b22abcosC成立．类似的还有其他等式， a2c2b22cbcosA，b2c2a22cacosB．

正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．

问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？

设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．

学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．

教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点

间的距离公式来解决，等等．

4.探幽入微，深化理解．

问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？

学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2b2c2，a2b2c2；c2a2b22abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．

教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．

问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？

设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．

学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosA,cosB,cosC． 2bc2ac2ab

5.学以致用，拓展延伸．

练习：

1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C．

2．（1）在△ABC中，若b1,c6,A450，解这个三角形．

（2）在△ABC中，b,B600,c1，求a．

学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2b2c2

式cosC；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab

思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦

定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．

推荐第5篇：余弦定理教学教案

1.1.2余弦定理

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A

引出课题：余弦定理

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5) 同理可证a2b2c22bccosA

22

2bac2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

222

bac2accosB 222

cab2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

bca

cosA

2bcacb

cosB

2acbac

cosC

2ba

22

2

2

2

2

2

2

2

[理解定理] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 

A如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则b

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 

c （由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b

22由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 ccabab[例题分析]aabb2abCaB22

a

2ab

例

1、在ABC中，已知a23,b3,C30，解此三角形。

32法一：由正弦定理

3

bsinB



csinC

，即

312



33sinC

，解得sinC

32

，

解：由余弦定理：c2a2b22abcosC1292233

因为cb，所以C60或120，

c

cosA

bca

2bc





222

当C60时，A90，ABC为直角三角形，此时a



931263



bc

22

6；

0，A90；



当C120时，A30，AB，所以ab3。法

B180309060；



二

：由余弦定理bac2accosB

222

，得

例

2、在ABC中，已知a7,b10,c6，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。

解：由余弦定理的推论可得： cosA

bca

2bcacb

2acabc

2ab

528

3a3

3



233acos30，

化简可得a29a180，解得a6或a3。

2940



1003649

1204936100

844910036

140



当a6时，由正弦定理得sinA

asinBb

1，A90,C60;



cosB

528

当a3时，由正弦定理得sinA

asinBb



3

2，A30,C120

cosC

113140

问题拓展：如果本题只要求判定三角形形状，是否还是按照上述步骤进行求解。 请同学分析上述两种解法的优缺点，从而总结适合自己的方法。

[补充练习]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200） Ⅳ.课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

由cosB0可知B为钝角，所以ABC为钝角三角形。



例

3、在ABC中，已知b3,c33,B30,解此三角形。

解：

推荐第6篇：《余弦定理》教学反思

1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。

推荐第7篇：《余弦定理》教学反思

本节课是高中数学教材北师大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一课时内容，《课程标准》和教材把解三角形这部分内容安排在必修5，位置相对靠后，在此前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使得这部分知识的处理有了比较多的工具，某些内容处理的更加简洁。学数学的最终目的是应用数学，可是比较突出的是，学生应用数学的意识不强，创造能力弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的知识应用到实际问题中去，尽管对一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够，针对这些情况，教学中要重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边角有机的结合起来，实现了边与角的互化，从而使三角和几何有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据。

教科书直接从三角形三边的向量出发，将向量等式转化为数量关系，得到余弦定理，言简意赅，简洁明快，但给人感觉似乎跳跃较大，不够自然，因此在创设问题情境中加了一个铺垫，即让学生想用向量方法证明勾股定理，再由特殊到一般，将直角三角形推广为任意三角形，余弦定理水到渠成，并与勾股定理统一起来，这一尝试是想回答：一个结论源自何处，是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算，其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系，而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系，向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系，因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁，在证明余弦定理时，让学生自主探究，寻找新的证法，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁，使知识交融、方法熟练、能力提升。

