正余弦定理
1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有abc2R. sinsinsinC
2、正弦定理的变形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC; abc,sin,sinC;③a:b:csin:sin:sinC; 2R2R2R
abcabc④. sinsinsinCsinsinsinC②sin(正弦定理主要用来解决两类问题:
1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
当a
当bsinA
当a=bsinA或a>b时,B有一解
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:SC111bcsinabsinCacsin. 22
2222222
4、余弦定理:在C中,有abc2bccos,bac2accos,
c2a2b22abcosC.
b2c2a2a2c2b2a2b2c
25、余弦定理的推论:cos,cos,cosC. 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题:
1、已知两边和夹角,求其余的量。
2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状:设a、b、c是C的角、、C的对边,则:①若a2b2c2,则C90;
②若abc,则C90;③若abc,则C90.
正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标A、B,
C、D两点,
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B
本题解答过程略
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.OOOO222222数学必修5第一章《解三角形》
1.1 正弦定理与余弦定理(习题课)
一、课前练习:
1、在△ABC中,若b2asinB,则A等于()
A.30或60B.45或60 C.120或60D.30或150
2、在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,则角C___________。
3、三角形△ABC中AB=14,角C60,AC:BC=8:5,求△ABC的面积S。
二、课堂练习: 00000000
abc
1、在ABC中,若A60,asinAsinBsinC等于()
1A、2;B、2;CD、。
2、在OAB中,O为坐标原点,A(1,cos),B(sin,1),(0,
2],则当OAB的面积达
最大值时,。
3、在ABC中,A:B1:2,C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分,求cosA。
4、在△ABC中,bcbca,且
三、课后练习:
1、在ABC中,(ac)(ac)b(bc),则A=()
A、30;B、60;C、120;D、150
2、在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosAsinB,则△ABC的形状为()
A、钝角三角形; B、锐角三角形;C、直角三角形; D、无法确定其形状。
3、在ABC中,∠A=60°, a=6 , b=2, 那么满足条件的ABC共有个。 222c13,求角A和tanB的值。 b
2S3,则a=。
4、在ABC中,b
8,cABC
5、在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA
(1)求sin
6、在ABC中,已知(abc)(abc)3abc,sinAsinB
状.21。 3BCcos2A的值; (2)若a3,求bc的最大值。 23,试判断三角形的形
47、已知ABC的周长为6,BC,CA,AB成等比数列,求
(1)ABC的面积S的最大值;(2)BABC的取值范围.参考答案
1.1 正弦定理与余弦定理(习题课)
一、课前练习:
1、D;
2、1200;
3、设AC8x,BC5x,ABACBC2ACBCcosC
19664x25x40x49xx2AC16,BC10S22222221ACBCsinC40。
2二、课堂练习:
1、A;
2、450;
3、SADC:SBDC3:2,AD:BD3:2,于是设AD3x,BD2x ADCDBDCD, sinACDsinAsinBCDsinB
3xCD2xCD,3sinA2sin2A4sinAcosA sinACDsinAsinACDsin2A
3所以,cosA。 4在△ADC与△BDC中,由正弦定理得,
b2c2a21A60
4、bcbca,cosA2bc222
2c1a2c2ca又由bcbca得,212,, b2bb2bb222
则 sinA52 sinBcosBsinB25
5sinB1a25。 ,所以tanB1,abb(0,90)cosBcosB2b25
三、课后练习:
1、C;
2、B;
3、1;
4、8;
5、(Ⅰ)sinBC1cos2A=[1cos(BC)](2cos2A1) 2
212=(1cosA)(2cosA1) 2
1121=(1)(1)= 23992
2b2c2a21cosA,∴bcb2c2a22bca2, (Ⅱ) ∵32bc
3又∵a3, ∴bc
9.4993, 当且仅当 bc时, bc= 424故bc的最大值是
6、由(a+b+c)(a+b-c)=3ab(ab)c3ababcab, 2222
2a2b2c21∵0°
∴cos(A+B)=-
∴cosAcosB=311cosAcosBsinAsinB,∴sinAsinB=①, 4221②,①+②得cos(A-B)=1,AB, ∴A-B=0,
4∴A=C=B=60°,故△ABC为正三角形.27、设BC,CA,AB依次为a,b,c,则abc6,bac,由余弦定理得
a2c2b2a2c2ac2acac1cosB 2ac2ac2ac2
故有0B
3,又bac6b,从而0b222
11212SacsinBbsinB
2sinSmax(1
)所以2223
22222(ac)2acbBABCaccosB(2)所以22(6b)23b2(b3)2272
0b22BABC18