导数应用一例
石志群
13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。 3
1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3
13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3
小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得
24 ≤a≤。 „„„„„„„„„„„„„„„„（1） 33
这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！
2411，注意到 ≤a≤ ，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a
11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。 3a3a
1113由 )＝3a· )－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） 3
4由（1）、（2）可知，a= .3
从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？
一是函数思想在处理不等式问题中的作用不可忽视，本题就是以函数观点为突破口展开思维过程的。二是从简单情形开始，不断探索有效信息，并充分发挥所得到的信息的作用。本题中先从区间端点入手，对a的取值范围作初步控制，而这个控制为后续思维的展开提供了依据：它确定了极值点的位置，为对a作进一步的限制提供了可能。三是要学会运用等与不等的辩证关系从不等中构造相等关系。本题给出的全是不等式，不等之中怎么能找到确定a的值的等式呢？聪明的你一定会想到，肯定是由区间端点与极值点这些可能取得最值的点之间的制约关系，构造出需要的几个不等式，并用这样的不等式“夹”出a的值。
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