数学教学的主要目标是激发学生的潜能，教会学生思考，让学生变得聪明，学会数学的发现问题，具有创新品质，具备数学文化素养是题中之义，想一想，成人工作以后，有多少人会再用到余弦定理，但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力，让学生想学数学这门课，同时指导学生掌握数学学习的一般方法，具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题，还要教会学生提出问题，培养学生发现问题的意识和方法，并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯，在本节课中，通过余弦定理的发现过程，培养学生观察、类比、发现、推理的能力，学生在教师引导下，自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞，寻找不同的证明方法，既培养了学生学习数学的兴趣，同时掌握了学习概念、定理的基本方法，增强了学生的问题意识。其次，掌握正确的学习方法，没有正确的学习方法，兴趣不可能持久，概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法，学习的过程就是知其然，知其所以然、举一反三的过程，学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例，引导学生发现余弦定理的来龙去脉，掌握余弦定理证明方法，理解余弦定理与其他知识的密切联系，应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中，寻求一题多解，探究证明余弦定理的多种方法，指导一题多变，改变余弦定理的形式，如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式，启发学生一题多想，引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系，与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系，通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式，夯实了数学基础，打通了知识联系，掌握了数学的基本方法，丰富了数学基本活动经验，激发了数学创造思维和潜能。

教学中也会有很多遗憾，有许多的漏洞，在创设情境，引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想等方面有很多遗憾，比如：如何引入向量，解释的不够。最后，希望各位同仁批评指正。

推荐第8篇：余弦定理教学反思

《余弦定理》教学反思

1、创设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境 .问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

2．培养学生自主学习、合作学习、研究（探究）性学习的学习方式

（1）新教材与一期教材相比，有一个很大的变化就是在课本中增加了若干“探究与实践”的研究性课题，这些课题往往有着一定的实际生活情景，如出租车计价问题，测量建筑高度，邮资问题，“雪花曲线”等等，这些课题除了增强学生的数学应用能力之外，还有一个重要作用就是改变学生以往的学习方式。

在教学实践中，我对不同内容采取了不同的处理方式，像用单位圆中有向线段表示三角比；组合贷款中的数学问题主要在课堂引导学生完成；像邮件与邮费问题、上海出租车计价问题、声音传播问题、测建筑物的高度则采取课内介绍、布置、检查，学生主要在课外完成的方法。学生通过调查、上网收集数据，集体研究讨论，实践动手操作，无形之中使自己学习的主动性得以大大提高，自学能力也有所长足发展，从而有效的培养学生自主获取知识的能力，以适应未来社会发展的需要。

由此可见，新课程突出了“以学生发展为本”的素质教育理念与目标，强调素质的动态性和发展性，揭示了素质教育的本质，把学生素质的发展作为适应新世纪需要的培养目标和根本所在。因此，在教学实践中必须确立学生的主体地位。

（2）从培养学生的学习兴趣着手，变被动接受性学习为主动学习、自主学习、合作学习、研究（探究）性学习。根本改变重教法而轻学法的状况，使学生真正做到不但“知其然”，而且“知其所以然”， 教师不仅要授之于“鱼”，更应该授之于“渔”，把本来应该让学生分析、总结、归纳、解决的问题由学生自己来解决。对学习有困难的学生，教师要多给予及时的关照与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试用自己的方式解题，敢于发表自己的看法，对出现的问题要帮助他们分析产生的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的信心和兴趣。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师可以为他们提供一些有价值的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

推荐第9篇：余弦定理

1.1余弦定理

一、学习目标

1、会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2、会运用余弦定理解决两类解三角形的问题。

二、重点与难点

重点：余弦定理的证明及其基本作用

难点：理解余弦定理的作用与适用范围

三、复习回顾

1.正弦定理的内容是什么？

2.正弦定理主要解决哪些解三角形问题？

四、问题导学：

自学教材P49—51页，回答下面问题。

1、余弦定理的内容是什么? 请用文字语言和数学符号表示出来.尝试自己证明同理的两个等式

2、余弦定理和勾股定理什么关系？

3、余弦定理能解决哪类解三角形的问题？

4、例4，例5各是什么问题?怎么解决？

五、你还有什么问题？

六、自学检测

1、在△ABC中，下列等式中不成立的是（ ）

A a2b2c22bccosABb2c2a22accosB C cosAbca222

2bc2ab

2、已知在△ABC中，a2,b5,c6,则cosB_________DcosCabc222 。

3、已知在△ABC中b3,c5,A120，则a____________。

4、在△ABC中，已知a7,b8,cosC

七、当堂训练

1、课本p51页练习1，2

2、在△ABC中，b3,c33,B30,求a的值

八、课堂反思

九、能力提升

1.在△ABC中，B60,且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_________

2.在△ABC中，AB7,BC5，CA6，则ABBC的值为______________

3、已知△ABC的三边分别是2,3,4，则判断此三角形的形状

4、在△ABC中，a1,B45,且此三角形的面积是2，求这个三角形外接圆的直径 1314，则最大角的余弦为___________ 

推荐第10篇：余弦定理

必修5第一章:解三角形编者：审核：班级：姓名：时间：

第三课时余弦定理

学习目标: 1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.掌握证明余弦定理的向量方法；3.会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 教学重点：余弦定理的证明过程及其基本应用.教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用

学法指导：余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件，根据条件选择利用哪个定理。条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，必要时也可列方程(组)求解． 知识回顾：

1.请你写出正弦定理

2.利用正弦定理可解两类三角形：（1）_________________(2)_________________ 3.请你写出勾股定理 自主学习

一．阅读教材第5---6页，完成下列内容。 1.教材是用什么方法证明c

2a2b22abcosC的？请你用同样的方法证明

a

2b2

c2

2bccosAb2

=a2

+c2

-2accosB。你还有其它方法吗？

2.用语言怎样叙述余弦定理？勾股定理与余弦定理有什么关系？

3.请写出余弦定理的推论

cosA=cosB=cosC=

4.设a是△ABC最长的边，则

(1)△ABC是钝角三角形 a2

b2

c

2

(2)△ABC是锐角三角形_____________________ (3)△ABC是直角三角形_____________________

5.如何判定角的范围？

方法一：向量（非零）的数量积方法二：余弦定理

若>0,则A_______若b2c2

>a2

,则A_____

若=0,则A=_____若b2c2=a2,则A=____若

6.根据余弦定理及其推论，回答下列问题（1）已知三边，如何求三个角？（2）已知两边和它们的夹角，如何求第三边和其他两个角？

7.利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知三边，解三角形。（2）已知两边和它们的夹角，解三角形。

例1.在ΔABC中，(1).已知b=8，c=3，A=60°,求a; (2).已知a=20,b=29,c=21,求∠B;

(3).已知a=

,b=1,B=30°,求c.例2.在三角形ABC中a2

＋b2

2ab＝c2

，求角C的值.

例3：在ABC中，已知a7,b10,c6，试判断ABC的形状。

练习

22211.已知ABC中,B60,b2ac,试判断△ABC的形状.

1.在ABC中，若abcbc，则A=（）

A 3B 253C6D 6

2.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

（ab）

2c24，且C=60°，则ab的值为()

A． 43B

．8C． 1D．2

3.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=

1，则b=（）

A4B3C2D1

4.在△ABC中，已知a＝3， b＝1，∠A＝30°，则c等于()

A．1

B．2C．3-1

D．

35.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()

A．12C．2D．

413

6.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

7.已知三角形三边之比是5：7：8，则最大角和最小角的和为8.在△ABC中，a2+c2

2B=_________

在△ABC中，边a,b的长是方程x2

5x20的两个根，C=60°，求边c的长.10.已知ABC中,a33,c2,B150,求b及sinC.

12.在△ABC中，AB=2，BC=1，cosC=34

（1）求sinA(2)

反思小结：

求BC→·CA →

第四课时余弦定理

学习目标：能够用正弦、余弦定理解三角形，判断三角形的形状 学习重点：用正弦、余弦定理解三角形

学法指导：在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．余弦定理求角时，角的值是唯一确定的，这样避免产生增解.已知三边解三角形，得到的三角形一定只有一解，在求解的过程中，如果混用正弦定理，则要注意对增解的取舍.复习回顾

1、正弦定理：R为C的外接圆的半径，则有=== 2R.

2、正弦定理的变形：（1）边化角： a=，b =，c =； （2）角化边：sin，sin，sinC； （3）a:b:c；（4）

abcabsinsinsinCsinsin

c．

sinC

3、余弦定理：在C中，有a

2，b2

，c2

．

4、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

5、设a、b、c是C的角A、B、C的对边，则：若a

2b2

c2

，则C90；

若a2b2c2，则C90； 若a2b2c2

，则C90．

6、解三角形的四种类型：（1）已知三边解三角形，用定理；（2）已知两边和夹角解三角形，用定理；（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，用定理；（有三种情况：“有两解，一解，或无解”，用大边对大角进行判断。） （4）已知两角和任一边解三角形，用定理。

7、判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边。具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理， 8.三角形ABC中常用的变换

sin(A+B)=_sinC_____ sin(B+C)=____________ sin(A+C)=____________cos(A+B)=___________,cos(B+C)=________________,cos(A+C)=_______________sin(A+BB+CA+C

2)=____________，sin(2)=____________，2)=____________

cos(A+BB+C2)=____________，cos(2)=____________，A+C

)=____________ 自主学习

1.阅读第7页例3.例4，在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理，又可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？

例1.在△ABC中，已知b

=23，cB600，求a及A；

例2.在△ABC中，已知bcosC=(2a－c)cosB。（1）求角B的大小。（2）若b2=ac，试判断△ABC的形状。

例3.已知钝角三角形ABC，a=2, b=3，求c边的取值范围。

练习

1.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

2.在ABC中．sin2Asin2Bsin

2CsinBsinC．则A的取值范围是（）

A．（0，

6]B．[ 

6，）C．（0，

3]D．[

，） 3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（） （A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若a2b2

，sinCB，

则A=（）

（A）300（B）600（C）1200（D）15005.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，三角形的形状是.（）

A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 直角三角形

6.如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）

162

3A.27B.3

C.D.

47、在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为 （）

A.19B.-14C.-18D.-19 8..在△ABC中，AB=2,BC1,cosC3,则AC=___________.9.在△ABC中，已知a=3,b=5,c=7, 则C=____，cosA______,

sinB_________.10.在△ABC中，A＝120°，AB=5,BC=7,则求sinB

sinC

11.在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c，

tanC （1）求cosC；（2）若CBCA

5，且ab9，求c边．

1a212.在△ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2absinCb2c2

，求角C．

13.在锐角ABC中，BC1,B2A,（1）求

AC

cosA

的值，（2）求AC的取值范围

14.在△ABC中，C=2A , cosA=34, →BA·→BC=27

2。（1）求cosB(2)求边长AC。

15根据所给条件，判断ABC的形状。cos

Ab2c2c

16.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边上的中线AD7

,求BC的长.

反思小结：

第11篇：余弦定理教学案例分析

高中数学教学中的“情境 .问题.反思.应用” ----“余弦定理”教学案例分析

作者： 王兵 发布日期：2007-11-1

摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境 .问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

关键词]： 余弦定理；解三角形；数学情境

、教学设计

、教学背景

近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

、教材分析

余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本 ?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

、设计思路

构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的识经验。

此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。

；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点

生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。

、教学过程

、设置情境

动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

、提出问题

：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。

：能用正弦定理求解吗？为什么？

能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。

：这个问题的实质是什么？

三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

、解决问题

：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）

以先在直角三角形中试探一下。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直三角形。（联想构造）

：垂足 D一定在边BC上吗？

一定，当角 C为钝角时，点D在BC的延长线上。

分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）

锐角三角形 ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, ＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2 -2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 2 =a 2 +c 2 -2accosB 钝角三角形 ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，

直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2 -2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 2 =a 2 +c 2 -2accosB 理可证 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 2 =a 2 +c 2 -2accosB ：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？

、反思应用

：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定能够解决哪些问题？

三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

：由余弦定理，得

2 ＝AB 2 ＋AC 2 -2AB.ACcosA 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 BC≈1.89(m) ：顶杆 BC约长1.89m。

：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？

能，已知的三个元素中，至少要有一个边。

：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？

知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解角形时，利用余弦定理。

固练习：课本第 131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵

、教学反思

课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的定理教学”提供了一些有用的借鉴。

设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章 5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中不少可用的素材。

情境 .问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学

的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

第12篇：1.1 正弦定理和余弦定理 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性

情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2. 教学重点/难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

3. 教学用具

多媒体

4. 标签

正弦定理

教学过程 讲授新课

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

，，又

，则

.从而在直角三角形ABC中，

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： （证法一）如图1．1-3，当

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根

，则

.据任意角三角函数的定义，有CD=

同理可得，从而.

类似可推出，当自己推导） ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，； （2）

等价于

，

，

。

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 [随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

课堂小结 （由学生归纳总结） （1） 定理的表示形式：

或，

，

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课后习题

板书

第13篇：余弦定理 三角函数

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它

们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2a^2) / (2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cos C＋c·cos B， b＝c·cos A＋a·cos C， c＝a·cos B＋b·cos A。

编辑本段余弦定理证明

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

三倍角公式

sin3a=3sina-4(sina)^3

cos3a=4(cosa)^3-3cosa

tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

第14篇：余弦定理证明

余弦定理证明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第15篇：数学余弦定理

一、正弦定理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc。sinAsinBsinC

2.正弦定理的变形

RnisAb，2nRisBc2nisR，C变形（1）：a2；

abc变形（2）：； nisA，Bnis，C2R2R2R

bnisAnicsAcsinBasinBasinCbsinC变形（3）：a，b，c； nisBnisCsinCsinAsinAsinB

bc∶niAsnisnB∶isC∶变形（4）：a∶；

变形（5）：nisabcabc2R。 AnisBnisCnisAnisBnisC

3.正弦定理的应用

（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；

（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角。

二、余弦定理

1.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a2b2c22bccosA①

b2c2a22cacosB②

c2a2b22abcosC③

2.余弦定理的变形

（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式。主要有：

①c2a2b2C90（勾股定理及其逆定理）；

②c2a2b2abC60；

③c2a2b2abC120；

④c2a2b2C30；

⑤c2a2b2C150；

⑥c2a2b2C45；

⑦c2a2b2C135。

b2c2a2a2c2b

2（2）定理的推论：cosA，cosB，2bc2ac

a2b2c2

cosC。 2ab

3.余弦定理的应用：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。

知识点一：正弦定理

例1：在△ABC中，

（

1）已知A45，a2，bB；

（2

）已知A30，ab2，求B；

1（

3）已知A30，a，bB。 2

思路分析：这三个小题看似相同，其实大相径庭，虽然都是已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，但结果却是一个一解，一个两解，第（3）小题无解，下面我们来逐个分析。

bsinA1ab。 解答过程：（1）根据正弦定理，得sinB

a2sinAsinB

∵ab，AB，而A45，B30。

bsinAab（2）根据正弦定理，得sinB。 

asinAsinB∵ab，AB，而A30，

B为锐角或钝角，B45或B135。

bsinAab（3）根据正弦定理，得sinB 

asinAsinB

解题后的思考：已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理，其结果可能有一解、两解或无解。

例2：在△ABC中，已知b14,A30,B120，求a，c及△ABC的面积S。 思路分析：已知两角实际上第三个角也是已知的，故用正弦定理可以很方便的求出其他边的值。

解答过程：依正弦定理：abbsinA＝，∴a，代入已知条件，得sinAsinBsinB

a14sin303 sin120

3∵C180(AB)180(30120)30，又bc＝， sinBsinC

cbsinC14sin30C＝A，△ABC为等腰三角形，所以acsinBsin1203

11∴SABCabsinC。 14sin302233

解题后的思考：三角形的面积公式

111（1）S△ABCahabhbchc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）。 22

2111（2）S△ABCabsinCbcsinAacsinB。 222

（3）S△ABC2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）

（4）S11ahaabsinCrp22p(pa)(pb)(pc)。其中r为三角形的内切圆半径，p为三角形周长的一半。

cosA＝a·cosB成立，试判断这个三角形的形状。 例3：在△ABC中，若b·

思路分析：条件中既有边又有角，统一条件是首要任务。

cosA＝2RsinA·cosB，sinB·cosA＝解答过程：由正弦定理，得：2RsinB·

sinA·cosB，∴sinAsinB，即tanAtanB，根据三角形内角和定理，可知A、BcosAcosB

必都为锐角。所以A＝B，即△ABC是等腰三角形。

解题后的思考：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。

a2b2sin(AB)例4：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明：。 2csinC

思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外△ABC中，内角和为180。

abc2R得： sinAsinBsinC

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC。

1cos2A1cos2B2222absinAsinBcos2Bcos2A c2sin2Csin2C2sin2C

cosBA(BA)cosBA(BA)解答过程：由正弦定理=2sin2C

2sin(BA)sin(BA)sinCsin(BA)sin(AB)==。 222sinCsinCsinC

a2b2sin(AB)所以，。 c2sinC

解题后的思考：由于不等式两边一边是代数式，一边是三角式，故通过正弦定理来把边全化为角，把证明转化为三角恒等变形的问题。

知识点二：余弦定理

例5：已知△

ABC中，abB45，试求角A、C和边c。

思路分析：已知两边及其中一边的对角解三角形可用正弦定理或余弦定理，现用余弦定理来解。

解答过程：设边cx，由余弦定理b2a2c22accosB，

得22)(x3)22。3

cos45

整理得x21

0，x。 b2c2a21（1

）当x时，cosA，A60，C75。 2bc2

b2c2a21（2

）当x时，cosA，A120，C15。

综合上两种情况：A60，C75，

cA120

，C15，c。 解题后的思考：用余弦定理解决此类问题，是设量解方程的思想，也是经常用的方法。

例6：已知△

ABC中，a∶b∶c21)，求△ABC中各角的度数。

思路分析：虽然此题三边都不确定，但它们的比例一定，所以可设a2k，b，

c1)k，用余弦定理解决。

解答过程：令a

2k，b

，c1)k，

b2c2a2利用余弦定理cosA，A45。 2bc用同样的方法可得，B60。

因此，C180456075。

解题后的思考：已知三角形三边的比，或已知三边的长度，都可用余弦定理解决，只是已知三边的比时，可引用参数k，但在解题时可将分子分母中的参数k约掉。

，AC，b，a是b方

程x220的两个根，且例7：在△ABC中，BCa

2cosA(B)，试求边1AB的长。

思路分析：本题已知的是两边和它们所对的两角的关系，在这种情况下往往可能不需要求出它们各自的值，通常可以考虑整体代入的方法。

ab解答过程：

由题意，得 ab2.



AB2AC2BC22ACBCcosC

1b2a22ab(ab)2ab2210。

2

AB

ab解题后的思考：因为解方程组分别求出a和b

的值比较麻烦，所以将ab2

直接代入，巧妙而简洁，通常称为整体代入法，要注意这种解题技巧的运用。

解三角形的几种基本类型

（1）已知一边和两角（设为A，B，b），求另一角及两边，求解步骤：①C180(AB)； bsinAbsinC②由正弦定理得：a；③由正弦定理得：c。 sinBsinB

（2）已知两边及其夹角（设为a，b，C）

，解三角形的步骤：①由余弦定理得：ca，b中较小边所对的锐角；③利用内角和定理求第三个角。

（3）已知两边及一边的对角（设为a，b，A），解三角形的步骤：①先判定解的情况；bsinA②由正弦定理sinB，求B；③由内角和定理C180(AB)，求C； a

④由正弦定理或余弦定理求边c。

注：已知a，b和A，用正弦定理求B时解的各种情况：

（4）已知三边a，b，c，解三角形的步骤：①由余弦定理求最大边所对的角；②由正弦定理求其余两个锐角。

第16篇：余弦定理目录

余弦定理目录

余弦定理

余弦定理性质

余弦定理证明

余弦定理的作用

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 编辑本段余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^

2、b^

2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

编辑本段余弦定理证明

平面向量证法：∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosBb^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)判定定理一(两根判别法)：若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。注意：

若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当a>bsinA时①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解；②当b>a且cosA0(即A为锐角)时,则有一解；④当b=a且

cosA0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA

例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cos A==-所以∠A=120°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×

AC·cos A=4+9-2×2×3×cos60=13-12x0.5=13-6=7所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

第17篇：余弦定理说课稿

余弦定理说课稿

各位评委各位同学，大家好！我是数学（）号选手，今天我说课的题目是余弦定理，选自高中数学第一册(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的第二节。我以新课标的理念为指导，将教什么、怎样教，为什么这样教，分为教材与学情分析、教法与学法、教学过程、板书设计四个方面进行说明：

一、教材与学情分析

这节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系及判定三角形的全等有密切联系，是高考的必考内容之一，在日常生活和工业生产中也应用很多。因此，余弦定理的知识非常重要。这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。

根据教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下三个教学目标：

（1）知识目标：掌握余弦定理两种表示形式，解决两类基本的解三角形问题。

（2）能力目标：通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系。

（3）情感目标：面向全体学生，创造轻松愉快的教学氛围，在教学中体会形数美的统一，充分调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。

我将本节课的教学重点设为掌握余弦定理，教学难点设为初步应用余弦定理解三角形问题。

二、教法与学法

1、教法选择：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择创设情境教学法、探究教学法和引导发现法相结合。以学生自主探究、合作交流为主，教师启发引导为辅。

2、教学组织形式：师生互动、生生互动。

3、学法指导：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。根据本节课的特点，我在学法上指导学生：

①如何探究问题②遇到新的问题时如何转化为熟悉的问题③做好评价与反思。

4、教学手段

根据数学课的特点，我采用的教具是：多媒体和黑板相结合。利用多媒体进行动态和直观的演示，辅助课堂教学，为学生提供感性材料，帮助学生探索并发现余弦定理。对证明过程和知识体系板书演示，力争与学生的思维同步。学具是：纸张、直尺、量角器。

三、教学过程

三、教学过程

为了实现本节课的教学目标，在教学中注意突出重点、突破难点，我将从

创设情境、导入课题；

引导探究、获得性质；

应用迁移、交流反思；

拓展升华、发散思维；

小结归纳、布置作业

五个层次进行教学，具体过程如下：过程省略。

四、板书设计：

板书是课堂教学必不可少的组成部分，为了再现本节课的知识体系，渗透结构思想，突出本节课的重点，我将这样设计板书。性质的证明和习题解答是学生完成的，让学生写到黑板上，发现错误可及时纠正；我将本节课的知识体系展示到黑板上，利于学生理清思路。

第18篇：余弦定理 (3)

§5.9.2余弦定理

教学目标

(一)知识与技能

掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题及求解简单斜三角形边角问题；能利用计算器进行运算。

(二)过程与方法

1.根据学生认知能力，启发学生在证明余弦定理时，注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.同时感受向量法证明余弦定理的简便之处。

2.启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解目的。

(三)情感态度与价值观

通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。养成学生自主探究，自主学习的能力及培养良好的学习品质。

教学重点

余弦定理证明及应用。

教学难点

1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；

2.余弦定理在解三角形时的应用思路。

教具准备

投影仪、幻灯片两张。

Ⅰ.课题导入

师：上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角

求第三边问题未能解决，下面我们来看投影片§5.9.2A，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题。

在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解。

解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2

又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

222222

2∴a＝b－AＤ＋c－2c·AＤ＋AＤ＝b＋c－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA

类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，下面我们给出余弦定理的具体内容。(给出投影片§5.9.2B)

Ⅱ.讲授新课

1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.投影片§5.9.2B。

师：在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用。

2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析

师：由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?

生：向量数量积的定义式：a·b＝｜a｜·｜b｜·cosθ，其中θ为a、b的夹角.师：在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C，则构造·CA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提。

(2)向量法证明余弦定理过程：

如图，在△ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b。

由向量加法的三角形法则可得AC＝AB＋BC， ∴·＝（＋）·（＋） ＝2＋2·＋2

＝｜AB｜2＋2｜AB｜·｜BC｜·cos（180°－B）＋｜BC｜2 ＝c2－2accosB＋a2即b2＝c2＋a2－2accosB

由向量减法的三角形法则可得：

BC＝AC－AB

∴BC·BC＝（AC－AB）·（AC－AB） ＝2－2·＋2

＝｜｜2－2｜｜·｜｜cosA＋｜｜2 ＝b2－2bccosA＋c2即a2＝b2＋c2－2bccosA 由向量加法的三角形法则可得

＝＋＝＋

∴·＝（－）（－） ＝AC2－2AC·BC＋BC2

＝｜AC｜2－2｜AC｜·｜BC｜cosC＋｜BC｜2 ＝b2－2b·acosC＋a2即c2＝a2＋b2－2abcosC

评述： (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则。 (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC与AB属于同起点向量，则夹角为A；AB与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180°－B；AC与BC是同终点，则夹角仍是角C。

师：在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用(给出投影片§5.9.2B)。

通过投影片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到，利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角

这类问题由于三边确定，故三角也确定，解惟一，课本Ｐ130例4属这类情况； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

这类问题第三边确定，因而其他两个角惟一，故解惟一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题。

接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结。 3.例题评析

［例1］在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C。(精确到1°)

分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二。

b2c2a2102627

20.725, 解：∵cosA＝

2bc2106

∴A≈44°

a2b2c2721026211

30.8071 ∵cosC＝

2ab2710140

∴C≈36°

∴B＝180°－（A＋C）≈180°－（44°＋36°）＝100°.

评述： (1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出。(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算。［例2］在△ABC中，已知a＝2．730，b＝3．696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)。

分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但根据§5.9.1斜三角形求解经验，若用正弦

定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有惟一解，故用余弦定理较好。

解：由c2＝a2＋b2－2abcosC＝2．7302＋3．6962－2×2．730×3．696×cos82°28′ 得c＝4．297.b2c2a23.69624.29722.7302

∵cosA＝=0.7767

23.6964.2982bc

∴A＝39°2′

∴B＝180°－（A＋C）＝180°－（39°2′＋88°28′）＝58°30′

评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，哪么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦。

［例3］已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及Ｓ△ABC 。

分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，

再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式Ｓ△ABC＝acsinB可以求出。

222

若用余弦定理求c，表面上缺少C，但可利用余弦定理b＝c＋a－2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的。

下面给出两种解法。 解法一：由正弦定理得 87



sinAsin60

∴A1＝81．8°，A2＝98．2° ∴C1＝38．2°，C2＝21．8°，

7c由，得c1＝3，c2＝5 

sin60sinC

1

1∴Ｓ△ABC＝ac1sinB6或Ｓ△ABC＝ac2sinB10

22

解法二：由余弦定理得 b2＝c2＋a2－2cacosB

∴72＝c2＋82－2×8×ccos60° 整理得：c2－8c＋15＝0 解之得：c1＝3，c2＝5，

11

∴Ｓ△ABC＝ac1sinB6，或Ｓ△ABC＝ac2sinB10。

22

评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意。

综合上述例题，要求学生总结余弦定理求解三角形时的适用范围。已知三边求任意角或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法。

师：为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习。 Ⅲ.练习

1.在△ABC中：

(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a； (2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B； (3)已知a＝33，c＝2，B＝150°，求b； (4)已知a＝2，b＝2，c＝3＋1，求A。

此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效

率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°) (1)a＝31，b＝42，c＝27； (2)a＝9，b＝10，c＝15。

此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力。 Ⅳ.课时小结

师：通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的

工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形。 Ⅴ.课后作业

(一)课本习题5.96，7，8，9. (二)1.预习内容

课本5.9正弦定理、余弦定理 2.预习提纲

(1)复习正、余弦定理内容

(2)总结正弦定理、余弦定理适用题型

余弦定理

牡丹江第一高级中学

刘 涛

第19篇：余弦定理1

余弦定理1（讲学稿3）

年级：高二学科：数学教者：何广 审核：林汉武，何广，李艺源，刘朝奔 内容：余弦定理 课型：新课 时间：2010.3.10

一、教学目标：

1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；

2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；

3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；

4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。

二、教学重难点

重点：余弦定理及其发现和证明。 难点：余弦定理的证明。

第20篇：1.1.2余弦定理

1.1.2余弦定理

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求边

AcB

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A 如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc

ccabab

aabb2abCa22ab2ab

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5) 2同理可证a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由

三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2cosA2bca2c2b2

cosBb2a2c2

cosC[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC

中，已知a

cB600，求b及A

⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos450

=1221)

=8

∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a21⑵解法一：∵

cosA,∴A600.asin450,

解法二：∵

sinAsinB＞2.41.4

3.8,

21.83.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形

（见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得： b2c2a2

cosA

87.82161.72134.62 0.5543,

A56020； c2a2b2

cosB 2ca

134.62161.7287.82 0.8398,

B32053；

 C1800(AB)1800(5602032053)

Ⅲ.课堂练习

第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）

Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 Ⅴ.课后作业

①课后阅读：课本第8页[探究与发现]

②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。

《余弦定理教学设计.doc》

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